立足整体 关注逻辑 提升素养——“同底数幂的乘法”章起始课教学设计与反思*

李树平

(江苏省苏州高新区实验初级中学 215011)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)明确指出:数学教学要帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯,发展核心素养[1]．同底数幂的乘法是中学阶段最基本的运算之一,也是整式乘法的逻辑起点．教学中通过追本溯源,关注逻辑,能帮助学生有效构建整体认知,培育高阶思维,促进数学素养的提升．2023年2月23日,笔者有幸参加苏州市初中教育科研协作会的课堂教学展示活动,开设市级公开课“同底数幂的乘法”章起始课．现将教学过程与思考整理如下,以飨读者．

1 教学分析

1.1 单元视角下同底数幂的乘法的地位

本节学习内容为江苏凤凰科技版七年级下册第八章《幂的运算》第一节.本节课所在单元“幂的运算”是整式加减的延续与发展,也是后续学习整式乘法、除法的基础．整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式,几种运算通过分配律、结合律等运算律最终都可转化为单项式与单项式的积．而单项式乘单项式又以幂的运算为基础,常见的基本形式有am·an,(am)n,(ab)n．由此可见,整式乘法的内容与逻辑线索为:同底数幂的乘法—幂的乘方—积的乘方—单项式乘单项式—单项式乘多项式—多项式乘多项式—乘法公式[2](特殊化后的多项式乘多项式),因此,整式乘法的逻辑起点为同底数幂的乘法．本节课作为一章的开篇,需引导学生自己构建知识结构,厘清学习路径,重构认知结构．

1.2 运算视角下同底数幂的乘法的理解

学生已学习有理数的加、减、乘、除、乘方等运算,当数不确定时,引入了字母表示数,即为整式的运算．整式乘法的基本运算单位为an,从数式通性的角度看,学习同底数幂的乘法有很牢固的基础(数的乘方),利用运算律可类比数的运算来理解式的运算,体会数与式在运算本质上的一致性．把数字抽象为字母以后,虽然运算对象发生了变化,但“研究套路”不变,思想方法不变,经历用字母运算、推理、归纳等数学活动得出来的结论是普遍成立的,也体现了数学的整体性．具体到本节课的教学中,加强运算技能的训练,使学生学会如何高效、有系统地运算是核心．运算过程通常要理解算理、掌握算法,算理即为同底数幂乘法的乘法法则,算法即为计算步骤,需养成良好的运算习惯．例如,运算时提醒学生“先观察后计算”;把不同底数幂转化为同底数幂时,要“先定符号后定绝对值”．学生经历这样的数学活动过程,有助于培养“数感”和“符号意识”,提高运算能力,实现数学核心素养的提升．

2 教学设计

2.1 新课引入,形成概念

活动1回忆已学有理数与整式的运算．

问题1 七年级上学期学习了有理数的哪些运算?我们是如何学习的?

问题2 当数不确定时,引入了字母表示数,数的运算即转化为整式的运算．那么我们已学过哪些整式的运算?类比数的运算的学习过程,接下来我们可能要学习整式的什么运算?

设计意图引导学生回忆数的运算,类比得出整式运算的基本框架(图1);通过把数抽象为字母,让学生感受数式通性.依据数学知识发展的逻辑必然性提出问题,体现了数学知识的关联性和整体性,激发学生探究的欲望．

图1

活动2探寻整式乘法的逻辑起点．

思考与交流 从四个整式a2,a3,a3+ab,a+ab中任选两个构成乘法算式．

问题1 你能写出哪些算式?

问题2 尝试把你所写的算式进行分类.整式乘法可能有哪些类型?

(单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式)

追问1 如果要计算单项式乘多项式、多项式乘多项式,你能设想一下第一步分别如何运算?

(通过分配律、交换律与结合律转化为单项式乘单项式)

追问2 算式a2·a3有什么特点?你能给这种运算取个名字吗?

设计意图依据运算律发现三种整式乘法最终都可转化为单项式与单项式的积,而单项式的实质为数字与字母的积;通过运算律发现单项式乘单项式又以幂的运算为基础,常见的基本形式有am·an,(am)n,(ab)n,其中am·an又是最简单的幂的运算;接着引导学生观察算式特征,通过取名活动,揭示本课学习的课题．让学生从整体上构建整式乘法的基本类型,探寻整式乘法的逻辑起点,深刻体会学习同底数幂的乘法的必要性,激发学生的探究欲望和学习热情．

2.2 合作探究,建立法则

活动3根据乘方的意义计算下列各式．

(1) 103×104=( )×( )==

10( );

(2)a3·a4=( )×( )==a( );

(3) 10m×10n=( )×( )==

10( )．

活动4交流与思考.

①观察比较以上运算过程,你发现底数与指数分别有什么规律?

②依据刚才的解题经验,你能尝试计算am·an(m,n都是正整数)吗?

③回顾法则的学习过程,我们经历了怎样的探究过程?

设计意图由数的乘方入手,再逐步把底数或指数抽象为字母,发现其中的规律,使学生经历观察、猜想、归纳、一般化等同底数幂的乘法法则形成的全过程.由特殊到一般,再由一般回归到特殊,这样的方法也是代数问题中获得公式、法则等常用的方法.经历这样的学习活动过程有利于发展学生的数学抽象能力、归纳能力和语言表达能力．

2.3 例题展示,运用法则

例1计算下列各式,结果用幂的形式表示．

(1)(-8)12×(-8)5; (2)a·a4;

(3)a3m·a2m-1(m是正整数);

(4)(p-q)5·(p-q)2.

变式 计算a·a4·a5.

设计意图学会直接利用同底数幂的乘法法则进行两个幂的运算.通过第(2)小问的变式,把同底数幂的乘法法则推广到三个及三个以上幂的相乘;由第(4)小问了解到幂的底数不仅可以是单独的字母或数字,也可以是某个单项式或多项式,培养学生思维的多样性和广阔性．

例2计算下列各式,结果用幂的形式表示．

(1)(-8)3×82; (2)(-a)3·a2;

(3)(b-a)3·(a-b)2.

图2

设计意图帮助学生突破底数不同(互为相反数)的幂的乘法运算这一难点,把不同底数转化为同底数是关键.引导学生养成先观察、后计算的良好运算习惯;优化算法,归纳总结出运算的一般步骤(图2),进一步体验转化与化归思想,培养学生善于反思的习惯,培育高阶思维,提升运算素养．

2.4 实践应用,体验成功

2022年11月29日,神舟十五号载人飞船发射成功,航天员顺利进驻中国空间站,并与神舟十四号航天员乘组进行在轨轮换,两个航天员乘组首次实现“太空会师”．已知飞船飞行的速度约为7.9×103m/s,若以此速度飞行104s,问飞船飞行的距离是多少?(用科学记数法表示)

设计意图创设时事热点情境,激发学习兴趣,增强爱国热情.让学生体会同底数幂的乘法的实际应用价值,培养数感和应用意识．

2.5 拓展延伸,逆用法则

已知am=4,an=2,求am+n的值．

设计意图通过逆用法则,培养学生的逆向思维能力和综合应用能力．

2.6 收获感悟,归纳总结

(1)经过本节课的学习,我们掌握了哪些知识?收获了哪些学习方法和经验?

(2)为了研究整式的乘法,经同学们优选,从同底数幂的乘法开始研究,请大家展望接下来将要继续学习哪些内容?能否类比同底数幂的乘法的研究方法去尝试探索幂的乘方、积的乘方?(学生畅谈后教师完善图3并板书)

图3

设计意图让学生进行反思与归纳,畅谈疑惑与收获．借助框架图把不同阶段的学习内容联系起来,同时对后续学习内容及学习方法进行了展望与畅想,从知识、思想方法、研究路径等角度使学生的数学认知在更高层次上进行了重构．

3 几点思考

3.1 关注逻辑,构建整体认知

《标准2022》建议整体把握教学内容,注重教学内容的结构化,指出:“在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系．”[1]考虑到学生的年龄特征和认知规律,教材编写时通常把逻辑严密的知识按章、节拆解编排到不同年级中,平时教学中教师常常忽略将相关联的知识内容及知识结构关系呈现出来,以致学生学习的知识较零散,只见树木,不见森林,其数学认知水平自然也就得不到明显提升．因此,在教学设计时,需注重前后勾联、上下搭建,找准知识的“生长点”与“延伸点”,认识到所学内容在初中数学体系中的地位和作用,让学生看到一些貌似无关知识的内在联系和逻辑关系,寻求相通的学习方法,促进知识、方法、思想的再构建,使学生的数学认知形成有机的整体．

本节课在引入环节先让学生回忆数的运算,而后类比数的运算得出整式运算的基本框架,按运算发展的脉络,由整式加减自然进入整式乘法的学习．活动2环节从四个整式中任选两个构成乘法算式,通过对所写乘法算式进行分类与转化,让学生明白为什么学习整式乘法前要先学习幂的运算,为什么先从同底数幂的乘法开始学习,逐步找到整式乘法的逻辑起点——同底数幂的乘法．在课堂小结环节,学生不仅从知识、思想方法、研究路径等角度进行了认知重构,还顺着寻找整式乘法的逻辑起点过程,倒过来对后续将要学习的内容及学习方法进行了展望与畅想．学习过程中学生通过联想、类比、归纳等探究活动明晰了所学知识的来龙去脉,建立起有意义的知识结构,用整体、联系、发展的眼光看问题,不仅从整体上感知数学知识结构化,数学认知水平也在更高层次上得以重构,实现了思维进阶．

3.2 知能并用,落实素养提升

新一轮课改以核心素养为导向,《标准2022》对核心素养的界定为:会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界．课程目标也实现了从知识立意到能力立意、再到素养立意的提升．知识、能力与素养三者相互关联,是评价数学学习活动的重要指标.知识是显性的、具体的,是发展能力的基础,掌握“四基”“四能”既是落实素养目标提升的前提,也是数学素养目标在日常教学中的具体化．教学中首先要注重激活知识生长点,内化新知,构建知识体系,其次要重视能力的提升,如抽象能力、运算能力、推理能力、探究能力等,最终目标 是激发学生的学习兴趣和灵感,提升学生的数学素养．

本节教学中重视知识的理解和能力的提升.在建立法则环节,为深化对算理的理解,注重数式通性,由数的乘方入手,引导学生把底数或指数从数字逐步抽象为字母,通过质疑与探究、抽象与推理,发现其中的运算规律,归纳出同底数幂乘法的运算法则,探寻相通学习方法和研究一类代数问题的一般路径,使学生在掌握基本知识与基本技能的同时积累了数学活动经验,找到“研究套路”,培养了学生的探究意识,发展了学生的数学抽象能力、语言表达能力和代数推理能力．在运用法则环节,为掌握算法提高运算技能,设置的例题从两个同底数幂的乘法过渡到三个同底数幂的乘法,再到底数互为相反数的幂的乘法,引导学生体验转化与化归的数学思想方法,培养学生的应用意识和创新思维能力．例2中三个小题的底数分别是数字、单独的字母和多项式,使学生经历从特殊到一般的过程,感受了代数思想．这样的学习活动其实是数学核心素养目标在课堂教学中的具体化,这是本节课的出发点与归宿．

本节课从设计的立意到课堂的实施,从知识的传授到能力的培养,从学习结构到素养的落实,努力体现以学生发展为目标的教学理念.这样的课堂超越了数学知识本身,使学生感受到了数学之趣、数学之理、数学之美,实现了情感再升华、能力真发展和数学核心素养真提升的目标．