精心选编“问题”:较难自招考题的教学关键

[摘  要] 高中自主招生考试的训练目前得到不少学生的关注，关于这个方向的备考训练既不同于中考备考，也不等同于竞赛辅导，需要教师精确研判当地优质高中招生考试的命题方向，然后精心选编专题，这样才能帮助优秀学生在备考过程中“事半功倍”.

[关键词] 自招考试;选编问题;教学关键;铺垫问题

近年来，有些地区热点高中在中考前会以创新班、实验班或火箭班的名义对优秀学生进行招考，通过招考的优秀考生会“提前”获得这些热点高中的“入门证”，所以不少初中学校都会为这些优秀学生开展专题备考复习. 查阅《中学数学》（初中版）近年来关于“自主招考”的文献可见，这个方向的研究成果并不是很丰富. 笔者最近以一道高中自主招考几何题（下文中的“问题3”）为背景进行专题复习，取得了较好的教学效果. 为了减缓学生求解这道高中自主招考较难几何题的难度，我们预设了两个基本问题（问题1、问题2）、然后针对“问题3”的最后一问，预设了3个“铺垫式问题”，最后还设计了3个小结问题，安排学生进行小结回顾. 本文梳理该课教学设计，并给出教学立意阐释，以供研讨.

圆的几何综合题专题课教学    设计

1. 教学环节一：基础热身

问题1：如图1所示，四边形ABCD的顶点在同一个圆上.

（1）这个四边形的对角之间具有怎样的数量关系？

（2）连接BD，若BD为圆的直径，则∠A，∠C有什么特殊之处？

（3）延长BC，则∠A与四边形ABCD在顶点C处的外角之间具有怎样的数量关系？

（4）连接AC，BD交于点G，求证：AG·CG=BG·DG.

预设意图问题1能让学生巩固圆的基础知识. 问题1中的4个问题分别考查了以下基础知识：圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角为直角、圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角、圆的相交弦性质.

2. 教学环节二：拾级而上

问题2：如图2所示，两圆相交于C，D两点，过点C的直线交两圆于B，F两点，过点D的直线交两圆于A，E两点.

（1）图2中能找到哪些角相等？哪些角互为补角？

（2）小明发现AB，EF之间具有平行关系，请判断小明的发现是否正确，并说明理由.

（3）如图3所示，E，F两点的位置发生变化，请指出AB，EF之间的位置关系，并说明理由.

（4）如图3所示，设AE，BF交于点G，请指出图3中有哪些三角形相似.

预设意图与问题1相比，问题2给出了两个圆相交的情形，运用圆的内接四边形性质能发现一些角相等、互补的关系，从而发现AB，EF的平行关系，这为进一步得出三角形相似提供了条件.

3. 教学环节三：挑战难题

问题3：如图4所示，在△ABC中，M是边AC的中点，D，E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点，满足MD∥AB，且A是线段DE的中点，过A，B，E三点的圆与边AC相交于另一点P，过A，D，P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.

（1）连接PQ，判断PQ与BC的位置关系，并说明理由;

（2）如图5所示，设射线PQ与过A，B，E三点的圆相交于点F，与AB交于点G，连接EF，BF，延长DQ交BC于点N，求证：四边形BGQN是平行四边形;

（3）在（2）问的条件下，求证：CQ=BF;

（4）求证：∠BCQ=∠BAC.

预设意图（1）连接PQ，可得∠ADQ=∠APQ;由AB∥DM，可得∠ADQ=∠EAB;由DE是过△ABC外接圆的切线（切点为A），得∠EAB=∠ACB. 于是等量代换后可得∠APQ=∠ACB，所以PQ∥BC.

（2）要证明四边形BGQN是平行四边形，可依据“定义”来证明，即只需找到BG∥QN和GQ∥BN这两组平行关系即可. 由已知条件MD∥AB可直接得到BG∥QN，又第（1）问已证出PQ∥BC，所以GQ∥BN. 故问题得证.

（3）要证CQ=BF，关键是要证出四边形BFQC是平行四边形. 目前已有条件QF∥BC，现在的关键是再找一个条件，可选择QF=BC. 由前面“问题2”的求解经验，我们可以先得出EF∥AB∥DQ，结合A是DE的中点，可得G为FQ的中点;接着，在△ABC中，M是AC的中点，MN∥AB，可得N是BC的中点，再借助四边形BGQN是平行四边形，可代换出FQ=BC，从而得到四边形BFQC是平行四边形. 于是有CQ=BF.

（4）有了前面几问的铺垫，借助四边形BFQC是平行四边形，可得∠BCQ=∠BFQ，再借助圆周角性质，得∠BFQ=∠BAC，于是有∠BCQ=∠BAC.

4. 教学环节四：小结回顾

小结问题1：本课主要是安排大家挑战最后这道较难题，即挑战问题3. 如果把问题3前面铺垫的3个问题都删掉，则问题3就成为一道较难的自主招考题或竞赛题. 请大家回顾一下求解过程，你们觉得问题3中的3个铺垫问题哪一个最重要，并说说你是如何理解的.

小结问题2：本课虽然重点研究问题3，但我们前面还是安排了问题1和问题2，你觉得老师这样设计的意图是什么？

小结问题3：对于问题3，大家还能得出哪些结论？

预设意图3个小结问题能带领学生全面回顾本节课所学“问题”的前后联系，特别地，铺垫的意义还提醒学生在以后独立解题时，可以寻找或添补出铺垫式问题. 如果少数学生的几何解题水平很高，教师还可以安排他们深入探究问题3中第（4）问的其他解法.

教学立意的进一步阐释

1. 深度分析自招考题的解题思路——“从何处来”

由于自主招考面向的是优秀学生群体，所以很多自招考题都有较大的难度，甚至有相当的比例选编自历届竞赛试题，这些竞赛试题往往超出课标要求，并且删减很多铺垫式问题，使得问题的求解难度很大. 教师针对这些考题进行解题研究时，不能局限于解题思路的贯通、答案的获取，而要尽可能地想清这些较难题的思路“从何处来”，最好能从教材中找到“源头活水”. 像上文关注的问题3就是一道有难度的试题，通过解法分析，发现它源自教材上圆的内接四边形（如问题1），然后是两圆相交的一个基本图形（如问题2）. 从这两个基本图形出发，学生就可以顺利地解决问题3的前3个铺垫式问题，这就为最难的一问提供了帮助或解法暗示. 值得一提的是，有些解题类自媒体（如微信公众号）喜欢围绕某些竞赛题进行“一题多解”展示，这当然有利于我们感受数学解题“殊途同归”的魅力，但是如果“一题多解”成为不辨优劣的“一题滥解”，则对解题教学的意义不是很大，所以教师应该深入分析思路是如何生成的，可以用哪些更初等的方法来分析问题的解法.

2. 预设铺垫式问题帮助学生“一步一步向上走”

日本数学教育家米山国藏曾指出数学的一大特征是“一步一步向上走”. 笔者认为，较难题的教学也要向学生传递解法是如何渐次展开并“一步一步向上走”的. 对自主招考专题复习进行备课时，教师应该清楚参加辅导训练的学生并不全是特别优秀的学生，他们当中有相当比例的学生对这些自主招考题的理解还是有困难的，所以为了取得较好的解题教学效果，教师要预设铺垫式问题，帮助学生更好地理解这类较难题. 前文所述复习课让更多学生受益的是，既让学生知晓了一道较难自招考题的解法，又能让参加训练辅导的学生增强对教材上经典问题或基本图形的深刻理解. 关于铺垫式问题的设计，笔者的经验是先想清楚解法可以如何自然而然地生成，然后从复杂图形中分离出最简洁、基本的图形，让学生做基础热身，接着逐渐出现“组合图形”，探究可能的成果与进展，最后将最难一问的重要步骤以铺垫式问题呈现（如上文课例問题3中的前3个小问）.

3. 通过“小结问题”促进学生学会回顾与反思

本课例中的课堂小结也是精心设计的. 我们通过3个小结问题组织学生针对本课所学内容进行全面回顾与反思，让学生辨析较难题求解过程中最关键的那些步骤或进展，这既能帮助学生理解铺垫问题的价值与意义，又能让优秀的学生思考“成果扩大”或其他解法，鼓励他们挑战自我——“不满”是向上的车轮. 有些教师经常安排学生围绕较难题进行解法整理或思路整理，并且以“数学写作”“数学随笔”的形式进行整理，这是很有意义的教学方法，值得我们学习. 这里笔者想说的是，解题教学不能忽略解后回顾、反思环节. 解后回顾能加深学生对典型问题关键步骤的理解，能加深学生对基本图形及其性质的理解和熟悉程度，能让学生学会如何分析较难问题——寻找思路或源头.

作者简介：安亚成（1977—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作，曾获无锡市数学教学一等奖.