无限风光在“移项”——化解函数与方程动态分析中的难点

李忠良

(江苏省徐州市第三中学 221005)

“函数的零点”“方程的解”和“图象的交点”这个知识点的辨析是每一个高中生在学习函数时要首先理清楚的．函数的零点定理为求方程的解提供了理论依据,提供了函数观点下的新的控制手段,同时也提供了更多求方程近似解的方法,比如著名的二分法和牛顿法等．图象的交点为刻画方程的解或函数的零点提供了直观依据,尽管图象的直观性并不能帮助我们计算出解的精确值,但是我们却乐此不疲地探究数形结合的可能性,并为其着迷,因为数形结合在一定程度上帮助我们实现了思维可视化,而“移项”整理又让这一过程如虎添翼．

1 方程与图象

随着形态的变化,同一个方程所对应的图象也在发生着翻天覆地的变化,6个方程、12幅图象、6组交点,却达到了殊途同归的效果．这就是我们着迷于数形结合的理由,由此我们也有一个重要的探究方向:如何在“移项”的过程中寻找最佳的作图时机．

需要强调的是,本文说的“移项”泛指对方程的变形整理,既包含常规的移项,也包括等式左右同时乘除一项,甚至是两边同时取对数等,为了简洁,下文统称“移项”．

一个巧妙的“移项”可以帮我们实现两个目的:一是使得题目整体难度发生降档,就好比一个200 kg的重物现在只需要100 kg的力气就可以举起来;二是巧妙的组合可以让方程或不等式两边的“重量”更均衡,本来左右两边分别对应着190 kg和10 kg的重量,现在经过调整变成了一边60 kg和另一边40 kg,实现了四两拨千斤的效果．

2 动态分析的难点

第一,抽象化理解:动态分析,即对函数图象随参数变化的变化趋势进行分析,需要学生从具体的函数图象转向对抽象函数的理解,理解函数与参数之间的关系,并将其应用于不同的情境．

第二,参数影响辨析:在动态分析中,学生需要准确识别哪些参数对函数图象有何种影响,这需要对函数特性有深刻理解,学生需要观察和理解参数变化对函数图象的影响趋势,包括对图象的平移、伸缩、翻转等变换．

第三,复杂函数分析:动态分析通常需要将多个函数特性结合起来综合分析,比如根据一组参数变化来预测函数图象的总体变化,有些函数可能较为复杂,学生需要解决涉及多个参数和多个函数特性的动态分析问题．

第四,可视化能力:动态分析通常需要通过绘制函数图象和参数变化图表来进行直观展示,学生需要具备良好的可视化能力．

例1不等式|2x-a|+|x+1|≥2x+5恒成立,求a的取值范围．

图1

为了克服动态分析中的这些难点,学生需要反复练习函数图象和参数变化的绘制,增强对函数特性的认识,积累常见的函数图象模型．通过不断的学习和练习,学生可以逐渐提高在高中函数中的动态分析能力,并更深刻地理解不同的搭配组合下图象的特性与参数的关系．

3 思维可视化的意义

伴随着高中数学从常量数学向变量数学的转变升级,动态分析能力成为了高中数学里最难掌握的能力之一,而通过数形结合实现思维可视化,可以在一定程度上提升我们解决问题的能力．其次,通过思维可视化,我们可以更清楚地理解问题的复杂性,发现隐藏的关系,从而更好地定义问题并确定解决问题的策略,以及创新性地思考问题．最后,通过可视化的方式记录下思考过程,我们可以更清楚地看到思考的轨迹,从而避免重复的错误和遗漏重要的步骤．

例2(2011年“北约”联盟11校自主招生试题)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+ |2 011x-1|的最小值．

简析我们通过这道题的解法可以体会思维可视化对解题的帮助.在解决这个问题之前我们先讲一个预备知识:要求函数f(x)=|x-1|+ |x-2|+|x-3|+…+|x-7|的最小值,根据初中学习过的绝对值的几何意义,可以将|x-a|理解为数轴上两点之间的距离,于是我们假设在一条笔直的马路上,依次排开7个人栽树,只有一个取水车,请问水车放在什么位置,7个人取水距离之和最小?此时我们的大脑中就出现了画面,不难理解,水车应该放在“中间”,即第4个人的位置处.若人数为偶数,则放在中间两个人之间的任一位置．有了这个预备知识,我们把例2中的函数整理为f(x)=|x-1|+

研究表明,图形和视觉信息更容易被大脑记忆和理解.通过思维可视化,我们可以将抽象的问题和复杂的信息转化为更容易理解和记忆的形象．

4 “移项”对提升可视化能力的帮助

方程的移项和变形对通过数形结合提升思维可视化解决数学问题有很大的影响和帮助.例如:

第一,简化方程.通过移项和变形,可以将复杂的方程简化为更简单的形式,使其更易于处理和求解,从而使得解决过程更加明确和直接．

第二,调整方程结构.在解决问题时,有时需要将方程重新组织和调整,使其符合特定的数学模型或问题要求,移项和变形是应用数学关系的基础,例如使用对数和指数的性质,通过变形将方程转化为更容易处理的形式．

第三,参数和变量分离.某些方程中包含多个未知数,通过移项和变形,可以将它们分离开来,从而更容易解决问题．

第四,发现隐藏关系.移项和变形过程中,有时可以发现方程中隐藏的数学关系和特性,这有助于更好地理解问题的本质,甚至可以引入新的变量或代换,从而简化方程的结构和求解过程．

第五,验证结果.在解得方程的根或参数的取值范围后,可以通过移项和变形来验证这些解或解集是否符合原始方程和不等式,以确保解的正确性．

例3是否存在斜率为3的直线与函数f(x)=x3-6x2+12x的图象有三个交点?如果存在,写出满足要求的直线的集合;如果不存在,请说明理由．

简析如果按照题意直接开始作图分析,我们可以发现只需求出两次相切的临界时刻(图2).但是通过仔细观察会发现,这道题我们可以先在方程中办一道移项的手续:设x3-6x2+12x=3x+b,移项得x3-6x2+9x=b,此时再画图(图3),则豁然开朗,可以判断出b的范围是(0,4)．

容易判断结论①是正确的,而对于结论②③④,我们可以把f(x)=sin|x|-|sinx|分成两个图象:y=sin|x|和y=|sinx|,根据图象变换的技巧,这两个图象是容易画出的,如图4和图5．

图4

图5

5 无限风光在“移项”

例5已知关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)在[-1,1]上有实数根,且满足0≤3b+c≤3,求b的最大值．

图6

如果称上述方法为“本手”的话,那么接下来的移项思路便是这道题的“妙手”了.我们把x2+bx+c=0改写成bx+c=-x2,在同一个坐标系下画出g(x)=bx+c和h(x)=-x2,因为 0≤3b+c≤3,所以0≤g(3)≤3.如图6所示,直线y=bx+c既要与抛物线AB段有交点,又要与线段CD有交点,于是根据斜率的变化规律可知bmax=kBD=2．

6 结语

我们欣赏函数动态的“美”,也困惑于函数动态的“难”,我们处理一些函数和不等式的问题时,精髓便在于如何控制它的“动”和“静”,而巧妙的“移项”变形整理可以起到事半功倍的效果.在“移项”变形的过程中寻求最佳的切入时机,是处理此类问题的灵魂所在,也是最核心的能力之一．总的来说,方程的“移项”和变形是解决函数、方程以及不等式问题中不可或缺的重要步骤,能够帮助我们更好地理解和解决各种数学和实际应用问题．