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从“问题解决”到“问题引领的数学教学”
——国际视野下的中国数学教育(1)

2024-03-20郑毓信

中学数学月刊 2024年1期
关键词:问题解决数学研究

郑毓信

(南京大学哲学系 210093)

“问题解决”是国际数学教育界在20世纪80年代的主要口号,认为应当“以‘问题解决’作为数学教育的中心”.与此相对照,“问题引领的数学教学”则是我国在近十年来以一线数学教师为主体的一个“民间创造”.就相关思想的实际产生而言,两者应当说没有什么直接联系;但从逻辑的角度看,前者可被看成为后者提供了重要的背景,后者则代表了认识的重要进步.本文旨在让读者更好地认识“问题引领”对于数学教学的特殊重要性,包括这方面工作应当特别注意的一些问题,还可获得这样一个普遍性的认识:理论与实际工作、教学与教研的密切结合正是促进认识发展,包括做出高质量研究工作,最重要的一条途径.

1 “问题解决”的再认识

对于“问题解决”这一数学教育改革运动,笔者曾多次撰文进行过介绍和分析,特别是指明了这样一个基本的指导思想:“学数学,做数学.”换言之,我们应让学生主要通过实际参与各种数学活动,特别是解决问题,来学习数学.在一些学者看来,我们可以直接将其命名为“沉浸式学习”,后者更具有这样一个明显的优点:除了具体知识与技能的学习,还十分有益于学生能力的提升,包括思维与方法的了解与应用,以及相关情感、态度与价值观的养成.

尽管这一最早源自美国的改革运动在世界范围内曾引起过极大反响,人们更在这一方面进行了广泛实践,包括教材编写与教学实践,但是所有这些努力似乎都未能够取得理想的效果,特别是,即使我们仅仅着眼于学生解决问题能力的提升,相关实践提供的似乎也只是失败的记录.这也意味着,尽管学生已掌握了相关的基础知识和基本技能,对于所谓的“数学启发法”或解题策略也有了一定的了解,但仍然不能顺利地解决所面对的新问题.

当然,有付出就会有收获,成功有时就在再坚持一下的努力之中.具体地说,这就是人们通过总结反思与深入的理论研究获得的一个重要认识:决定人们解决问题能力的因素不只是知识和技能的贮备及对于解题策略的足够了解,还涉及更多的方面或因素,特别是所谓的“元认知”与“观念”.从理论研究的角度看,这直接导致了“对于波利亚的超越”,这当然是一个重要的进步[1-2].

但是,作为一次改革运动,“问题解决”涉及了更多方面,我们应从更广泛的角度对此做出总结分析.例如,当时人们已经从数学教育的角度看出这次改革运动的一些问题:

(1)我们不应单纯地强调“问题解决”,而应将“问题提出”也考虑在内.事实上,这是传统的“传授-接受”型教学的一个具体体现,总是要求学生去求解由其他人(教师、教材编写者、考试设计者)所提出的各种问题;另外,我们对提升学生提出问题的能力应予以高度的重视,提出问题的能力应当被看成创造性能力十分重要的一个组成成分.

具体地说,这是相关教学实践中十分常见的一个现象,学生甚至包括教师都满足于问题的求解,却未能认识到还应通过提出新的问题和进一步的研究取得新的进步.这促使人们明确地提出了这样一个新的口号:“求得解答,继续前进(get the answer,and move on).”

(2)除“问题的提出与解决”以外,数学活动还包含更多的内容,特别是应将“概念的生成、分析与组织”看成数学活动的又一基本形式.显然,就我们当前的论题而言,可以清楚地表明以下主张的局限性,即认为学校的全部数学课程都应采取“问题解决”这样一种形式.

进一步说,这直接涉及到这样一个问题:问题发展的内在逻辑是否必然地与数学知识的逻辑结构相一致?在笔者看来,这是现实中为什么会出现以下变化的一个重要原因:与单纯强调“问题解决”相比较,我们应当更加强调“数学地思维”.例如,作为“问题解决”现代研究的主要代表人物之一,美国的舍费尔德教授就曾明确地提及:“现在让我回到‘问题解决’这一论题.尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称,但我现在认识到这一名称的选用不很恰当.我所考虑的是,单纯的问题解决的思想过于狭窄了.我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人所提出的问题,而是帮助他们学会数学地思维.”[3]

对于“问题解决”这一改革运动的上述弊端,笔者在先前的文章中也已有过集中分析[4].在此再强调这样一点:这一运动的最大弊病就是未能对教师在数学学习过程中所应发挥的作用予以足够的重视,或者说,将教师局限于“组织者”和“(平等的)参与者”这样一个定位,却忽视了教师在这一过程中还应发挥重要的引领作用.更一般地说,这事实上也是“学数学,做数学”这一类主张,包括对于“数学经验的积累”或“熟能生巧”的片面强调所共有的一个弊病.更为深入地说,这直接涉及到数学学习的本质:学生数学水平的提升主要依靠后天的学习,并且主要是一种文化继承的行为,教师应在这一过程中发挥重要的引领作用.由此可见,为了做好数学教学,除了落实好学生在学习过程中的能动作用外,我们应深入研究教师应当如何发挥应有的引领作用.

在笔者看来,我们可以从后一角度很好地理解“问题引领”对于数学教学的特殊重要性,以及我们为什么又可将“问题引领的数学教学”看成对于“问题解决”这一改革运动的重要发展.

2 聚焦“问题引领的数学教学”

对我国数学教育的现实情况进行分析,“问题引领”显然是一个新的热点.从思想的渊源这一角度进行分析,笔者认为以下一些工作为此提供了重要的理论基础.

第一,对教学工作启发性的高度重视,是“中国数学教学传统”十分重要的一个内涵,对广大教师具有十分重要的影响,尽管人们对此未必具有清醒的认识.具体地说,尽管“讲授”可以视为中国数学教学的基本形式,但这并不等同于知识的简单传递与被动接受,因为中国教师在充分发挥主导作用的同时,也十分重视学生在学习中的主体地位,特别是通过增强教学的“启发性”,即用适当的提问引导学生积极进行思考,从而真正让学生成为学习的主人[5].

当然,前文所说的“传统”应被看成一种素朴的认识.与此相对照,现今所论及的“问题引领的数学教学”则不仅包含更多的内容,也已经历了由简单的“经验总结”到深入理论研究的重要转变.对此我们将在以后作出进一步的分析论述.

第二,著名数学家、数学教育家波利亚在20世纪50~60年代围绕“问题解决”所展开的研究不仅是“问题解决”现代研究的直接先驱,对于“问题引领的数学教学”的实际形成也具有十分重要的影响,特别是这样一个思想:我们可以将一些定型的问题或建议看成“数学启发法”的核心.

还应提及的是,同样以波利亚的研究作为直接起点,一些中国学者从20世纪80年代起积极从事了“数学方法论”的研究,特别是明确提出了这样一个思想:应以思维方法的分析带动具体数学知识的学习,从而真正地做到“教懂、教法、教深”[6].就当前的论题而言,这也为我们如何处理思想方法的学习与具体知识的学习之间的关系提供了基本的原则.

再者,应当强调的是,相对于“问题解决”这一国际性的数学教育改革运动,“问题引领的数学教学”是一个重要的进步.因为,不同于唯一地强调学生对于数学活动的积极参与,后者最基本的一个指导思想是:在落实好学生在学习活动中的主体地位的同时,教师也应很好地发挥自身在教学过程中的主导作用.

具体地说,教师如何针对教学内容提出适当的问题引导学生积极地进行思考和探究,就集中体现了其在教学过程中的主导作用;另外,要求学生围绕问题积极地进行思考和探究,而不是被动地接受各种现成的结论,就很好地体现了学生在学习过程中的主体地位.

关于如何做好“问题引领的数学教学”,还应特别强调两点:

(1)“核心问题”的提炼与加工.

具体地说,这是上述我们应当如何处理数学思维与具体数学知识的学习之间关系的相关认识的一个合理推广.我们应当通过深入的分析研究如何实现“知识的问题化”,并以此引导学生积极地进行思考和探究,包括相关认识的必要强化与深入发展,最终实现“问题的知识化”,从而帮助学生较好地掌握相应的数学基础知识和基本技能.

当然,“核心问题”不仅要少而精,而且对于学习活动要有重要的引领作用,包括具有足够的探究空间,这正是我们将此称为“核心问题”的主要原因.另外,为了切实发挥核心问题的引领作用,我们应十分重视其对于学生而言是否具有足够的吸引力,应当针对学生的情况对此做出必要的加工,从而使之由单纯的“有意义”变成“有意思”(储东升语).

还应提及的是,尽管我们明确肯定提升学生提出问题能力的重要性,但这显然也是我们关于数学本质分析的又一直接结论,即无论就学生解决问题还是提出问题的能力而言,都有一个后天提升的过程,更离不开教师的指导.对于这一方面的具体教学工作,我们不应片面强调所谓的“生问”(围绕学生所提的问题开展学习),而应注重如何能使全体学生的注意力集中于所设定的“核心问题”.当然,我们在教学中也应处理好学生所提出的各种问题,不仅要做好必要的聚焦,而且也要保护学生提问的积极性.

(2)“问题串”的设计与应用.

数学教学当然不应局限于具体知识和技能的学习,还应帮助学生在思维方法的学习以及情感、态度与价值观的培养等方面也有一定的收获,这是教学中我们十分重视“问题串”的设计与应用的主要原因.教师应当通过“问题串”进一步地提问、追问,引导学生更深入地进行思考,并能超出具体知识与技能的学习上升到更高的层面.

如何通过适当的问题和建议等帮助学生很好地解决学习中所遇到的困难,这是我们教学中应十分重视的一项工作.更一般地说,这也是我们为什么又提出这样一项要求的主要原因,即“问题串”的设计应当努力做到“浅入深出”(吴正宪语).

再则,对“问题串”的强调很好地体现了这样一个思想,即与单纯强调“学生的主动探究”相对照,我们应充分肯定教师示范的重要性,包括如何针对实际情况不断提出新的问题促进学生更深入地思考研究,从而实现认识的不断发展与深化,这也十分有益于提升学生提出问题的能力.

当然,从落实好学生在学习过程中的主体地位这一角度进行分析,“问题串”的运用应当具有较大的开放性,这是教学中应十分重视的又一问题.特别是,教师应当依据具体的教学情况,包括学习过程中学生所提出的各种新问题,对自己原先设定的问题作出必要的调整.

最后,应当提及的是,这方面工作的一个重要进展主要归因于一线教师的“民间创造”,这在《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称“新课标”)中也得到了明确的肯定.尽管无论从实践或是理论的角度看,相关论述仍有不少问题需要我们深入地进行分析研究.对此我们将在“国际视野下的中国数学教育(2)”中联系“情境学习”与“情境设置”等论题作出具体论述.

3 理论研究与实际工作、教学与教研密切结合的一个范例

由以下工作我们可以看出相关思想在中国一线教师中的广泛影响,包括我们为什么应当明确肯定后者在这一方面的重要贡献,如[7][8]等.除此以外,正如前述所表明的,我们应充分肯定理论研究在这一方面所发挥的重要作用,这既是指我们应当如何理解“问题引领”对于数学教学的特殊重要性,还包括关于什么是这一方面教学工作应当特别重视的一些问题的具体分析.

在此我们还应特别提及由《小学数学教师》编辑部与江苏省太仓市教育局在2017年联合举办的关于“问题引领的数学教学”的一次专门研讨会,这不仅为各界人士充分交流这一方面的研究成果提供了很好契机,而且也起到了总结和引领的作用,特别是,什么是这方面实际教学工作应当特别重视的一些问题,我们又应如何更深入地去开展研究?

当然,这方面的认识会有一个不断发展和深化的过程.在笔者看来,这是促进认识深入发展最重要的一个途径,我们应当密切联系实际教学,积极地去开展研究,包括理论研究与教学研究.以下围绕上面所提及的两个基本问题对此作出具体说明.

第一,由于“生问”具有一些明显的优点,因此有不少教师坚持在这一方向上进行了探索研究.当然,相对于简单地认定“学生的提问有其天然的合理性”,或是认为“教师只需通过直接示范就可帮助学生自然而然地学会提问”这样的简单化认识,我们应更深入地研究如何才能更有效地提升学生提出问题的能力,包括在教学中如何很好地处理“生问”与“教师的必要引导”之间的关系等.以下是这方面特别重要的一些认识:

(1)教学中应当特别重视对学生所提出的各种问题的处理,特别是,如果我们在教学中采用了“生问”这样一种教学方式.例如,面对学生提出的大量问题,我们应切实做好分析与组织的工作,包括“梳理问题的解决次序”和“适时解决常规问题”等,从而使学生的注意力真正集中于“核心问题”,同时也能很好地保护学生提问的积极性[9].

(2)“问题”的引领作用不应仅仅体现于课程的“引入环节”,也应贯穿、落实于全部的教学过程.具体地说,在教学的全部过程中都应对“核心问题”予以必要的强化,并帮助学生清楚地认识其在学习过程中所发挥的重要作用;进而,在课程的结束部分我们也应注意引导学生从同一角度作出回顾、总结与反思,以便更清楚地认识“问题引领”对数学学习,乃至一般学习活动的特殊重要性.

第二,“问题串”的设计和应用事实上也可被看成“中国数学教学传统”十分重要的一项涵义,从而就具有更大的普遍意义:中国的数学教师“在课堂上不仅对同一个问题的解答采取层层递进的方法,从复杂程度来说,也是层层递进的.”[10]例如,通过问题的“分解”将一个原先对学生而言比较困难的问题变得比较容易理解.还应提及的是,所说意义上的“问题串”研究是与人们现今经常提及的“学习路径研究”十分一致的,在两者之间存在一种相辅相成的密切联系.

当然,就我们当前的论题而言,更应重视如何通过“问题串”的设计和应用对已获得的结果作出推广和拓展,从而促进认识的不断发展与深化,特别是,超出知识和技能的学习上升到更高的层面.因此,这对于“中国数学教学传统”是一个重要发展.

从发展的角度进行分析,我们不应唯一强调相关问题对于学生而言的“自然性”,因为学生在这一方面的认识必须经历一个发展的过程,我们应将此看成“学会数学地思维”的一项基本涵义,特别是,这直接关系到学生价值观的养成,也即我们应当将哪些类型的问题看成真正有意义的问题.

从同一角度可以更好地认识“教师示范”的具体涵义,或者说,应当更清楚地认识什么是我们希望学生真正学到手的,以及如何通过自己的教学努力提升学生在这一方面的自觉性.例如,除去直接的示范以外,我们在教学中应特别重视分析和评论的工作,帮助学生逐步地学会如何对于问题的好坏或意义作出自己的判断.容易想到,我们事实上也应从同一角度对于所谓的“四能”作出自己的解读,或者说,我们如何才能帮助学生真正地做到“四能”.

第三,相对于简单地论及努力提升学生提出问题的能力,我们应当更加重视学生“问题意识”的培养,或者说,应当通过自己的教学努力创设这样一种氛围,让所有学生都能积极地去思考:当前的学习是围绕什么问题展开的?所说的问题从何而来,为什么值得研究?如何能够顺利地解决问题,包括什么是在这一过程中遇到的主要困难?如何对已有工作作出改进和推广,包括以此为基础提出新的问题,从而促进认识的不断发展与深化?等等.

这方面的工作应努力追求这样一个更高的境界:不仅原先设计的问题已经成了学生自己的问题,学生的关注也不再局限于原先的问题,他们所追求的更已超出了单纯意义上的“问题解答”[11].人们显然已不会再去关注原先的问题究竟是由学生还是教师提出的,学生的学习能力,包括合作能力也会有很大的提高,这当然是全部教育教学工作应当努力实现的一项目标[12-13].

最后,由上述的发展可以清楚地认识到这样一点:处理好理论研究与实际工作、教学与教研之间的关系正是促进数学教育事业深入发展最重要的一个因素和主要途径,我们可将“问题引领的数学教学”看成这方面的一个范例.应当提及的是,后者事实上也可被看成“问题解决”的现代研究给予我们的一个重要启示:尽管从20世纪60年代起就一直有人积极地在从事“问题解决”的现代研究,但只有通过20世纪80年代以“问题解决”为主要口号的改革运动,包括理论研究与实际教学工作的密切结合,特别是,如何针对后一方面的实际情况积极地去开展理论研究,我们才能真正实现“对于波利亚的超越”.

再者,“问题引领的数学教学”的实际发展过程清楚地表明了以国际相关研究为背景积极开展独立研究的重要性,包括对已有工作的认真总结与分析,从而很好地弄清进一步的工作方向.“国际视野下的中国数字教育(2)”将为此提供又一具体的例子.

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