深挖广拓 解决问题*--以一道2022年新高考相似题为例

福建省莆田第一中学 (351100) 林清利 黄天华 肖志强

文[1,2]全面深度剖析了2022年新高考卷Ⅱ第12题.它们解法多样,直指问题本质并进行了溯源、变式、拓展.笔者最近在《平面向量》这一章的教学中碰到一题,与之比较相似,故探析之.

1 题目呈现

图1

2 解法探究

本题以平面向量为载体,已知两个不共线的向量分解表示第三个向量,求系数和的取值范围问题.本质上这是通过平面向量基本定理,把向量的运算化归为实数的运算,所以本题有直观的代数解法.而向量的运算是“带方向的量的运算”,从而可以从几何角度进行“方向的运算”,实现图形的直观.

探析一:(三角化)本题以单位圆为载体,设定圆上两个定点,一个动点,自然的解法是建立直角坐标系,从三角函数定义出发,设角变量来表示圆上的动点.

图2

探析二:(代数化)考虑到已知向量的模长与夹角,而问题是求系数x,y的一次式的取值范围,所以可以把原向量等式两边同时平方,化为关于x,y的关系式,进而利用代数的手法进行探究.

探析三:(几何化)等和线在解决某些平面向量线性运算问题时非常简便快捷[3],本题的条件与目标完全吻合等和线的要求.

图3

探析四:(斜坐标系)本题代数表示中的系数实质是斜坐标系中的坐标,可以构造一个辅助向量破解.

以上几种解法思路不同,思维量与运算量有较大差异.解法1回归三角函数概念,通过表示动点的直角坐标较快得到结果.解法2到解法4都是通过代数变形得到结果.解法5利用动态视角,结合向量共线定理、解三角形知识破解本题.解法6是从斜坐标系视角来审视问题,紧紧抓住基向量分解式子的特征来解决问题.这几种解法体现了向量与三角、不等式之间的转化,把向量的几何性质与代数形式有机地综合起来.

3 试题溯源

图4

以上两道考题的题目表述、呈现方式、问题解法都与前面的探析一致.这体现了高考试题在核心问题上考查的持续性.我们再看人教版新教材必修二第37页拓广探索栏目中的一道题.

图5

图6

以上试题都属于同一类问题,即基向量的系数、系数和等问题.处理该问题常见的思路有三类:(1)从向量自身的运算入手整理;(2)从向量运算的几何意义下手,充分挖掘图形特征,把原问题转化为平面几何问题;(3)在坐标系下,通过坐标运算,实现向量问题代数化,在代数形式下可以进行换元变形、消元化简、借助不等式放缩等方法破解.

4 应用探究

题5(2022年新高考卷Ⅱ第12题(多选题))对任意x,y,x2+y2-xy=1,则( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

图7

图8

图9

A.x2+y2-xy-3y+2=0

B.x2+y2-2x-4y+4=0

C.x2+y2-xy+3y-2=0

D.x2+y2-2x+4y-4=0

5 结语

解题教学提倡一题多解、多题一解、变式探究等,但需要辩证地运用这些方法.课堂上不能单向地把备好的几种解法都依次宣读一遍给学生,这样只会让学生觉得“不可思议、想不到、做不到”.我们应该关注学生已有知识基础,合理创设概念、原理、运算、推理等问题情境,让学生能“跳一跳,摸得着”.同时应遵循“最近发展区”原则,倾听学生的想法,并完善其想法,师生共研从纵向深挖,横向拓广,真正实现从解题到解决问题,最终发展学生的数学核心素养.