利用基波分量近似法的LLC串联谐振电路建模

王 凡

(石家庄职业技术学院 实训技术与装备管理中心, 河北 石家庄 050800)

0 引言

科技的快速发展推动了开关电源技术的发展与应用.硬开关技术因开关损耗严重,不利于提高工作效率与开关频率,软开关技术则因高效率、低开关损耗而在能源领域得到了广泛的应用[1].LLC 串联谐振电路因具有电流源特性而被大量应用于开关电源的电路拓扑中,最常见的应用为开关电源主电路中的直流-直流变换器.中大功率的直流-直流变换器在服务器电源、新能源分布式发电、新能源汽车充电装置、电除尘高频电源、轨道牵引电力电子变压器、工业电源等领域得到了普遍应用[2].在任何一种开关电源的设计过程中,为了满足其所需要的高效率、低损耗等,尤其是要找到最优参数与控制方法,往往需要对主电路进行建模分析.而采用小信号模型、电流解析等方法建模,工作量大且过程复杂,实际应用中设计难度较大.为了降低设计难度,本文选用基波分量近似法,对全桥LLC串联谐振电路进行线性建模,以期得到一种在实际应用中便于工程设计、可行且更简洁的参数设计方法.

1 基波分量近似法建模的可行性分析

在复杂的非正弦周期性振荡中,同时存在基波与谐波.与该振荡同频的分量被称为基波分量,其他分量则为谐波分量.基波分量近似法是指在建模时忽略高频次谐波分量,只对电路中包含谐振频次的基波分量进行傅里叶展开分析的一种方法.采用此方法可以将非线性的谐振电路近似为纯正弦交流电路,从而利用正弦稳态电路的分析方法来简化谐振电路复杂工作过程中的分析和计算,清晰地展现谐振电路稳态时的工作特性,并为LLC串联谐振电路的实际应用提供更加可行的设计思路[3].

全桥LLC串联谐振电路图见图1,整个电路由直流输入、逆变部分、谐振部分、变压部分、整流部分、滤波部分及输出负载组成,本文主要对谐振部分进行建模.由图1可知,谐振电感Lr、谐振电容Cr与励磁电感Lm共同组成LLC 串联谐振网络.LLC串联谐振电路的等效电路图见图2,输入电压波形图[4]见图3.本文以图1-3的拓扑结构及波形为基础,对全桥LLC串联谐振电路利用基波分量近似法建模的可行性进行论证.

图1 全桥LLC串联谐振电路图

图2 LLC串联谐振网络等效电路图

图3 LLC串联谐振网络输入电压波形图

对所用谐振参数做如下定义:逆变周期定义为Ts,开关角频率定义为ωs,谐振角频率定义为ω0.

图2中的等效谐振电感Le的等效式为:

图2中的负载电阻Re可等效表示为:

对输入电压进行傅里叶展开可得等效式:

公式(3)中,n=1时为基波电压,n=3时为三次谐波电压,n=5时为五次谐波电压,以此类推.n次谐波时输入阻抗的等效表达式为:

n次谐波电流表达式为:

公式(6)中,n=1时为基波电流,n=3时为三次谐波电流,n= 5 时为五次谐波电流,以此类推.

将n次谐波电流值与基波电流值相除可得:

据此可以得到,当开关角频率与谐振角频率的比值取不同值时,n次谐波电流值|in|与基波电流值|i1|的比值与输出负载品质因数Q值的关系图,见图4.

图4 ωs/ω0 取不同值时,|i n|/|i 1|与Q 的关系

从图4 可以看出,当开关角频率ωs取较小值(ωs/ω0=0.5)时,三次谐波电流与基波电流的比值与输出负载Q成正比,即随着输出负载的增加而增加;而五次谐波电流、七次谐波电流与基波电流的比值则与输出负载Q成反比,即随着输出负载的增加而减少.当开关角频率ωs取其他值如小于(ωs/ω0=0.8)、等于(ωs/ω0=1)或大于(ωs/ω0=1.5)谐振角频率ω0时,各次谐波电流与基波电流的比值均与输出负载Q成反比,即随着输出负载的增加而减少.当输出负载Q保持不变,且开关角频率ωs小于谐振角频率ω0时,n次谐波电流与基波电流的比值与ωs/ω0成反比,即随着ωs/ω0的增加而减少.由图4b可知,当ωs/ω0=0.8,Q为2.5时,三次谐波电流、五次谐波电流、七次谐波电流与基波电流的比值分别为0.080,0.032和0.018;由图4c可知,当ωs/ω0=1,Q为2.5时,三次谐波电流、五次谐波电流、七次谐波电流与基波电流的比值分别为0.050,0.018和0.009.可见,Q取值越大,开关角频率ωs越接近谐振角频率ω0,通过谐振产生的电流响应中谐波分量的含量相对于基波分量越小.因此,在对电路进行建模分析时,输入电压信号的高频次谐波对谐振网络响应的影响可以忽略不计,仅输入电压信号的基波分量可引起谐振网络响应.当电路处于稳定工作状态时,由这种近似而产生的误差可以忽略.

通过分析可知,通过调整LLC串联谐振电路开关部分的工作频率即可控制输出部分,且能够利用基波传递能量,因此采用基波分量近似法对其进行建模分析是可行的.

2 主电路建模分析

在对主电路建模分析之前有如下假设:(1)电路中的开关元件均为理想元件,即开关过程无损耗,无源元件均为线性元件.(2)逆变部分的输出电压us(t)为占空比50%的方波脉冲序列.(3)LLC串联谐振电路输出负载品质因数Q大于0.5,且开关角频率ωs与谐振角频率ω0近似相等.(4)主电路工作状态采用电流连续模式,且低通滤波器的转折频率远远小于开关频率fs.[5]

2.1 逆变部分

设定谐振网络的工作区间为感性,谐振电感电流信号为只含有基波分量的正弦信号,谐振电感电流相位滞后谐振网络电压相位φ角.将谐振电流基波分量设定为:

利用它可以得到输入电流的平均值,也就是等效电路中受控电流源的值为:

对逆变部分进行等效变换,可以得到等效电路图(见图5)及其电压、电流波形图(见图6).

图5 逆变部分等效电路图

图6 逆变部分电压、电流波形图

逆变部分桥臂输出电压基波分量Vs1,也是等效电路中受控电压源值,可表示为:

将公式(8)、公式(9)、公式(10)联立,可得等效电路的输入功率表达式为:

等效电路的输出功率表达式为:

对比公式(11)和公式(12)可知,输入功率与输出功率相等,即Pin=Pout,等效电路两端的功率平衡.

2.2 LLC串联谐振网络部分

LLC串联谐振网络的等效电路图见图7.

图7 LLC串联谐振网络等效电路图

图5中谐振网络传递函数:

在不同的负载条件下,传递函数H(s)的频率特性见图8,各参数取典型值,即谐振电感Lr=196μH,谐振电容Cr=44.5 nF,令系数h=5.图8a为系统工作在重载状况下,取负载电阻R=20Ω,谐振峰值出现在开关角频率与谐振角频率相等(即ωs=ω0)时的图形;图8b 为系统工作在轻载状况下,取负载电阻R=100Ω,谐振峰值出现在开关角频率为ω1(即ωs=ω1)时的图形,此时输入电压相位正好滞后于输出电压90°.产生图8b现象的原因为:当开关角频率值为ω1(即ωs=ω1)时,励磁电感Lm参与了谐振电感Lr与谐振电容Cr之间的谐振,此时谐振电路形成完全谐振,根据电流回路可知,励磁电感电流与谐振电感电流为同相位,而谐振网络输出电压与励磁电感Lm两端的电压同相位,因此谐振网络的输入电压相位滞后于谐振电路的输出电压90°.此时开关角频率取值为:

图8 谐振网络传递函数H(s)的频率特性

图8a 中,当开关角频率与谐振角频率相等(ωs=ω0)时,谐振网络的输出电压与输入电压相位一致,幅值相等,也就是说该特性与负载无关.产生该现象的原因为:当开关角频率与谐振角频率相等(ωs=ω0)时,谐振电感Lr与谐振电容Cr组成的谐振网络阻抗为零,此时谐振网络的输入电压完全体现在负载电阻R上.当开关角频率小于谐振角频率(ωs＜ω0)时,谐振网络输出电压的相位总是超前于谐振网络输入电压的相位,但输出电压的幅值与负载的大小有关.当工作于重载状况时,谐振网络表现出降压作用.系统工作在轻载状况下,当ω2＜ωs＜ω0时,谐振网络表现出升压作用; 当ωs＜ω2时,谐振网络表现出降压作用.当开关角频率大于谐振角频率(ωs＞ω0)时,谐振网络输出电压的相位始终滞后于谐振网络输入电压的相位,此时谐振网络表现为降压作用,且输出电压幅值的大小与负载无关.

谐振网络的输入阻抗Zin(s)及输出阻抗Zout(s)分别设定为:

图9为输入阻抗Zin(s)的幅频特性,图10为输出阻抗Zout(s)的幅频特性.

图9 输入阻抗Z in(s)的幅频特性

图10 输出阻抗Z out(s)的幅频特性

对比图9与图10可知,输入阻抗Zin(s)的幅频特性存在波谷,即谐振电流的最大值出现在输入阻抗|Zin(jωs)|到达最小值时,负载两端的输出电压也相应达到最大值.输入阻抗Zin(s)的相频特性可穿越0°线,当∠Zin(jωs)的值为零时,谐振网络的输入电压与谐振电流同相,此时谐振网络为纯阻性;当∠Zin(jωs)的值大于0时,谐振网络的输入电压的相位超前于谐振电流的相位,此时谐振网络为感性;当∠Zin(jωs)的值小于0时,谐振网络的输入电压的相位滞后于谐振电流的相位,此时谐振网络为容性.由此可知,输入阻抗Zin(s)相频特性穿越0°线的频率点ωR受负载大小的影响.

2.3 输出整流部分

在等效变换之前,先假设选用理想变压器且原副边比N=1∶1,输出端的滤波电容Co足够大,加在负载R两端的输出电压Vo无纹波,变压器原边的激励信号为只含有基波分量的正弦电流信号,则整流部分的等效电路图见图11.因LLC 串联谐振电路可省略输出端的滤波电感,因此变压器副边的整流二极管交替导通,不会出现同时导通续流的情况.输出整流电路的负载为阻性,变压器原边的输入电压Vp1与输入电流ip同相位.

图11 整流部分等效电路图

假设输入电流为:

当输入电流ip＞0 时,图11 中的整流二极管DA和DD导通,此时输入电压与输出电压的关系为Vp=Vo/N;当输入电流ip＜0时,图11中的整流二极管DB和DC导通,此时输入电压与输出电压的关系为Vp=-Vo/N.由此可知,变压器原边输入的电压信号是周期为Ts的方波信号,幅值大小为Vo/N,对输入电压进行傅里叶展开可得:

输入电压的基波分量为:

联合公式(19)与公式(21),可得等效电路负载电阻表达式为:

计算得出的整流电路输出电流的平均值为:

等效电路的负载电阻为:

联合公式(22)与公式(24)可得,实际负载电阻与等效电路负载电阻之间的变换关系为再将公式(19)至公式(24)联立,可得整流电路的输入功率为:

整流电路的输出功率为:

对比公式(25)与公式(26),可知Pin=Pout,也就是说等效电路功率平衡.

2.4 LLC串联谐振变换器的等效电路模型与直流电压变换特性

将各部分的等效电路级联可得图12,即得到利用基波分量近似法建立的全桥LLC串联谐振直流-直流变换器的等效电路模型.

图12 全桥LLC串联谐振直流-直流变换器等效电路模型

将等效电路输入输出的直流电压比定义为M,M可表示为:

令公式(27)的等效负载电阻RL→∞,即Q→0,可得到等效电路的空载电压变比Mopen.

图13为根据公式(27)中的数学关系作出的h=5时LLC 串联谐振变换器直流电压增益特性图.由图13可知,随着LLC串联谐振变换器开关角频率的变化,直流电压比M也随之变化;特性曲线的峰值所对应的频率与输出负载品质因数Q成正比,即随着输出负载品质因数Q的增加而增加[6].

图13 LLC串联谐振变换器直流电压增益特性图

当直流电压比M＞1时,LLC 串联谐振变换器表现出升压特性;当直流电压比M＜1时,LLC 串联谐振变换器表现出降压特性.图13中的特性曲线存在两个谐振频率ω1和ω0.当开关角频率ωs等于ω0时,直流电压比M的值恒等于1而与负载无关.

3 结语

本文对全桥LLC串联谐振直流-直流变换器的完整周期工作过程进行了分析,利用基波分量近似法建立了全桥LLC串联谐振直流-直流变换器的数学模型,并给出详细的推导过程,分析了系统的控制特性、负载特性即输出特性.据分析结果可知,处于稳定工作状态的变换器,当系统在谐振角频率附近工作时,利用基波分量近似法建模引起的误差可忽略不计.该方法计算量小,基本无误差,能有效地降低电路特性分析和参数计算的难度,为LLC串联谐振电路在实际应用中的参数设计与计算提供参考.