中美高中数学教材中三角函数内容的比较研究

易琳萱

(华东师范大学教师教育学院 200062)

郑 婕

(广东省汕头金中海湾学校 515000)

1 引言

中国和美国分别作为亚洲与美洲的代表性国家,在国际教育领域都具有较强的影响力,中国严谨且扎实,美国自由而重个性,这其中的差异使我们能够从不同的视角探寻教育可能的发展方向,寻求可借鉴之处,在相互融合中相得益彰.

新的课程标准自推出以来,教材改版被拉上日程,最新人教版教材也在这两年被投入使用.三角函数部分在改革前后都是高中数学学习的重中之重,在教材中拥有较大的占比.对中美教材这部分内容的横向比较,可以帮助我们从另一个角度对我国的数学教育进行更深入的反思与改进[1].

2 研究对象

为了使研究结果更具代表性,本文选取我国2019年出版的人教A版(以下简称“人教A版”)与美国Glencoe版高中数学教材为研究对象.美国Glencoe版教材遵循加利福尼亚州的数学课程要求编制而成,主要面向加州的高中学生,同时在纽约等主要城市是教师首选的教材之一,具有较大的代表性.本文以“三角函数”(Trigonometric Functions)内容为切入点,对教材的教学内容、教学方法等进行半定量分析.

3 教学内容比较

3.1 设计思路

三角函数部分内容位于人教A版必修第一册第五章,该章内容共7个小节;其在美国Glencoe版中位于第五单元第十三章的三角函数(Trigonometric Function)以及第十四章的三角函数图象与三角恒等式(Trigonometric Graphs and Identities)的14个小节中.

依据两套教材的章节目录对三角函数知识的编排设计进行比较,具体内容如下表所示.

表1 两版教材三角函数部分知识结构

整体来说,人教A版以“概念→图象与性质→公式→一般情形推广”的逻辑顺序进行编排,前后连贯性较强,逻辑性较为明显,为学生学习新知识提供了足够的固着点.相较之下,美国Glencoe版教材所涵括的知识点虽更加广泛,内容更加丰富,却仅是将与三角函数相关的知识堆砌起来,平铺直叙地展开,在知识的筛选与精简上相对粗糙,显得较为杂糅,层次感、逻辑性较为模糊.

3.2 知识联结

为了了解两套教材教学内容的深度和广度,利用Cmaptools软件分别绘制出两套教材三角函数知识的概念图(concept mapping)[2].以“三角函数”作为概念图的根节点,其他不同层级的概念作为节点,节点间的连线表示概念间的联系,与根节点直接连接的节点位置为第一层,与第一层节点直接连接的节点位置为第二层,以此类推.其中,除根节点外的所有节点数即为知识点个数,各层节点数的最大值即为知识的广度,概念图层数即最长链的节点数即为知识的深度,将广度与深度之和记为知识点的复杂度.

图1 人教A版教材三角函数知识点概念图

图2 Glencoe版教材三角函数知识点概念图

按照设定的统计方法,根据图1、图2对两套教材三角函数知识点的各项指标进行了统计,结果如表2所示.

表2 知识点各项指标统计

在知识点的广度以及深度上,Glencoe版教材的广度较大,这是由于其知识点覆盖面更广,涉及到了余切、正割、余割函数和反三角函数等知识,且栏目设置较为丰富,但其在知识点的深度上却不及人教A版.由此可以看出,Glencoe版更注重知识的横向延伸,人教A版则更注重对知识的深入了解.

4 教学方法比较

4.1 教材编排

图3 人教A版教材章节结构

图4 美国Glencoe版教材章节结构

由图3、图4可以看出,两套教科书均按照总分总的结构编排,在章首对本章内容进行总体介绍后进行具体的单元学习,在章末配有章节习题以帮助学生完成一章的学习.

人教A版按照“章头→章首语→节→小结→复习题”的大层面依次编排,在“节”的学习中又分为多个板块,探究思考部分较多.在章首语部分,以生活现象引入三角函数,并以陈述句或问句的形式对本章的教学目标进行罗列;在“节”中,除正文与习题为固定板块外,其他板块视知识需要进行编排,并不固定;在正文中,以平铺直叙的方法将知识点展开讲解;在复习题部分,按照习题类别、功能的不同将复习题分为复习巩固、综合运用、拓广探索三个板块,层层递进[3];在章末进一步对知识进行了系统的回顾.总体而言,人教A版遵循教师主导、学生主体的原则,给师生留下了较大的发挥空间,多个板块的设计不仅给教师的教学设计提供了思路,也能让学生对新知识有更完善的理解,促进思维的发展.

美国Glencoe版教材按照“章头→章首页→章前准备→探索→节→章中小测→学习指导与复 习→章节检测→标准检测”的顺序展开.相比之下,其板块设计丰富了许多,设计了教学目标(Big Ideas)、主要概念(Main Ideas)、新词汇(New Vocabulary)、数学阅读(Reading Math)、学习窍门(Study Tip)、联系实际(Real-World Link)等小板块,形式多样,趣味性十足,为进行自学的学生提供了更牢固的脚手架.例如,本章的引入部分就是通过Real-World Link板块呈现的,通过“利用三角函数测量建筑高度”这一数学问题来引入.另外,教材还在Big Ideas板块中对教学目标进行分条罗列,在Key Vocabulary板块中将本章的重点数学名词单列出来并标注相应页码,条理有序,一目了然.

图5 美国Glencoe版教材章首页板块

此外,该套教材的检测设计相对来说更为完善,除了章前、章中、章后检测外,还设置了标准检测,与标准考试(SAT/ACT)直接挂钩,加强了高中与大学的衔接.整体而言,美国Glencoe版教材的体例结构设计更加多元,学生的主体性更强,对教师的需求性较小,内容较为丰富,系统性较强.

综上所述,两套教材在体例结构上既有相似之处也各有特点——人教A版结构完整,较为中规中矩,开放性、灵活性都较强,便于教师开展教学;美国Glencoe版板块设计丰富、色彩鲜艳、维度多样、内容多元.

4.2 教学素材

为了更好地在数学教学中培养学生思维,两套教材均使用了很多思维活动素材.

人教A版中该类素材主要包括节中穿插在正文之中的“探究”“思考”,以及每节后的“阅读与思考”“探究与发现”板块,对知识点进行进一步拓展与深入,将学生的思考维度进一步拔高.

美国Glencoe版教材中思维活动素材的使用则是借助思维板块来呈现.例如,在数学阅读板块中,常介绍一些数学史、数学“俚语”、数学习惯等,帮助学生拥有更高的数学素养;学科交叉栏板块内的素材为学生架起了数学与其他学科间的桥梁,使其看到学科间的共通性,在不同学科知识的相互运用之中对知识进行更加牢固的记忆.

值得一提的是H.O.T Problem板块,即“High-Order Thinking高层次思维”.这类板块中通常含有“开放式问题”(Open Ended)、“理由叙述题”(Reasoning)及“数学写作题”(Writing in Math),能够有效提高学生的数学素养和思维水平.

图6 美国Glencoe版思维活动类素材

如图6中的Writing in Math例题,该题要求学生运用课本中给出的信息对过山车上乘客的位置进行建模.该题可以引导学生进行跨学科思考,结合数学概念和物理知识建立合适的数学模型.同时,也提高了学生的写作和表达能力,培养了学生的批判思维和创造思维.

这类综合灵活的题型正是响应当下对“以数学的眼光看世界”的呼唤,不仅能帮助学生提高数学能力,也能引导学生将数学技能迁移至日常生活的问题解决过程中,做到数学生活化、生活数学化,帮助学生形成自己的数学思维方式.以笔者之见,这正是我国教材编写中值得借鉴的地方.

5 研究启示

基于以上对两套教材的比较研究,我们得到了一些关于数学教学的启示．

第一,要丰富知识背景,加深数学理解．美国Glencoe版教材中有大量与生活实践、其他学科、科技文化等领域接轨的素材,对培养学生的问题解决能力大有裨益.因此,教师在教学中也可适当补充一些背景知识,在帮助学生习得数学基础知识的同时,也为发展学生兴趣与进行合理的职业发展路径选择提供帮助.

第二,要寻找知识关联,搭建自学框架．古人云:“授人以鱼,不如授人以渔.”在学习过程中最重要的是学会如何学习.美国Glencoe版教材中的螺旋式复习(Spiral Review)能够帮助学生更好地将新知纳入已有的知识结构中;旁注处的学习技巧(Study Tip)的巧记方法、口诀等,为学生搭建了更加牢固的脚手架.因此,教师不仅要让学生在探索数学世界的过程中发展数学思维,还要注重引导学生如何借助教材发展学生的自学能力.

第三,要加强知识运用,发展数学思维．知识不是为了储存,而是为了流通,运用知识不仅指利用标准化的模型正确地做例题、解习题,还应包括解决复杂繁琐的实际问题,做到学以致用,从而发展数学应用思维[4].在教学中,教师可以参考多版本教材的设计,通过课堂活动提高学生对知识的运用能力,在知识的流通过程中不断加深学生的理解,在实践与学习中发展学生的数学思维与数学素养.