单元结构视域下初中数学课堂教学模式研究*--以“三角形的内角和”教学为例

袁良同

(庐江县乐桥镇初级中学 安徽合肥 231500)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称课标)在“课程理念”“学业质量”“课程实施”中强调“教学内容的结构化”,为一线数学教师实施新课程教学指明方向:建议“推进单元整体教学设计”,帮学生“用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯,发展核心素养”。据此,课题组针对数学教材以章(单元)节(小单元)编排的结构特征,在初中“图形与几何”领域进行单元结构化教学实践研究,进而提炼出“三阶段六环节”教学模式。下面简介该模式,并以人教版八上“三角形的内角和”一课为例,说明该模式的具体实施。

一、单元结构化教学内涵

单元结构化教学是站在系统的高度,跳出知识点的“散点”式课时框架,基于教材知识序、学生认知序将零散的知识进行结构化关联,并选择适切的方法和路径予以实施。具体实施时,教师指导学生从整体上把握教材结构,讲清楚知识的来龙去脉(教结构);在“单元-课时”教学实践中,学习概念、定理、公式、法则及彼此间联系,掌握学习的方法(学结构);再让学生根据已有的知识储备和学习经验,用已掌握的方法去自主学习其他内容(用结构)。

二、“三阶段六环节”课堂教学模式简介

“三阶段”指一节课的实施过程,在信息技术环境下进行课前学情研判、课中新知生成、课后巩固复习的一体化教学。课前,教师根据课标和对学情的预判,提前设计教学目标和教学草案,利用班级小管家或问卷星发布预习任务和检测练习,再根据课前检测来分析学情,调整教学目标,完善教学设计。课中,教师实施以学习者为中心的“六环节”教学,在框图启学、情境诱导、建构活动、巩固运用、归纳总结和作业布置六个教学环节进行师生合作、生生交流,注重课堂的生成性。课后,教师根据作业反馈来评估教学效果,针对出错较多的知识点设计补偿性练习,利用课后延时服务时间进行精准辅导;对于个别性错误,教师利用课余碎片时间实施个性化指导。

三、教学实施案例

人教版八上第十一章三角形由3个小单元组成,教材计划用6课时进行三角形的概念和性质学习,再用2课时通过类比三角形来探究四边形的相关概念、内角和与外角和。本章是前面所学知识的延伸,又是后续学习全等三角形、四边形、相似三角形、三角函数的基础。本章重点是三角形有关的线段及角;难点为三角形内角和、外角和定理的证明与多边形内角和、外角和的探究,综合运用所学解决角的计算与证明问题。

本节课所授“三角形的内角和”是三角形内角的一个重要性质,也是后续进一步学习平面几何的基础,到了高中将推广到空间多面体平面角内角和、多面角截面上闭折线的方向改变量的探索。课标要求“理解三角形及其内角、外角等概念,探索并证明三角形的内角和定理”,能够运用结论来解决问题。知识结构上,遵循“概念(定义、表示、分类)→性质与判定→图形关系”的图形与几何研究的一般路径;方法和素养上,渗透类比、化归等思想方法,发展数学抽象、数学运算、数学推理和几何直观能力。根据以上分析,课堂教学具体实施如下。

(一)课前学情研判

发布预习任务和课前检测练习。

(2)画一任意△ABC,剪下∠B、∠C,分别拼到∠A的左右拼成平角,你能想到哪些拼法?

(3)将“三角形的内角和是180°”这一命题写成已知、求证和证明的形式,试着证一证。

设计意图:学情分析是课堂教学的水之源、木之根。课前借助班级小管家或问卷星进行学情调研,同时帮学生养成自主预习的习惯。教师根据检测反馈来了解学情,调整预定的教学目标,确定课堂教学思路和流程。通过学情研判,教师确定本节课教学的重点是“探索并证明三角形的内角和定理,在规范证明中体会证明的必要性”,教学的难点为“学习辅助线的添加方法及作用”。

(二)课堂教学流程

1.框图启学,把握知识结构

课件出示单元知识框图(图1),重温已学习的三角形的相关概念、三边之间关系和三角形的稳定性,本节课将学习三角形内角的一个重要性质。(揭题板题)

有时再谈得远一点，就是表姊表妹之类订了婆家，或是什么亲戚的女儿出嫁了。或是什么耳闻的，听说的，新娘子和新姑爷闹别扭之类。

图1

设计意图:在单元整体中把握新旧知识间的逻辑关联,发挥知识框图的“导学”功能,让学生站在系统的高度去掌握教材的逻辑、结构和体系;后续在结构框架下推进课堂,让学生对已学习的内容、正在学习的内容和将要学习的内容做到心中有数,渗透单元整体思想。

2.实验操作,创设推理情境

(1)学生汇报小学时采用的实验验证方法,感知度量、剪拼的局限性,达成共识:实验所得结论没有说服力,需要通过严谨的推理进行证明。

(2)希沃视频展台展示剪拼方法,学生结合拼图汇报:共有6种拼法,以下3种拼法能给证明提供思路(图2)。

图2

师生活动:引导学生认真观察并分析,剪拼的目的是改变∠B和∠C的位置,将三个内角在顶点A处拼成一个平角,现在可以利用平行线的性质实现角的位置变换。认真观察拼图,从中找寻证明的思路和方法,抽象得到3种添加辅助线的方法。(图3)

图3

图4

设计意图:七年级下学期到八年级上学期是实验几何到论证几何的过渡阶段,学生以小学阶段的具体形象思维为主逐步过渡到以抽象思维为主,七年级下册“命题、定理、证明”的学习为演绎推理、培养数学思维奠定基础。课堂注意中小学衔接,学生在直观形象的动手操作中认识到度量法、剪拼法均存在误差,感悟演绎证明的必要性、严谨性和普适性。学生在动手实践中获得经验,在反思操作过程中上升到理论高度进行深层探究,自然生成添加辅助线的思路和方法,感悟辅助线在几何证明中的重要性,破解课堂教学的难点。

3.新知构建,训练规范证明

追问1:结合图3中(1)的辅助线添加方法,你能写出已知、求证和证明过程吗?

师生活动:学生口头回答,教师板书示范,合作完成推理过程,知晓这是古希腊数学家毕达哥拉斯所采用的方法。

追问2:你能根据图3中(2)、(3)的辅助线添加方法,条理清晰地写出证明过程吗?

师生活动:学生借鉴板书,自行完成欧几里得证法证明过程,教师投影展示规范书写。

追问3:看到“180°”,你还能想到什么角?你还能用其他方法来证明此定理吗?

师生活动:学生独立思考、组内交流怎样将三个内角转化为同旁内角,汇报不同的辅助线添加方法和证明思路,教师适时点拨克莱罗和普罗克拉斯的证法。

(板书三角形内角和定理,结合图形将定理转化为符号语言。)

小结:添加平行线的方法大致相同,初中各版教材多采用毕达哥拉斯和欧几里得的证法;有兴趣的同学课后可查阅与三角形内角和有关的数学史,自主探究其他证明方法。

设计意图:将数学史融入课堂,与数学家们隔空对话,感受定理发现的曲折历程,体验丰富的人文与历史底蕴。经历严格的逻辑推理证明,帮学生感悟几何证明的意义,在规范的书写表达中体会证明的逻辑性和规范性,学习辅助线的不同添加方法,鼓励学生在活动探究中积极思考、交流表达。在辅助线的添加和证明方法的学习中,训练学生用符号语言规范表述,建立文字、符号和图形三种语言之间的联系,培养学生的数学素养。

4.归纳总结,提升数学素养

师生对照板书,共同回顾本节课所学,请学生回答以下问题:

(1)回顾本节课的教学流程。

(2)梳理所学知识和方法。

(3)提炼数学思想和核心素养。

(4)回归知识结构框图,明确已经学习了哪些内容,下节课将要学习什么。

设计意图:归纳总结是课堂教学的关键一环,起到梳理课堂所学和激起学生思维高潮的作用,激发学生对后续学习的强烈渴望。该环节放手让学生自主进行结构化梳理,从“学习过程”中获得“知识方法”,再提炼出“思想观念”,最后回到“结构导图”,在单元整体中构建学生认知系统,提醒学生预习直角三角形的两锐角之间关系,进行知识的类比迁移。如此处理,课堂教学始终在结构框架下推进,学生能够把握知识的整体脉络和走向。

5.布置作业,课后巩固深化

基础性作业:书本16页习题11.2的第1题,第2题中(1)(2)小题,第10题。

提高性作业:如图5(1),将△ABC的一角折叠,点A落在△ABC内点A′处。

图5

(1)若∠1=50°,∠2=40°,则∠A=;

(2)猜想∠1、∠2、∠A之间关系并加以证明;

(3)如图5(2),当点A′落在△ABC外部时,请直接写出∠1、∠2、∠A间的关系。

实践性作业:请同学们查阅与三角形内角和有关的数学史,并与其他同学交流。

设计意图:精选少而精的习题,避免机械重复性练习,确保学生在20～30分钟能完成任务,发挥作业的巩固、诊断和教学评估功能。根据学生的年龄、心理特点及认知规律,所设计的课时作业有面向全体学生的基础题,又有个性化、探究性、创新性的提高题,还有涉及数学文化、数学思想、数学阅读、数学实践的作业,其中基础题要求人人过关,提高题和实践性作业让学有余力的学生选择性完成。

数学知识有着完整的结构系统,学生的认知亦有潜在结构,单元结构化教学反映了教育家杜威所倡导的“关注学生生活和实践”的哲学思想,践行“学生主体、教师主导”的教学理念。回顾本节课的学情调研和课堂教学过程,师生在单元整体中把握教材内容,在实验和说理中构建知识体系,掌握基础知识和基本技能,获得基本思想和基本活动经验,落实“四基四能”目标,促进数学核心素养的发展,收获良好的教学效果。