打破思维定式 回归问题本源 提升数学素养

[摘  要] 近年来压轴题的解题方法逐渐回归利用基本方法和基本图形进行解决，更侧重于对课本和课标中核心知识的考查.文章以2022年上海中考25题为例，通过剖析各个问题的不同解法，阐述在新课标背景下，如何回归问题本源，打破思维定式，借助基本图形和基本方法进行压轴题教学.

[关键词] 中考;压轴题;新课标;核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在学业质量板块指出“能运用几何图形的基本性质进行推论证明，初步掌握几何证明方法，进一步增强直观几何、空间观念和推理能力”[1]. 2022年上海中考25题，题型新颖，紧扣课标，层次分明，并能跳出“套路”，运用常见的基本图形和基本方法进行问题解决，跳脱“思维定式”，回归问题本源.

综观整道题目，命题的意图逐步由知识立意向能力立意转变，由能力立意向素养立意实现，侧重考查了学生的感悟、意识、思想、能力等数学核心素养，达到了提升学生数学核心素养的目的[2].

试题呈现

（2022年上海中考第25题）如图1，在平行四边形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点E.

（1）当EA=EC时，

① 求证：平行四边形ABCD是菱形;

② 若AB=5，AE=3，求BD的长.

（2）以A为圆心、AE为半径的圆A，以B为圆心、BE为半径的圆B，两圆的一个交点F，若F在直线CE上，且满足AE=CE，求的值.

试题评价

本题是上海卷解答题的最后一道题，试题的背景主要围绕平行四边形和中点进行展开，将特殊四边形的判定和性质、勾股定理、解三角形、三角形一边的平行线的性质定理和圆与圆的位置关系等问题进行综合设计，其中蕴含了丰富的数学思想和方法，如基本图形分析法、方程思想、转化思想等，同时也着重体现了学生的逻辑推理能力，这些都有助于考查学生的核心素养.

1. 紧扣教材，一题多解，搭建知识间的联系

新课标中指出，“要能理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程”. 要想完整而又准确地表述论证过程，就需要搭建知识网络，对核心知识点也应了如指掌. 试题紧扣教材，梯度设置合理，兼具考查和选拔两种功能.

本题的第（1）问是在EA=EC背景下，第①问是证明平行四边形ABCD是菱形，可以从沪教版八年级下册的“菱形的判定”入手;第②問是求菱形对角线的长度，围绕沪教版九年级上册的“三角形一边的平行线”与重心和平行线的性质定理，从而借助或构造基本图形，两次利用勾股定理进行求解;本题的第（2）问是在沪教版九年级下册“相交两圆中连心线和公共弦”问题的背景下，借助或构造基本图形，利用比例线段和解三角形的相关性质助力问题的解决.

2. 发挥联想，化繁为简，积累问题解决经验

压轴题相较于其他几何证明题而言，其最大的难度在于将复杂图形“抽丝剥茧”，通过发挥联想，抽象出复杂图形中的基本图形，并运用我们常见的基本方法进行解决.

本题的第（1）问主要是利用“菱形的对角线互相垂直平分”这条基本性质，发现“BP-AD组成的X型”基本图形;本题的第（2）问主要是利用“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”这条基本性质，发现两组“X型”基本图形. 整道题主要围绕着比例线段、勾股定理和解三角形等基本方法来展开，由此考查学生在逻辑推理、直观几何和空间观念方面的核心素养.

解法赏析

1. 第25题第（1）问第①题解法赏析

第25题第（1）问的第①题考查了菱形的判定，可以从以下两个角度切入：思路1主要围绕“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”展开，通过连接AC，利用“等腰三角形的三线合一”和“平行四边形的对角线互相平分”进行证明;思路2主要围绕“一组邻边相等的平行四边形是菱形”展开，利用中线的性质进行辅助线的添加，或“倍长中线”，或“截长补短”，方法比较多样.

解法1  如图2， 连接AC，与BD相交于点O.

因为ABCD为平行四边形，所以AO=CO. 因为AE=CE，所以AC⊥BD. 因为ABCD为平行四边形，所以平行四边形ABCD为菱形.

解法2  如图3，延长CE交AB于M.

因为ABCD为平行四边形，所以AD∥BC. 所以===. 又因AB∥CD，所以===. 所以ME=CE，EP=AE，故ME=EP. 因为ME=EP，∠AEM=∠CEP，AE=CE，所以△AME≌△CPE. 所以AM=CP，即AB=CD，故平行四边形ABCD为菱形.

解法3  如图4，过点C作CH∥BD交AP延长线于点H.

因为CH∥BD，所以∠1=∠H. 因BP=CP，∠BPE=∠CPH，所以△BPE≌△CPH，即EP=PH. 因为AD∥BC，所以==，即AE=2EP. 所以AE=EH，即CE=EH，则∠H=∠ECH. 因为BD∥CH，所以∠3=∠ECH，则∠2=∠3. 故△ADE≌△CDE，所以AD=CD. 所以平行四边形ABCD为菱形.

解法4  如图5，过点C作CF∥AP交BD于点F.

因为CF∥AP，所以∠1=∠2. 因为ABCD为平行四边形，故AD=BC，AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 于是可得△ADE≌△CBF，所以AE=CF，BF=DE，即BE=DF. 因为AE=CE，所以CE=CF，即∠2=∠3，于是∠CEB=∠CFD. 由此可推出△BEC≌△DFC，所以BC=CD. 所以平行四边形ABCD为菱形. （相同作法：在BD上截取BF=DE或DF=BE）

解法5  如图6，延长AP，DC交于点G.

易证△ABP≌△GCP，所以AB=CG. 因为AD∥BC，所以==2. 设EP=a，则AE=2a，CE=AE=2a，于是AP=PG=3a，EG=4a，故==，∠PEC=∠CEP，所以△ECP∽△EGC，可得==，即CG=AB=2CP. 所以AB=BC，故平行四边形ABCD为菱形.

2. 第25题第（1）问第②题解法赏析

第25题第（1）问的第②题考查了求菱形对角线的长度，在第①题的基础上，借助“BPAD组成的X型”基本图形，发现相关线段间的数量关系，借助方程思想进行设元，利用两次勾股定理，求出所设未知数，从而求出BD的长度.本题解法的多元性主要体现在构造不同的直角三角形，选择不同的三角形就会产生不同的方程，但是整体的解题思路还是一致的.

解法1  如图2，因为平行四边形ABCD为菱形，所以AD∥BC，AD=BC，于是得到==. 设BE=2a，则DE=4a，EO=a. 所以AO2=AE2-EO2=9-a2，AO2=AD2-DO2=25-9a2，于是得到a2=2，解得a=±（舍去负值），所以BD=6a=6.

解法2  如图2，设AO=a，因为平行四边形ABCD为菱形，所以AD∥BC，BD=2BO=2DO. 在Rt△AOE中，EO==;在Rt△AOD中，DO==，即BE=BO-OE=-，DE=DO+OE=+. 因为AD∥BC，所以==2，即DE=2BE，故+=2（-），化简得到3=，解得a=±（舍去负值），故a=，即BD=2DO=6.

解法3  如图7，过点A作AM⊥BC，垂足为M，过点D作DN⊥BC.

3. 第25题第（2）问解法赏析

第25题第（2）问是在相交两圆和平行四边形背景下的问题.根据题意，如图8，由AB是连心线，EF是公共弦（与线段AB交于点G），可得AB垂直平分EF，即CF⊥AB，因此求的值就转化为确定点G和点E分别在线段AB和线段CG上的具体位置.因此，当确定了点G和点E的具体位置后，借助方程思想和勾股定理，即可求出的值.

解法1  如图9，连接AC.

因为O为AC中点，P为BC中点，所以在△ABC中，点E为重心，连接CE交AB于点G，则G为AB中点. 因为AB为连心线，EF为公共弦，所以EG⊥AB. 所以EG垂直平分AB，即AE=BE. 设AE=2x，则CE=2x，因为点E为重心，所以GE=x. 在Rt△AGE中，AG==x，即AB=2x;在Rt△BCG中，BC==2x，所以==.

解法3  由解法1和解法2得到的提示，要证明G为AB的中点，可有多种添加平行线构造“A型”基本图形或“X型”基本图形的方法[3]. 例如：

解法（1）：如图11，过点P作PM∥AB交CF于M.

因为AD∥BP，所以==. 因为PM∥AB，所以==，==. 所以BG=AG.后同解法1.

解法（4）：如图14，延长AE，DC交于点M.

因为AB∥CD，所以===. 因为AB=CD，所以AB=CM. 因为AB∥CD，所以==，即AG=AB.

解法4  （利用梅涅劳斯定理）

将△ABP视为梅氏三角形，CG为截线，由梅涅劳斯定理得··=1，由P为BC中点，AE=2EP，可得BG=AG.后同解法1.

教学反思

1. 重“四基四能”，轻“解题套路”

新课标强调了“以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调了‘四基的获得与发展，发展‘四能，从而形成正确的情感、态度和价值观”. 回顾2022年上海中考第25题，题目背景和问题设置更加新颖，对于喜欢“按套路”解题的学生而言，具有不小的挑战性. 对于该题的第（2）问而言，证明G是AB的中点是本道题的难点，很多同学陷入了“逢压轴必添线”的怪圈中，添加了许多辅助线，最后无从下手. 其实仔细分析图形，其中隐含了我们最常见的“平行型”问题，利用两次比例线段即可推出G为AB中点，或利用重心的性质更为简便.

其实，目前中考的不少题目都来源于教材经典例题或练习题的改编. 在教学时，若能将这些例题中的知识点延伸拓展，设计出一系列的变式题组，便可让学生在这些数学活动中充分探究，从而积累问题解决的经验. 相较于让学生去记忆晦涩的模型，这样的方式更能激发学生自主探究的兴趣和能力，从而激励学生在面对陌生或困难情境时自主发现问题并解决问题.

2. 重“问题导向”，轻“实战演练”

对于解决几何压轴题，其最大的难点就在于搭建“已知”和“未知”的桥梁. 对于上述题目第（1）问的第①题而言，虽然有5种做法，但是最佳的做法还是连接对角线，利用“等腰三角形的三线合一定理”证明对角线互相垂直. 不难发现，很多学生对于中点“情有独钟”，常常联想到“倍长中线法”，尽管此种做法也成立，但是相较于第一种做法，显然更加复杂. 在日常教学中，我们提倡“一题多解”，但是更需要“因地制宜”. 如当出现中点问题时，我们可以进行这样的联想（如图15），再根据条件和结论筛选出最恰当的解题策略.

很多学生不能联想到第一种做法，其实也暴露了其对基本图形性质不熟悉的问题. 尤其在“双减”政策下，教师更应该培养学生的“想象力”和“判断力”，要能根据具体问题具体分析，选择最恰当、最合适的方法.

3. 重“以题会类”，轻“以题见类”

教师若采用“就题论题”的传统练习题教学模式，缺乏对知识本源的挖掘和方法的归纳，便只能起到“蜻蜓点水”之效. 虽然学生见识了多种类型，但遇到具体问题该如何处理时，恐怕只能依靠其自悟能力或平时量的积累所形成的“条件反射”. 因此学生在面对复杂的压轴题时，往往显得手忙脚乱. 诸如上述题目第（2）问的解题方法在历年上海中考中多有体现（如图16），但是很多学生虽对历年中考题的解法了然于胸，但是当换了背景或改变了部分条件后就“寸步难行”，说到底，还是对此类问题的方法没有精通，难以达到举一反三、触类旁通之效.

事实上，教师若能对每类问题逐一举例剖析，讲透讲精，分析其中蕴含的基本图形和推广常见的基本方法，则一定能把培养学生“以题会类”的迁移能力落到实处，从而在潜移默化中提升学生的数学核心素养，使学生真正做到“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界”.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]李永明.凸显核心概念  彰显素养目标——2019年甘肃省中考数学卷第28题解析与思考[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2021（16）：38-40.

[3]万妍青. 巧构基本图形，助力问题解决——以2020年上海中考25题第（3）小題为例[J]. 数学教学通讯，2020（35）：12-15.

作者简介：万妍青（1991—），中学一级教师，上海市宝山区教学能手，上海市虎林中学教研组长，宝山区长江路教育集团数学学科组组长，获2020年上海市中小学优秀单元作业、试卷案例征集活动一等奖.