八年级学生代数推理能力测评与教学建议*

付 钰

(南京信息工程大学教师教育学院 210044)

1 问题提出

从世界范围来看,尤其在美国,数学教育者及课程决策者都强调了“代数已经成为通向高等教育和机遇的大门,成功参与民主社会和科技市场离不开抽象代数思维”[1]．为此,1994年2月,全美数学教师理事会(National Council of Teachers of Mathematics,简称NCTM)在“为每个人的代数”(Algebra for Everyone)的报告中指出,每个中学生都需要有平等的机会去学习代数的基本思想和方法,但事实上学校中的代数教学和学生的代数成绩并不理想．为解决代数教与学中存在的问题,在学生早期学习中引入代数教学便成为了美国当时教育研究的迫切需求,为此政府还采取了相应的问责措施使之条文化．NCTM还建议代数要成为所有K-12年级学生学习的内容．此外,学生必须要在低年级为高年级的代数学习做好准备[2]．其中,6～8年级是学习代数的过渡时期,也就是说在8年级结束时,学生就应该具备能服务于未来数学学习的扎实的代数基础[3]．

学校数学课程中,代数的“意义”来自数量和变量之间关系的表达方式．“数量之间的关系”和“代数推理”在数学中无处不在[4]．然而,历史上“先算术,后代数”的中小学数学课程结构几乎没有留给学生多少认知空间,这就导致学生难以适应从小学和初中多年的计算训练到高中抽象的代数概念的突然转变．认识到这一点之后,学者们逐渐提出关于代数教与学的新建议[5]．美国早期代数研究专家卡帕特提出,各种形式的代数推理和数表、图象、公式等各种代数表征都是发展人类文明的有力工具[6]．现代社会生活中存在着大量的数量关系和变化规律需要人们运用代数知识去解读、探索,例如打折、获利、寻找最优方案等类似的活动,这些活动主要涉及到的都是代数知识[7]．因此,在小学阶段发展代数推理对数学教学改革至关重要．作为体现数量间关系或结构的一般化工具,如何在代数思维中培养学生的代数推理能力是代数教学的核心问题．研究者们[8-9]指出,学生在努力理解代数概念的过程中需要具备代数推理能力．因此,代数推理的发展和熟练使用被看作是数学成功的一个关键因素,因为它使个人有能力从学习和使用基本的算术过渡到理解和使用更复杂的数学概念[10]．

此外,我国数学教育一直非常强调培养学生扎实的计算能力,虽然牢固的运算技能确实能够在一定程度上促进学生发展,但是如果过分强调具体数值的计算,反而会让学生忽视对数量关系、算式结构、变量等一系列更高层次数学概念的理解[11]．事实上,发展学生推理能力的载体广泛地存在于“数与代数”“概率与统计”等内容之中[12],《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)中也强调了这一点,并在第四学段(7～9年级)数与代数部分的内容要求中明确提出了解代数推理[13],这无疑说明了代数推理能力的必要性与重要价值．

2 文献综述

2.1 代数推理内涵研究

2.2 代数推理测评研究

从测评内容上看,方程是代数课程的主题之一,众多数学教育研究者以方程为载体探究学生的代数推理表现[18-21]．代数推理的测评内容也 主要侧重考查学生的一般化算术和函数思维两方面[22-25]．

从测评学段上看,研究者非常重视学生从算术推理到代数推理的过渡过程．研究者认为从静态算术到动态代数,从具体对象到形式符号,从具体思维到广义思维,学生都面临着相当大的困难[26]．学生在从算术过渡到代数时,会经历认知差距[27-29]．学生必须“以分析方式构想那些不确定的量”,才能克服这种认知差距[30]．

从测评形式上看,部分研究者对影响学生代数推理表现的因素进行探究．认知风格是影响学生代数推理能力产生差异的因素之一[31]．此外,部分研究者在探究影响代数推理的因素时,也通过干预的形式证实采取合适的教学手段可以优化学生代数推理表现．鉴于学生所经历的课程,以及多年来大多数研究是在传统的课堂环境下测量给定课程对学生的影响,国外对于代数推理的干预研究多采取旨在教授符号操作技术的简单干预的形式[32-33]．

在代数推理相关研究中,尽管许多学者指出了代数推理的重要性,但几乎没有使用通用的工具来衡量学生的代数推理能力．且国内对代数推理的研究主要集中在以下两个方面:国内学者在“代数推理在不同学段发挥重要的作用”方面达成了共识,或从试题入手分析试题中如何考查学生的代数推理能力以及学生在解决问题中可能遇到的困难．因此,通过本研究可以获得大量关于学生代数推理表现的数据,从而抛开猜测,打破“推理只局限于图形与几何中”的固有看法,代之以有理有据的、以量化数据为基础的评价,从而为数学教育研究者开展代数教学研究提供实证基础．

3 研究方法

3.1 测评对象

本研究选取B市2所中学的八年级学生为研究对象,采取整群抽样的方式发放测试题664份．在剔除漏答过多、回答完全一致的问卷后,最终得到有效样本646份,有效率为97.3%．

3.2 测评框架

代数推理测评框架主要是通过对高校教师(数学教育方向)、中学数学教研员、一线数学教师、数学教育方向博士生等进行访谈、研讨、问卷调查最终形成的,为后续的测评工作奠定基础．在本研究中,研究者将代数推理视为一种能力,也就是成功地完成代数推理活动所必需的个性心理特征,测评框架主要包含内容维度、能力维度、情境维度．内容维度主要体现代数推理的知识内容,主要包括数与式、方程与不等式、函数;能力维度是代数推理测评的核心,主要包括发现模式、表示模式、论证;情境维度是指提出数学问题的场合,主要包括真实情境和其他情境．

3.3 测评工具

本研究旨在了解八年级学生群体应该掌握的代数推理能力,为了规避检测内容与参测学生有限的矛盾,从而采取锚题技术[34]．故本研究测试工具为C,D两套试卷,两套试卷各28道试题,其中包含18道锚题．测试试卷的题型分为选择题(四选一)、填空题和解答题:8道选择题,3道填空题和8道解答题,其中解答题最少为1问,最多为3问．八年级学生代数推理能力测试题依据《课标2022》内容标准制定,根据本研究的研究目的与研究内容编写测验双向细目表,明确每一道试题考查的目标和评分标准．测试题经过6人访谈,30人、200人两轮预测试,以保证测试题的难度、区分度等指标均符合要求．以下对部分测试题及评分标准进行举例说明．

题1能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后,如1,-3等是奇数,0,-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗?写出你的判断并证明．

解答题通常采用确立题目得分点的方式评阅,该题需要学生证明结论的一般性,要求学生会使用字母表示数,借用平方差公式进行推导,并作出正确的结论,每个得分点占1分,评分标准如 表1所示．

表1 M8CS131评分标准

题2如图1所示,已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡,天平的右边应放几个圆形?请写出你的思路．

该题的分值设置为3分,考虑到学生可能用字母、或文字、或图形来表征题目中给出的等量关系,进而得到正确的结论,这样作答的分值为3分．预设极少数学生没有看清题意,将天平右边应该放几个○表示成▲,也得到了正确的结论,这样作答的分值为2分．除此之外,部分学生可能用字母、或文字、或图形来表征题目中给出的等量关系,但未得到正确的结论或运算错误,这样作答的分值为1分.评分标准如表2所示．

表2 M8CS151评分标准

该题要求学生验证等式是否成立,难度稍大,分值为4分．还存在部分学生运用特殊值方式证明等式的成立,此类作答给1分,评分标准如表3所示．

表3 M8DS172评分标准

4 研究结果

4.1 经典测量理论的试题质量分析

经典测量理论主要从测试题的信度、难度、区分度等指标对测试题进行质量分析,以检验测试题的有效性．经检验,C卷的Alpha的系数为0.798,D卷的Alpha的系数为0.818,内部一致性信度较好,符合经典测量理论中的信度要求．测试题的难度与区分度如图2所示．

图2 测试题的难度与区分度

由图2可知,C,D卷大部分测试题的区分度介于0.4～0.7之间．根据经典测量理论的区分度测量标准,区分度大于0.4即说明该题目可以区分不同水平的学生,由此判断C,D卷大部分测试题的区分度均符合经典测量理论的区分度的要求．

4.2 项目反应理论的试题质量分析

在命题设计上,有部分试题考查多个代数推理的子能力．经专家标定后,在制定试题的评分标准时,将得分点设置在代数推理子能力的表现上．若客观题中考查多个代数推理能力的子能力时,本研究假设,得到正确答案的学生即在相应的代数推理能力的子能力得分点上均得分,其他学生在相应的代数推理能力的子能力得分点上均不得分．而简答题中评分标准的得分点在考查多个代数推理子能力时进行了得分点赋分．根据本研究测评框架,代数推理可以从能力、情境和内容维度进行刻画,故分别使用多维Rasch模型对试题中的所有项目进行分析,各题拟合指数见表4．

表4 多维Rasch模型下的各题拟合指数

续表

由表4可知,整体来看,各维度下的几乎所有项目的拟合指数(INFIT MNSQ)都在0.7～1.3,说明测试数据符合模型．

4.3 代数推理能力表现

4.3.1 八年级学生代数推理能力总体表现

由于Conquest软件默认的输出分数为标准分(又称为Z分数),Z分数会出现负值和小数,因此本研究采用CEEB分数:CEEB分数=100Z+500,该分数的均分为500,标准差为100[35],而分维度能力值则乘以50再加300分别代表学生代数推理子能力表现．八年级学生代数推理能力分布如图3所示．

图3 八年级学生代数推理能力分布

从图3可以看出,参测学生代数推理能力平均水平为496.76,大部分学生的代数推理能力处在400～600分之间(约占80%)．

4.3.2 八年级学生代数推理子能力之间的关系剖析

(1)八年级学生代数推理子能力的表现分析

图4呈现了参测的八年级学生在发现模式、表示模式、论证三个代数推理子能力维度上的表现情况．

图4 八年级学生在代数推理各能力维度上的表现情况

从图4可以看出,学生在发现模式代数推理子能力的表现的离散程度明显高于表示模式、论证子能力的表现的离散程度．此外,发现模式、表示模式、论证均存在低分异常值．

(2)能进行符号化的学生与其他学生的代数推理能力差异分析

作为代数推理的一个核心方面,一般化和符号化受到了广泛的关注[36-38]．符号化的重要性在于它是一种手段,通过这种手段,可以将多个实例概括成一个象征多样性的单一陈述的单一形式[39]．在本研究中,研究者认为八年级学生需要借助符号实现一般化推导的过程,故符号化与代数推理能力密切相关．在命题设计的过程中,命题团队设置了M8CS151(M8DS151,题2)来考查学生的代数推理能力,但在对这道题的评阅过程中发现参测学生应用了文字、符号、图形来解决问题,故对能进行符号化的学生与其他学生的代数推理能力可能存在的差异进行探究．图5呈现了能进行符号化的学生(组1)与其他学生(组2)代数推理子能力的表现情况．

图5 能进行符号化的学生与其他学生的代数推理子能力的表现情况

在独立样本t检验分析中发现,能进行符号化的学生的代数推理能力与其他学生的代数推理能力呈现了显著的统计学差异(p<0.05)．并在子能力维度,能进行符号化的学生的表现情况与其他学生的表现情况均呈现了显著的统计学差异,这表明能进行符号化的学生的代数推理能力明显优于其他学生．

(3)能给出一般性论据的学生与其他学生的代数推理能力差异分析

此外,在对M8CS172(M8DS172,题3)进行评阅的过程中发现,部分学生使用了特殊值的方式进行验证,但特殊值不具有一般性,故进一步探究该类学生(组2)与能给出一般性论据的学生(组1)代数推理能力的表现情况,如图6所示．

图6 能给出一般性论据的学生与其他学生的代数推理子能力的表现情况

在独立样本t检验分析中发现,能给出一般性论据的学生的代数推理能力与其他学生的代数推理能力呈现了显著的统计学差异(p<0.05)．并在子能力维度,能给出一般性论据的学生的表现情况与其他学生的表现情况呈现了显著的统计学差异,这表明能给出一般性论据的学生的代数推理能力明显优于其他学生．

5 建议与启示

5.1 提高学生符号化能力,引导学生尝试给出一般性论据

本研究表明,部分八年级学生尚未掌握符号化能力,仍倾向于使用图形或者文字解决问题,并习惯以特殊值的形式提供一般性论据．这可能由于学生在掌握解题技巧过程中,常常利用特殊值来判断选择题选项是否正确,尚未形成提供一般性论据的习惯．八年级是中学阶段思维发展的关键期,这个时候学生思维开始从具体运算阶段向形式运算阶段发展,学生的抽象逻辑思维开始由经验型向理论型水平转化．八年级是逻辑抽象思维的新起步,是中学阶段运算思维的质变时期．故尤其要利用现实情境中的问题,向学生渗透代数语言的简洁、明了,使其感受符号化的必要性及重要意义．同时在教学中,切勿只过分强调特殊值等解题技巧,而可以在通过讲授特殊值在快速判断选择题选项的基础上,引导学生给出一般性论据,循循善诱,让学生站在更高的角度明晰题意．

5.2 教学活动中加强代数推理的“推理”环节

很多师生未能很好地“感受到”代数学习过程中的推理,部分原因是在教材设计和教学实施中,代数推理的过程展开不够[40]．因此,将代数内容中的推理过程呈现给学生是重要且必要的,在这个过程中,让学生理解计算要依据一定的“规则”——公式、法则、运算律等,实现计算中有推理(算理)．具体地,可以从代数推理角度理解教材中的“规定”问题,例如,在八年级上整数指数幂中“任何非零数的零次幂都等于1”,其实,该规定可以从am÷am=am-m=a0得出,然后强调由于0不可以作为除数,所以限制条件是非零数,从该种意义上帮助学生理解“规定”问题,可以让学生摒弃死记硬背的习惯．

5.3 从程序性学习转向理解性学习

学生有能力进行复杂的数学推理[41],但传统的教学不是建立在学生对数学的思考方式上,而是围绕着对计算法则等的记忆．在这个过程中,学生往往会摒弃自己的数学思想,并开始依赖他们个人经常混淆的传统算法程序和不准确的“经验法则”[42],因此他们缺乏对数感和对数学运算的理解．舍瓦列夫以暂时联系理论的观点分析解代数题的推理过程,得出一个重要的结论:随着学生对数学推理过程和解数学题技能的熟练掌握,他们将渐渐意识不到所用的法则,虽然他们能正确地遵守这法则[43]．学生对数学知识理解的转变要求教师改变教授数学概念的方式,教师必须从专注于计算和记忆转向专注于数学意义的形成、问题的解决和推理．学生更需要通过有意义的活动和论述来发展自己的理解,这些活动和论述将使他们深刻理解这些概念,并将它们作为后续年级学习的基石．