平面向量高考复习应关注交汇性问题

陈挺

［摘 要］高考对平面向量的考查一直以交汇性问题的形式出现，不仅考查向量知识与其他知识的综合应用，而且考查平面向量的工具性。文章结合几则典例，例析平面向量与三角、解析几何、函数与不等式的交汇，以提高学生的解题能力，发展学生的数学学科核心素养。

［关键词］平面向量；三角；解析几何；函数；不等式

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）26-0004-04

高考对平面向量的考查一直以交汇性问题的形式出现，既考查了考生对平面向量本身的认识，又考查了平面向量的工具性，因此在高考数学复习中，教师一定要引导学生关注平面向量交汇性问题。本文举例说明，以供同仁们参考。

一、与三角的交汇

这类命题一般是以平面向量为载体，巧妙地把平面向量的數量积问题与三角函数相关知识糅合在一起，以此来考查考生对这两部分知识的掌握情况和知识的迁移能力。

析，利用向量数量积这一工具，结合三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的取值范围得出答案。

点评：本题属于解三角形问题。已知条件中虽然没有出现平面向量，但解答时却引进了平面向量，并应用平面向量的运算法则进行推理，体现了平面向量在解三角形问题中的“工具”作用。

复习建议：对于平面向量与三角函数的交汇创新试题，复习时应引导学生关注平面向量的运算法则、同角三角函数的关系、三角恒等变换、解三角形、基本不等式等知识，并强化引参、消元、化归、数形结合等数学思想方法的应用，帮助学生开阔视野，激发学生的创新意识。

二、与解析几何的交汇

平面向量与解析几何都涉及数和形，对于解析几何中图形的重要位置关系（如平行、相交、三点共线、三线共点等）和数量关系（如距离、面积、角度等）都可以通过向量的运算而得到解决。

点评：本题将三角形的面积公式，同角关系，向量夹角公式，数量积的坐标表示，向量的模的坐标表示，直线与椭圆的交点的求法，椭圆中的定值问题综合在一起考查，综合性极强，具有一定的计算难度。

（1）求[C]的方程；（2）过点[F]且斜率不为零的直线[m]与[C]交于[P、Q]两点，设[A-1，0]，证明：[AP⊥AQ]。

点评：解析几何中的两直线平行、垂直或求夹角问题，一般可以转化为平面向量的坐标运算问题，这体现了平面向量在解析几何问题中的灵活应用。

复习建议：对于平面向量与圆锥曲线的交汇试题，教师应引导学生在对曲线的定义和性质理解的基础上解题，熟练掌握直线方程、圆锥曲线的概念和性质等，深刻体会由向量关系式列出方程是后继应用韦达定理、函数的增减性等简化运算的关键。

三、与函数、不等式的交汇

平面向量与函数、不等式等知识的交汇试题，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题。

（1）求[y]关于[x]的函数解析式；

点评：本题以平面向量基本定理的应用为背景，通过平面向量运算构建函数，并在此基础上考查分段函数的图象与性质，具有“向量搭台，函数唱戏”的特点。

复习建议：平面向量与函数、不等式等知识交汇的试题大多考查了平面向量基本定理和向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的转化求解。合理运算、化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答题目的关键。因此，复习此类问题，教师应引导学生培养转化思想和换元思想，不断提高分析问题和解决问题的能力。尤其要掌握两种转化途径：一是利用向量平行或垂直的充要条件进行转化；二是利用向量数量积的公式和性质进行转化。

总之，通过以上交汇性问题的探索，应让学生知道，平面向量交汇性问题不仅考查向量知识与其他知识的综合应用，而且考查平面向量的工具性，是一类兼顾基础性与综合性考查的好题。因此，在复习平面向量时，教师既要注重学生基础知识的巩固和基本技能的提高，又要注意平面向量方法的渗透。