初中数学教学中培养学生模型观念的策略探究

【摘要】模型观念具有高度的培养价值.指导学生理解数学模型的内涵，认识到数学模型对解决实际问题的积极意义，是提高学生数学理解水平与应用能力的关键.教师应认识到模型观念的培养意义，并做好相关教学工作.文章详细说明了模型观念的含义，探讨了模型观念对于解决抽象问题、生活问题、几何问题的积极作用，并结合具体教学案例，探究了初中数学教学中模型观念的培养路径，指出教师可以通过整合教学内容、合理举例、组织系列活动、设计科学练习等方式帮助学生树立模型观念，期望为教师教学提供参考.

【关键词】初中数学；模型观念；理解；路径

【基金项目】本文系江苏省中小学“十四五”教研重点自筹课题《初中生数学建模素养培育实践研究》（课题编号：2021JY14-ZB81）的阶段性研究成果之一.

初中数学教学中，教师必须为学生提供更多认识数学模型、建立模型的机会，使学生在课堂学习中了解数学模型的用途，提高学生的认知水平.为此，初中数学教师有必要深入研究关于模型观念的教育文献，同时立足教学实践总结教学经验，为优化课堂教学、指导学生树立模型观念做好准备.

一、模型观念的含义

模型观念是对数学模型的认识、看法与看待问题的方式.其中，模型指的是数学模型，即借助数学逻辑方法、数学语言构成的科学或工程模型，一般表现为用数学符号、数字及字母建立起来的数学概念、公式、图像、图表等.根据教学实践，数学模型可被理解为实际事物的一种数学简化，一般以接近实际事物的抽象形式存在，具有科学性、逻辑性、可观性等特征.观念指的是人们基于自身知识基础及生活、学习经验而形成的对事物的理解和看法，是人们思维活动的产物.

新课标在课程目标部分解释了模型观念的内涵，指出“模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识”.基于新课标，我们可以明确模型观念有如下含义：一是认识到建立数学模型是联系数学与现实世界的基本途径；二是用抽象的思维方法从现实生活或具体情境中提炼数学问题；三是根据数学问题中的数量关系、空间形式，用数字、几何图形等建立代数关系式或几何模型.

二、模型观念的培养作用

（一）可指导学生解决抽象难题

初中数学学习中，学生不可避免地会遇到一些较为抽象的难题，教师通过培养学生的模型观念，可以使学生在解读、分析问题的过程中抓住问题本质，基于问题的数量关系构建方程、不等式等数学模型，寻求解决抽象难题的突破口，继而轻松解决抽象难题.例如，“华罗庚金杯少年数学邀请赛”有这样一道抽象难题：华罗庚教授在一首诗文中勉励青少年，“猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来.勤能补拙是良训，一分辛劳一分才”.现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，结果不同汉字所对应的自然数可以排成一串连续的自然数.如果这28个自然数的平均值是23，“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？基于模型观念，解决此题可先明确问题潜藏的数量关系，尝试运用数学符号表示问题中的数量关系或变化规律，继而解决问题.如，题目中有28个字，“分”与“是”出现2次，“一”出现3次，其他字各出现1次.28个自然数的平均数是23，其中有24个是连续的自然数.基于模型观念，以23为中心向左、向右各写12个数，得到25个连续的自然数：11，12，13，…，34，35.因为只有24个不同的数字，因此要去掉最小的11（剩下24个连续的自然数），增加1个13、1个35，这样，总和比23×26多出（13-11）+（35-23）=14.如果再增加2个16，那么28个数的平均数正好是23.所以出现2次的“分”可以是35，不能再大了.如果“分”≥36，那么这28个数的和至少是13+14+…+36+36+13+13+14=23×28+20，平均数大于23.

（二）可帮助学生解决生活问题

（三）可帮助学生化简几何问题

初中数学几何内容以研究图形的空间结构及性质为主，几何问题也由此展开.一般情况下，几何问题并不会在题目中给出过多信息，需要学生基于几何图像分析并解决问题.教师指导学生运用模型观念分析问题本质、构建几何模型，可以使学生快速完成几何证明.例如，如图所示，若AB∥CD，此时，∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明.基于模型观念解决问题，可以过点E作直线l∥AB，构建平行线模型，再结合AB∥CD证得∠B+∠D+∠E=360°.

三、初中数学教学中模型观念的培养路径

（一）关注模型观念本质，整合教学内容

培养初中生的模型观念需要借助合适的教学内容.目前的初中数学教科书并未明确给出构建数学模型的方式方法，需要教师从教科书给出的概念、原理、习题中挖掘与模型观念培养有关的教学内容，并将其以恰当的形式呈现给学生.教师应当基于数学模型应用性、抽象性的本质深入解读教材文本，并利用导学案、演示文稿等教学工具组织教学内容，为学生认识数学模型、形成模型观念提供资源支持.以苏科版七年级数学上册“从问题到方程”一课的教学为例.方程是一种数学模型，可以帮助人们解决现实问题.将问题转化为方程的过程即基于模型观念解决问题的过程.基于此，教师可挖掘苏科版教材内的模型观念培养教学内容，同时以PPT的形式展示出来.如：篮球联赛规则规定，胜一场得2分，负一场得1分.某篮球队赛了12场，共得20分.怎样描述其中数量之间的相等关系？教师可引导学生抓住问题本质，以图表的形式展示问题中的相等关系（见下表）.

假设该篮球队胜了x场，那么该篮球队的负场数为（12-x）场，总场数为[x+（12-x）]场，即12场，总分数为[2x+（12-x）]分，即20分.由此得到方程模型2x+（12-x）=20.

重点解析：数学问题存在已知量、未知量，分析已知量、未知量的数量关系，运用方程思想与模型思想分析问题中的等量关系，并基于等量关系构建方程模型解决问题，这一过程就是基于模型观念解决问题的过程.

这样利用教科书给出的内容挖掘其中的模型观念培养教学内容，同时整合课外的教学资源完善演示文稿内容，集中说明数学模型是什么、建构数学模型所用到的思想与方法等，可帮助学生初步形成模型观念.

（二）考虑数学现实，合理举例培养模型观念

新课标明确指出，模型观念包括“初步感知数学建模的基本过程”.部分学生的抽象思维水平低，难以凭借自身所掌握的知识、经验挖掘问题本质，掌握建立数学模型的原理及方法.教师应当考虑到学生的现实发展情况，根据学生的认知发展规律，引导学生按照“认识—理解—内化”的顺序理解数学模型的内涵，使学生掌握构建数学模型的方法.为此，教师需要基于现实生活中的具体问题举例说明，通过讲解数学模型的建构过程强化学生的认识，有效培养学生的模型观念.以苏科版七年级数学下册“二元一次方程组”一课的教学为例，教师可以立足现实生活整理数学模型建构案例，并根据七年级学生的学习特征组织语言，有序引导学生思考.七（2）班8名师生去某公园游玩，他们买门票共花了34元，每张成人票5元，每张学生票3元，分别有几名教师、学生去了公园？我们可以假设去公园的教师有x人，学生有y人，根据师生总数量可以得到方程x+y=8，根据花费可以得到方程5x+3y=34.之后联立方程组求解，可以得到x=5，y=3，即一共有5名教师、3名学生去了公园.在这一案例中，我们用到了假设法，将具体的参与人数假设为抽象的x，y等数学符号，再基于条件中的数量关系构建方程组模型，最终完成问题求解.这一过程的本质是将实际问题抽象为数学问题，重点在于将文字语言转化为符号语言.列举现实案例可使学生认识到数学模型的应用意义，了解数学模型建构的全过程，指导学生在解读、分析案例的过程中明确假设法是构建数学模型的有效方法，丰富学生数学模型的学习经验，为学生学会应用数学模型解决其他问题奠定良好基础.

（三）着眼学生发展，系列活动强化模型观念

培养学生的数学观念并非简单地说明数学模型的含义及构建方法，还需要引导学生了解构建数学模型的思想方法.要实现这一教学目的，教师需要转变教学观念，用互动型教学方法代替传统的讲授式教学方法，引导学生在师生互动、生生互动的过程中感悟数学模型的建构意义，总结数学模型的建构方法，逐步强化学生的模型观念.以苏科版八年级数学上册“勾股定理”一课的教学为例.

1.创设情境，引导学生初步认识数学模型

对于大多数学生而言，数学模型具有一定的抽象性，在理解、应用方面存在困难.为避免学生在探索数学模型的过程中产生畏难情绪，教师有必要贴近现实生活创设教学情境，借助有趣、生动的情境渗透建模思想.在此过程中，教师还可围绕情境内容与学生展开对话，通过对话的方式引导学生进一步探索数学模型.为促进学生与“勾股定理”一课中模型观念培养教学内容的深度交互，教师可利用多媒体创设生活情境，调动学生的学习积极性.如教师播放幻灯片展示毕达哥拉斯家的瓷砖，同时创设情境：他们家的瓷砖美吗？美在哪里？借助非数学性的问题驱动学生参与讨论，引导学生说出瓷砖可构成小正方形、大正方形、长方形等答案.这时，教师放大幻灯片，引导学生将目光集中在某块直角三角形瓷砖上，指导学生关注分别由直角三角形两条直角边、一条斜边构成的正方形，并提出问题：这三个正方形的面积有怎样的关系？由此借助情境驱动学生观察、发现、类比、猜测，引导学生初步认识“毕达哥拉斯定理”这一概念模型.

2.布置任务，驱动学生合作完成模型建构

传统的教学方式以“教师讲授、学生听讲”为主要形式，这在一定程度上抹杀了学生自主学习的天性.让学生充分参与到数学模型构建过程当中，才能够真正强化学生的模型观念.为此，教师可将任务教学法用于初中数学教学，调动学生的数学模型探索热情.实际教学中，教师可以先分析课程主题，挖掘其中蕴藏的模型观念培养教学内容，之后围绕此类教学内容布置学习任务，驱动学生以小组为单位合作建构数学模型.对于“勾股定理”一课，教师可围绕该课的教学主题布置学习任务，如利用手中的工具验证毕达哥拉斯定理（勾股定理），并说说你的发现，由此驱动学生讨论完成任务的方案，并运用直角三角板、量角器、刻度尺、计算器等工具绘制直角三角形、测量直角三角形三边、计算直角三角形三边的平方等，使学生在任务操作的过程中发现直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边平方.之后，教师要求学生运用数学语言汇报任务结果，进一步驱动学生完成勾股定理计算模型的建构，即a2+b2=c2.

（四）注重问题设计，科学练习升华模型观念

培养学生模型观念的重点在于发展学生的数学思维，使学生学会根据问题本质建构合适的数学模型，从而解决问题.长期组织学生解决固定格式的数学问题，可能会使学生的思维僵化，不利于学生建模思维与创新思维的生成与发展.为此，教师有必要优化问题设计方式，积极采取变式方法设计形式新颖、内容丰富的练习题，要求学生应用概念、公式、几何模型解决问题，进一步升华学生的模型观念.以苏科版八年级数学下册“用反比例函数解决问题”一课的教学为例.为了锻炼学生应用反比例函数模型解决问题的能力，升华学生的模型观念，教师可设计如下习题.（1）某机床加工一批零件，如果每小时加工30个，那么12小时可以完成.如果要在一个工作日（8小时）内完成，则每小时要比原来多加工多少个零件？（2）某学校要种植一块面积为100平方米的长方形草坪，要求相邻两边长均不小于5米，则草坪的一边长y（单位：米）随其邻边长x（单位：米）的变化而变化的图像是怎样的？

结 语

综上所述，模型观念是对数学模型用途用法的清晰认识.培养学生的模型观念对于发展学生的数学思维、提升学生的数学问题解决能力具有重要作用.教师应当认识到模型观念培养教学的重要性，同时结合新课标及其他教辅资料探索数学模型的含义，明确模型观念培养教学内容.同时，教师要考虑数学与现实的关系、学生的发展情况等，基于教学实际合理选取概念、性质、习题等教学内容，并根据学生的思维发展特征组织情境、任务教学活动等，确保学生能够在教师的引导下逐渐探索数学模型的本质及构建方法，逐渐强化学生的模型观念.

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