基于分段线性拟合的焊接数据采集准确性研究

崔琬婷，段瑞彬，牛虎理，王克宽，王来臻

1.中国石油集团工程技术研究有限公司，天津 300451

2.中国石油集团海洋工程重点实验室，天津 300451

随着油气管道及海洋平台建设对施工质量要求的不断提升，焊接施工数字化控制成为焊接过程质量管控的重要环节，在实现焊接作业程序化、标准化中起到了至关重要的作用，而准确、可靠地采集焊接参数是实现过程管控的基础。在数据采集系统中，由于传感器的动态误差或现场环境工况等因素的影响，传感器数据采集中经常会出现测量值与真实值存在一定偏差[1]，不能保证焊接参数采集的准确性。因此，需要对传感器测量结果进行修正，以提高数据采集系统测量的准确度[2]。

插值和拟合两种方法都可以用来寻求模拟函数[3]。插值法是在已知的离散数据点上插入连续函数的方法，这个连续的函数在给定的数据点上与原始数据完全一致[4-5]，这就要求原始数据是非常精确的或仅存在较小的误差。拟合法是找到数据的基本趋势，它可以在一定程度上偏离原始数据点，最终得到的是一个近似函数[6]。在工程实践中，实际获得的数据往往包含一定的误差，因此，如果完全依照原始数据进行插值可能会导致局部产生较大的误差，而拟合法可以在一定程度上避免这一问题[7]。

本文结合最小二乘法拟合原理，以直线回归为例进行数学推导，采用分段线性拟合法对数据采集系统中电流传感器测量的实验数据进行拟合，并对实验结果进行误差分析。

1 最小二乘法拟合原理

1.1 最小二乘法原理

拟合问题可以被抽象为一个系统[4]，它的输入是一组实际观测数据，输出是在某种意义下最优的函数关系，即y=f（x）最佳地与数据点（xi，yi）匹配。

最小二乘法通常用来研究两个变量或者多个变量之间的关系。其拟合的基本思路是：根据一组观测值，找到误差平方和最小值，即最小化误差的函数，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法[3]。

如图1 所示：以直线回归为例，设有一组数据（xi，yi），i=1，2，…，n，分布在直角坐标系中，每个点yi值与直线y值的差为||

图1 最小二乘法线性拟合示意

y-yi，也可以理解为观测值和理论值之间的误差，误差的平方和为（ε表示误差）：

显然，误差平方和的大小是判断拟合结果的重要标志，若拟合所得曲线可以使得误差的平方和最小，这样就得到“最佳”拟合曲线。

1.2 线性拟合数学推导

已知数据点为（xi，yi），i=1，2，…，n，用直线y=a+bx作为近似曲线，由最小二乘法原理可得误差平方和为：

式（2）经过化简可得：

所以有：

式中：、分别为xi、yi的平均值。

对式（5）进行变形可得：

由式（6）和式（7）可以得出拟合直线的参数b的计算公式：

2 分段线性拟合

分段线性拟合的基本思想是把数据分成几段[8]，每段数据用一条直线拟合，使得拟合的直线尽可能地靠近原始数据。使用最小二乘法分段线性拟合法不仅可以简化数学模型的算法，减小计算量，还保留了原始数据的局部特性，达到更好的拟合效果。

其拟合原理为[9-10]：首先取前两个数据点A（x1，y1）和B（x2，y2），利用式（4）和式（8）求出拟合直线的直线方程为：

式中：b1是直线AB的斜率。

再取第三个数据点C（x3，y3），确定直线BC的表达式为：

式中：b2是直线BC的斜率，其计算公式为式（11）。

两条直线的几何关系如图2 所示，θ为直线AB与直线BC之间的夹角，α为直线AB与x轴的夹角，β为直线BC与x轴的夹角。

图2 分段直线几何关系示意

设定一个tanθ的阈值，若小于该阈值，则将A、B、C三点合为一条直线，然后再取下一个数据点，重新计算拟合的直线方程，并重新计算tanθ，直到大于该阈值，则将上一个数据点作为第一段拟合直线的终点，将这次的数据点作为下一条拟合直线的起点，重复上述步骤，直到所有数据点都进行了拟合，这样就可以得到全部的分段直线拟合方程。

3 实验验证分析

实验具体流程为：以实测的40 组焊接电流数据为依据，采用最小二乘分段线性拟合法对测量数据进行拟合，计算测量值与理论值的相对误差来验证拟合效果。表1 为数据采集系统在没有进行数据拟合之前，系统采集到的焊接电流数据。

表1 校准前的焊接电流实测数据

在测量值与理论值对比中发现，两者间存在一定偏差，最大相对误差达到0.77%。通过对二者进行线性拟合（如图3 所示），可发现在整个量程范围内，理论值和测量值并不完全是线性关系，但在特定量程范围内呈线性关系。因此，采用分段线性拟合的方法对采集数据进行修正，作为采集系统最终输出的结果。

图3 线性拟合效果

表2 为数据采集系统经过分段线性拟合后的数据结果。通过表1 和表2 给出的测量数据对比，可以发现理论值与测量值的相对误差减小，最大相对误差由0.77%减小到0.07%，说明分段线性拟合法可以有效修正采集数据。

表2 校准后的焊接电流实测数据

4 结束语

本文针对提高焊接施工过程中数据采集系统测量结果准确性的问题，论述了采用最小二乘分段线性拟合的方法解决上述问题的原理，并给出实际测量中经过分段线性拟合得到的校准数据。该方法通用性较强，所构建的数学模型简单且计算量小，可以有效地减小测量误差，提高数据采集系统测量的准确性，从而验证了采用最小二乘分段线性拟合法是可行的。