关注问题本质 提升数学素养

傅建民

(陕西省咸阳市渭城中学 712000)

在大多数情况下，人们解题往往是就题解题，解答完成以后，没有反思的习惯.事实上，在很多情况下，虽然是正确的解答，有时甚至是非常巧妙的解答，但不一定是揭示问题本质的解答.

(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

该问题有多种解法(见文[1])，这里不赘述，但是本人认为没有一种解法揭示问题的本质，下面的思路探求旨在揭示问题本质.(仅针对第Ⅱ问)

⟺x1·lnx1-1=x1+lnx1

例题2已知甲盒中有m个红球，n个蓝球，乙盒中有m-1个红球，n+1个蓝球(m≥3,n≥3)，同时从甲乙两个盒子中各取出i(i=1,2)个球进行交换.

小说将完全对立的两个人物安排在一起，一崇高、一鄙俗；一理想、一现实；两种视角针锋相对，又相互穿插、碰撞，最后彼此成就从而使作品达到一种独特的完满的艺术效果。读者看到作品中变化着角度的世界，既获得共鸣也产生思考。

(1)交换后，从甲盒中取一个球是红球的概率记为pi(i=1,2)，

(2)交换后，乙盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2).则( ).

A.p1>p2Eξ1>Eξ2B.p1>p2Eξ1

C.p1Eξ2D.p1

首先我们来计算p1与Eξ1

从甲乙两个盒子中各取1个球进行交换，有下列四种情况：从甲盒中取一个红球，从乙盒中取一个红球；从甲盒中取一个红球，从乙盒中取一个蓝球；从甲盒中取一个蓝球，从乙盒中取一个红球；从甲盒中取一个蓝球，从乙盒中取一个蓝球；

所以p1=[m(m-1)m+m(n+1)(m-1)+n(m-1)(m+1)+n(n+1)m]/(m+n)3=[(m3-m2)+(m2n+m2-mn-m)+(m2n-n)+(mn2+mn)]/(m+n)3=[m3+2m2n-m-n+mn2]/(m+n)3=[m(m+n)2-(m+n)]/(m+n)3>m/(m+n)

Eξ1=[m(m-1)(m-1)+m(n+1)m+n(m-1)(m-2)+n(n+1)(m-1)]/(m+n)2=[(m2-m)(m-1)+(n+1)m2+(mn-n)(m-2)+(n2+n)(m-1)]/(m+n)2=[(m3-2m2+m)+(m2n+m2)+(m2n-3mn+2n)+(mn2+mn-n2-n)]/(m+n)2=[m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[m(m+n)2-(m+n)2+m+n]/(m+n)2=[(m-1)(m+n)2+(m+n)]/(m+n)2>m-1

下面我们来计算p2与Eξ2

从甲乙两个盒子中各取两个球进行交换，有下列九种情况：从甲盒中取两个红球，从乙盒中取两个红球；从甲盒中取两个红球，从乙盒中取两个蓝球；从甲盒中取两个红球，从乙盒中取一个红球一个蓝球；从甲盒中取一个红球一个蓝球，从乙盒中取两个红球；从甲盒中取一个红球一个蓝球，从乙盒中取两个蓝球；从甲盒中取一个红球一个蓝球，从乙盒中取一个红球一个蓝球；从甲盒中取两个蓝球，从乙盒中取两个红球；从甲盒中取两个蓝球，从乙盒中取两个蓝球；从甲盒中取两个蓝球，从乙盒中取一个红球一个蓝球；

p1=(m3+2m2n-m-n+mn2)/(m+n)3=(m3+2m2n-m-n+mn2)(m+n-1)2/(m+n)3(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-2m4-6m3n-6m2n2-2mn3-m2n-2mn2-n3+2m2+4mn+2n2-m-n)/(m+n)3(m+n-1)2

p1-p2=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)3(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2

因为m≥3，所以p1-p2>0⟹p1>p2

Eξ1=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n)(m+n-1)2]/(m+n)2(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-3m4-10m3n-12m2n2-6mn3-n4+4m3+11m2n+10mn2+3n3-3m2-6mn-3n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2

Eξ2-Eξ1=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2

因为m≥3，所以Eξ2-Eξ1>0⟹Eξ2>Eξ1

上述解法虽然是处理这类问题的通法，但是不是该问题的本质解法.同时上述解法计算量较大，很容易出现错误，不过该问题属于选择题，当然可以取m=n=3，这样可以节省许多计算量，但是赋值法仍然不是该问题的本质解法.该问题的本质是不通过计算，能否判断p1与p2，Eξ1与Eξ2大小？下面的思路探求旨在揭示问题本质.

思路探求：设在未做交换(初始状态)时从甲盒中取一个球是红球的概率p0，乙盒中含有红球的个数记为ξ0，因为从甲盒中取一个球是红球的概率大于从乙盒中取一个球是红球的概率，同时从甲乙两个盒子中各取出一个球进行交换，那么甲盒中红球数的期望值会减少，乙盒中红球数的期望值会增加.因此有p1ξ0

从甲乙两个盒子中各取1个球暂时不进行交换，甲乙两个盒子中剩余球的情况有下列四种：

(1)从甲盒中取一个红球，从乙盒中取一个红球；

甲盒中剩余m-1个红球，n个蓝球，乙盒中剩余m-2个红球，n+1个蓝球.此时从甲盒中取一个球是红球的概率大于从乙盒中取一个球是红球的概率，

(2)从甲盒中取一个红球，从乙盒中取一个蓝球；

甲盒中剩余m-1个红球，n个蓝球，乙盒中剩余m-1个红球，n个蓝球.此时从甲盒中取一个球是红球的概率等于从乙盒中取一个球是红球的概率，

(3)从甲盒中取一个蓝球，从乙盒中取一个红球；

甲盒中剩余m个红球，n-1个蓝球，乙盒中m-2个红球，n+1个蓝球.此时从甲盒中取一个球是红球的概率大于从乙盒中取一个球是红球的概率，

(4)从甲盒中取一个蓝球，从乙盒中取一个蓝球；

甲盒中剩余m个红球，n-1个蓝球，乙盒中m-1个红球，n个蓝球.此时从甲盒中取一个球是红球的概率大于从乙盒中取一个球是红球的概率，

综上所述，第一次从甲乙两个盒子中各取1个球进行交换后，第二次从甲乙两个盒子中各取1个球(排除第一次交换的球)，从甲盒中取一个球是红球的概率不小于从乙盒中取一个球是红球的概率，因此我们有结论p2Eξ1.