“概率”章节易错点归纳例析

于明华

“概率”章节涉及到的概念、公式较多，很多学生往往会因为对概念、公式理解不清，考虑问题不全面等造成这样或那样的解题错误，故很有必要归类总结常见解题易错点.

1 易错点一：将“非等可能”与“等可能”混同

例1掷两枚骰子，求事件A为“出现的点数之和等于3”的概率.

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为2，3，4，……，12，而满足事件A的结果只有数值3，故P（A）=111.

剖析：上述错解的根源在于没有厘清公式P（A）=mn中的n，m的具体含义.

正解：掷两枚骰子出现的等可能结果有（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），共36种.

在这些结果中，事件A包含两种等可能结果：（1，2），（2，1）.

故所求概率为P（A）=236=118.

2 易错点二：将目标事件包含的基本事件的个数算错

例2 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽取一题. 求甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率.

错解：因为甲抽到选择题的事件数是6×9，乙抽到选择题的事件数6×9，所以甲、乙二人至少有一個抽到选择题的事件数为12×9.又甲、乙二人依次各抽取一题的事件数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1210=65.

剖析：由于考虑不细致，实际上把甲、乙二人都抽到选择题的事件数计算了两次，这是上述错解的根本原因.

正解：甲、乙二人依次各抽取一题的基本事件的总数是10×9=90.

甲、乙二人至少有一个抽到选择题，包括以下三种情形：（1）只有甲抽到了选择题，事件数是6×4=24；（2）只有乙抽到了选择题，事件数是6×4=24；（3）甲、乙同时抽到选择题，事件数是6×5=30.

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24+24+3090=1315.

3 易错点三：没有注意抽取时是否“放回”

例3一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个.若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球（甲先取，取出的球放回），求甲取出的球的编号比乙的大的概率.

错解：记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A.

所有的基本事件有（红1，白1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（白1，红1），（白1，蓝2），（白1，蓝3），（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝2，蓝3），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共12个.

事件A包含的基本事件有（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共5个.

故P（A）=512.

剖析：由于题目要求“甲先取，取出的球放回”，而上述解题过程却是按“不放回”的方式思考的，这是导致上述错误的根源所在.

注意：如果把“甲先取，取出的球放回”这句话修改为“甲先取，取出的球不放回”，那么上述错解就是正确的.

正解：记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A.

所有的基本事件有（红1，白1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（白1，红1），（白1，蓝2），（白1，蓝3），（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝2，蓝3），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），（红1，红1），（白1，白1），（蓝2，蓝2），（蓝3，蓝3），共16个.

事件A包含的基本事件有（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共5个.

故根据古典概型可知，P（A）=516.

4 易错点四：没有注意“公式成立的前提条件”

例4一盒中装有各色球6个，其中2个红球、2个黑球、2个白球，现从中随机取出2个球，求至少有一个红球或一个黑球的概率.

错解：设事件R为“从中随机取出2个球”；

事件A为“从中随机取出2个球，至少有一个红球或一个黑球”； 事件B为“从中随机取出2个球，有一个红球”；事件C为“从中随机取出2个球，有一个黑球”.

事件R包含的基本事件有（红1，黑1），（红1，黑2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，黑1），（红2，黑2），（红2，白1），（红2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（红1，红2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15个.

事件B包含的基本事件有（红1，黑1），（红1，黑2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，黑1），（红2，黑2），（红2，白1），（红2，白2），（红1，红2），共9个.

事件C包含的基本事件有（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共9个.

故由互斥事件的概率加法公式，可得

P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=915+915=65.

剖析：利用互斥事件的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）时，要注意事件A与B必须互斥.而本题中由于事件B，C都包含基本事件（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），所以事件B，C不是互斥的，从而事件A不能转化为事件B，C之和，这是上述错解的根源所在.

正解：设事件R为“从中随机取出两个球”；事件A为“从中随机取出2个球，至少有一个红球或一个黑球”；事件B为“从中随机取出2个球，有红球无黑球”；事件C为“从中随机取出2个球，有黑球无红球”；事件D为“从中随机取出2个球，既有红球又有黑球”.

事件R包含的基本事件有（红1，黑1），（红1，黑2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，黑1），（红2，黑2），（红2，白1），（红2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（红1，红2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15个.

事件B包含的基本事件有（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（红1，红2），共5个.

事件C包含的基本事件有（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共5个.

事件D包含的基本事件有（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），共4个.

因为易知事件A可转化为彼此互斥的事件B，C，D之和，即A=B+C+D，故由互斥事件的概率加法公式，得所求概率为为P（A）=P（B+C+D）

=P（B）+P（C）+P（D）=515+515+415=1415.

5 易错点五：将具体问题中的“测度”搞错

例5如图1，在△ABC中，∠B=π3，∠C=π4，高AD=3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.

错解：由图易计算得BD=1，DC=3，故由题設及几何概型的概率计算公式得所求概率P=BDBC=11+3=3－12.

剖析：解题时，要特别注意对“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”这句话的准确理解，由此可确定本题的测度应该是“角度”，而不是“长度”！所以上述错解就是求概率时因转化错误而导致的.

注意：如果把“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”这句话修改为“在线段BC上找一点M”，那么上述错解就是正确的.

正解：由图易计算得BD=1，DC=3，所以目标事件发生的区域为∠BAD.

又∠BAD=π2－π3=π6，∠BAC=π－π3－π4=5π12，所以由几何概型的概率计算公式得BM<1的概率P=∠BAD∠BAC=π65π12=25.

总之，关注“概率”章节常见解题易错点，有利于帮助学生加深对教材基本知识和方法的准确理解，养成审慎思考的良好习惯，同时，能够较好地培养学生数据分析、数学运算以及直观想象等核心素养.一言以蔽之，关注易错点，有利于借误导悟，有利于逐步积累解题经验，避免一些常见错误的产生！