一道双抛物线定值问题的探究

邓清睿

(华南师范大学数学科学学院 510631)

1 问题背景与考题呈现

圆锥曲线问题是历年来热门的探究问题,主要涉及:求解各类曲线方程(动点轨迹方程)、求解最值问题、求解离心率取值范围以及定点定值的证明问题等.近期在与抛物线相关的特殊三角形周长、面积问题的探究方面也取得了一些成果[1-4],包括:抛物线与一些等腰直角三角形交点横、纵坐标满足的关系式及一些延伸出的几何关系;过抛物线外一点构造两条不同切线的切点,该三点构成的三角形面积及相关的几何性质;一些以抛物线焦点为重心的抛物线内接三角形的性质;一类以抛物线阿基米德三角形为背景的最值问题的解题思路等.

2023年苏锡常镇市高三教学情况调研第21题正是在这样的背景下命制的.本文仅针对第二问展开解法研究与问题推广.

2 解法分析

原题已知直线l与抛物线C1:y2=2x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与抛物线C2:y2=4x交于C(x3,y3),D(x4,y4)两点,其中A,C在第一象限,B,D在第四象限.

2.1 简证第(2)题①问

2.2 第(2)题②问的两种证法

图1

3 推广结论

针对试题解法分析和其他文献,给出7个新结论.

函数.

4 结论证明

通过结论1～3的证明类似于原题第(2)问第②题的解决思路,由原题第(2)问第①题的证法可以得到结论4,这里只证结论5和结论6.

4.1 证明结论5

4.2 证明结论6

结论7的证明与之类似.