初中学生对数学概念文本理解的研究

童杰鹏 娄海洋 尤佳音

【摘要】对数学文本的有效解读是教师在核心素养背景下对数学“四基”“四能”进行理解与实践的综合体现.数学教学的本质是概念教学，所以，教师对概念性文本的理解逻辑与解读方式深刻影响着教学设计的宽度和深度，也影响着教学知识的准确性、系统性.文章对初中数学概念性文本进行了大致分类，即描述型、本质型、几何型和集合型，并根据不同类型的概念特征设计相应的课程教学过程，优化教学结构，基于学生的认知规律与知识结构界定不同概念特征，注重数学知识与方法的层次性与多样性，以让学生经历数学概念的“再发现”“再生成”过程，形成对概念的深刻理解.

【关键词】概念性文本；数学阅读；概念理解

引 言

数学概念是架构数学学科的基本元素，掌握丰富的数学知识和概念是理解数学世界的基石.对概念性文本正确、有效的解读是开启数学之门、走进数学世界的钥匙.数学概念是数学课程的核心.《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，要注重教学内容的结构化，在教学中要重视对教学内容的整体分析，以帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撐意义的结构化的数学知识体系.因此，如何将分散在不同章节、课时中的概念性文本分析透彻，构建概念的“网格点”，呈现彼此有联系的结构化文本，是教师的一大任务.数学知识的结构化是指将教材中数学知识的来源、产生、推理、思维逻辑、数学思想等形成结构式（网状、三维结构）体系，形成一个“三会”有机整体.在大概念视角下，着眼于零散概念的研究及联系是构建大单元的基本，也是数学内容三要素（抽象、推理和模型）的基础.数学教学归根结底是概念性教学，故对数学概念性文本的解读直接影响学生对数学本质的掌握以及对知识结构的搭建.但是，在日常教学中，教师对数学概念性文本的解读偏向于语义的记忆和例题的辨析，反复指正定义，轻概念，重解题，轻过程，重结论，导致数学教学非常沉闷.统观数学发展史，我们会发现每一个重要数学概念的形成与发展都充满着人类高度的认知、理性的思考和富有生活意义的探索，而数学概念正是从这样的一个发展过程中抽象和概括出来的.

数学具有高度的抽象性与逻辑性，是一种有别于其他科目的学科，它通过数字、图形、符号等构成基本的语言，即文本.这种文本中的概念是浓缩的结晶，是撑起数学独特性的支柱.解读数学文本和概念是基于学生已有的认知讲清数学知识的来龙去脉，深刻挖掘潜在的数学知识结构与思维，把学生带入数学文本，与文本对话，实现文本的“生命化”旅程.

对数学概念性文本的解读可以从以下三个层面进行：（1）充分结合概念产生的实际背景和学生的认知经验；（2）合理利用概念的直观性揭示概念的本质，透彻解读又留有余地；（3）注重学生概念体系的建立，创新解读概念.

本文将初中数学概念进行了分类，并针对不同类型的概念进行了特征性解读.

一、对描述型概念的文本解读

此外，对描述性概念的获得，教材往往会给予多种情境的描述和铺垫，然后让学生抽象出基本数学表达式，再针对这些式子进行比较、归纳，总结出概念.部分教师对于已有表达式中的各个成分的阐述和辨析会存在不足.如一次函数概念：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数.这个概念很精炼，很多学生误认为其是一种公式，没有对其进行分解和理解.事实上，教师要让学生明确这个函数表达式中的两个变量是什么，用等号连接的数量关系又表明了什么意义，即y是关于x的一次函数，变量x，y的表示字母也可以是m，n，还需要让学生明白表达式中变量的关系是表达式的“神”，而变量的表示字母则是外在的“形”，常数k，b是函数变化中的不变值，是静态解析式中的两个重要因素，是宏观把握函数类型的重心.解析式中常数的性质决定了函数的性质与变化的规律，这是动态研究函数的方向，教师需要借助图表来形象说明.描述性概念是从情境中抽象出来的，是数学与社会生活之间的联系，是触发学生发现现实问题的先机，同时，抽象出来的函数关系可以帮助学生更好地分析问题、解决问题.所以，对于此类概念，教师需要向学生展示一个环环相扣的知识框架，启发学生知道概念从哪里来，怎么来，又到哪里去.

二、对本质型概念的文本解读

本质型概念即从概念的本质特征出发，辅助一定的附加条件加以限制.这种定义本身是一个判定定理，如平行四边形、等腰三角形、相似形等概念.这类定义以简短精练的语句进行概括，从字面就可以知道其为何物，通常在几何定义中出现.如有两边相等的三角形叫作等腰三角形，这个概念在小学就有接触，学生有基本的概念轮廓，教师在初中课堂解读时需要给予学生承前启后的系统性的知识网络.首先要圈出“两边”，提问学生三角形有几条边，这两边是指哪两条边，引发学生对相等两边的讨论，深化分类讨论思想，然后让学生圈出“三角形”，继续提问三角形可以分为哪几类，学生根据已有基础会很快说出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再动手画图，在实践中理解概念及概念的延伸，深化学生的分类思想，提升学生从一般到特殊的概括能力，培养学生的思维品质.

本质性概念的另一个特点是定义本身就是一种判定定理，故教师有深度、有过程地解读对于学生对几何图形的判定思路具有重要指引意义.如矩形（有一个角是直角的平行四边形叫作矩形）、菱形（有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形），在这两个定义中有一个共同的词“平行四边形”，通过附加一个条件，就使其成为矩形或菱形.这一定义刚好启发了后续矩形、菱形判定的基本路径：四边形—平行四边形—矩形（或菱形），即从一般到特殊.教师对此类概念的解读需要追根溯源，从基本的图形（四边形）出发，层层递进，从多角度、多方面引导学生发现问题、提出问题、分析问题，解决问题.在矩形的新授课中，教师可以从已有的平行四边形入手，通过改变平行四边形的角，让学生观察并且发现90°角时的特殊情况，然后下定义.此类概念从字面上可以很快捕捉到信息，但如何让基本概念再创造、再发生，则需要教师思考几何研究的基本框架以及图形之间的联系（图1），优化课程内容设计的结构化特征.概念结构的架构是本质性概念最突出的特点，可以引发学生“构思迁移”.

因此，对于本质型概念的文本解读，教师需要知道学生的已学内容和知识前后的逻辑性与系统性，重在培养学生的创新意识和思维品质，让学生理性分析条件，对于同一个概念挖掘不同的图形位置和图形变化，让学生在富有逻辑的网络构建中提出新问题，发展思维的独创性和系统性.

三、对几何型概念的文本解读

几何型概念即从概念的几何属性出发，借助一定的几何图形与几何语言，对概念的本质特征进行总结的定义形式，如绝对值.此类定义的文本呈现往往需要借助画图，从几何图中观察、领悟定义的内涵，然后抽象出基本概念，并通过几何关系进行代数运算.绝对值的定义是：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，用“||”表示，如-4的绝对值表示为|-4|，它表示数轴上-4这个点到原点的距离.绝对值概念的提出始终围绕着数轴和数轴上点与点的距离的关系展开.绝对值赋予了数另一重性质，只有大小，没有方向.绝对值在有理数章节的出现其实暗含一条潜在逻辑线路：原始数—自然数—有理数—数轴—绝对值（数的原始符号—生活中的数—抽象的数—具象理解的数），这是数的产生的历史，从最初的符号（一种形）到使用中的数，再到数轴上的点（一种形），这是从具体—抽象—具体，也是从形—数—形.有理数扩充了小学认知的数系，负号的引入改变了数的性质，数轴转变了数的表达形式，数既有大小又有方向，而绝对值只有大小没有方向.教师根据这个逻辑串联课堂内容，会让学生对绝对值的含义的理解更加深刻.此外，在学生了解并理解了绝对值的基本性质之后，教师可以进一步挖掘其更深刻的几何意义，从概念出发，把数轴上某一点与原点的距离扩大为数轴上任意两点之间的距离，将数学的类比思想渗透其中.

几何定义在于概念的具象化图形展现，在于在图形中对基本要素进行讲解，通过挖掘图形中隐含的规律与性质解析概念的含义.对于概念文本的深度解读往往需要从多角度、多层面进行，如动静结合、符号语言与图形语言的结合等.

四、对集合（或动点）型概念的文本解读

集合（或动点）型概念即用集合观点下定义，将具有某种本质特征或满足某种条件的元素组成一个整体，即为集合，如圆、线段垂直平分线的逆定理等.集合型概念既有内在的数量关系又有直观的图形特征，教师需要结合动静不同状态，用具象化的手段向学生展示抽象概念的形成过程.如圆的静态概念：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆；动态概念：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫作圆.这两个概念是为了让我们从现实世界中更好地抽象出圆的形象，有联系又有区别，两者都有定点和定长，而且概念都是围绕这两个要素展开的.但是静态观下的圆是点的集合，对这些点到定点的距离都相等的特征进行描述很困难，因为有无限的点，我们无法证明每一个点到定点的距离都是一样的，直到高中圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（（a，b）为圆心坐标，r为半径）才给出了直观的表达，对此，教师在拓展课中可以适当进行延伸与补充.初中常见圆的概念是动态观下的圆，学生可以直接在旋转的过程中形成对概念的印象.小学阶段学生已有了对圆这种图形的基本认识，而在初中则是让学生体会、抽象出圆的模型，故在概念的理解之下，从现实情境下提炼出圆是教师讲解概念的重点.同时，对于圆的概念的生成，动态圆也更符合学生的认知发展，他们在画圆的过程中自然会出现半圆、不完整圆等问题，教师针对这些自然产生的问题进行充分的讨论、分析，就会进一步加深学生对圆的基本知识的理解，拓宽学生关于圆的认识，使其感悟数形结合、动静结合的魅力.

结 语

数学概念是数学知识的基本组成，也是逻辑思维发散的起点，不同的概念类型具有不同的思考方向与解读方法.本文从四种概念类型阐述了初中数学概念文本解读的内涵挖掘及逻辑线索.数学概念的形成是一个创造性过程，在理解概念的过程中，学生需要经过同化与顺应的过程，将所获得的新概念融入已有的认知结构，形成新的认知结构体系，持续进行这样系统化与结构化的学习过程，将促进学生构建更新的认知结构体系，不断在数学世界中遨游、在探究过程中思考，学生通过认知的同化迁移可洞悉知识的来龙去脉，从而加大对知识认知的高度、深度和广度.

教师针对不同类型的數学概念需要创设不同的课堂形式，优化课程内容，体现知识的结构化特征.教师还要界定概念，梳理思路，形成网络化数学知识系统，让学生在概念的探究、学习中接通一个个知识网格点，建立数学理论体系，让每个学生都能走进数学世界.

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