中考数学“倍长中线模型”应用分析

刘现强　韩爱华

［摘 要］义务教育阶段数学几何模型的增加，使得教学难度和学生的思维深度大大提高。文章阐述初中数学的一个经典几何模型——倍长中线模型，并以北京、四川等地方的数学中考试题为例，解析该模型蕴含的数学思想方法与核心素养。首先对该模型进行概述，然后分析解题的思路方法及辅助线的构建，研究模型的拓展延伸与应用。结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中模型意识和模型观念两大核心素养的重要地位和作用，围绕中线进行模型解题策略研究分析，以增强学生数学几何模型知识的应用，提升学生的模型建构能力。

［关键词］中考数学；倍长中线；模型

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）26-0007-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，模型观念是初中阶段的数学核心素养的主要表现之一。对初中学生来说，运用数学几何模型来解决实际问题要有清晰的认识，需要具备较好的解题思维与解题技巧。数学建模是数学世界与现实世界联系的基本途径之一，教师应让学生在学习中感知数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识和能力。文章以鲁教版五四学制初中数学教材七年级上册第一章第1节“认识三角形”中的相关内容为例进行讲解分析，进而研究倍长中线模型（中线加倍法模型）解题策略和解题思路。初中数学学习策略模型的建立及其应用案例的研究显得尤其重要。文章重点分析倍长中线模型并进行拓展应用，达到思维的提升。

一、倍长中线模型

中线：平面内的三角形，任意取一个顶点，这个顶点到对边中点的线段，定义为三角形的一条中线，显然三角形有三条中线。倍长中线模型（中线加倍法模型）：沿着某一个方向延长中线，使得被延长的部分线段的长度等于它本身的长度，再连接两个端点。此模型经常用来构造三角形全等（AAS、SAS）以求解三角形边长之间的取值范围、长度、数量关系等问题。

一般思路：已知条件中出现三角形一边的中线或与中点有关的线段时，优先运用倍长中线模型来构造全等三角形加以论证说明。利用中点巧作辅助线，通常是把中线延长一倍，然后利用全等三角形判定定理来解决问题。常用的解决方案如下面四种情况所示：已知，在[△ABC]中，[AD]是[BC]邊上的中线。①如图1所示，延长[AD]到[E]，使得[DE=AD]，连接[BE]；②如图2所示，延长[AD]到[F]，使得[DF=AD]，连接[CF]；③如图3所示，作[CN⊥AD]于点[N]，作[BM⊥AD]的延长线于点[M]；④如图4所示，在[AB]上取一点[G]，连接[GD]并延长到点[H]，使得[DH=GD]，连接[CH]。上述四种解题思路均可以推导出两个三角形全等。

二、模型应用及分析

倍长中线的应用，需要借助中线的条件，根据题目条件来求解问题。本文探究求解三角形边长取值范围的问题及结合2022年北京市中考数学第27题来分析倍长中线模型的应用。

（一）求模型中的数量关系

［例1］（2022年北京中考数学第27题）在[△ABC]中，[∠ACB=90°]，[D]为[△ABC]内的一点，连接[BD]，[DC]，延长 [DC]到点[E]，使得[CE=DC]。

（1）如图5所示，延长[BC]到点[F]，使得[CF=BC]，连接[AF]，[EF]。若[AF⊥EF]，求证：[BD⊥AF]。

（2）连接[AE]，交[BD]的延长线于点[H]，连接[CH]，依题意补全图6。若[AB²=AE²+BD²]，用等式表示线段[CD]与[CH]的数量关系，并证明。

解：（1）在[△CDB]和[△CEF]中，

∵[CD=CE]，[∠DCB=∠ECF]，[CB=CF]，

∴△CDB ≌△CEF（SAS），∴[∠BDC=∠FEC]，

∴EF∥BD，

∵[AF⊥EF]，∴[BD⊥AF]。

（2）补全图形如图7所示，数量关系为[CD=CH]。

理由如下：延长BC到点M，使[CM=CB]，连接EM、AM，

∵[∠ACB=90°]，[CM=CB]，∴AC垂直平分BM，

∵△BAM为等腰三角形，∴[AM=AB]，

在△CDB和△CEM中，

∵[CD=CE]，[∠DCB=∠ECM]，[CB=CM]，

∴△CDB ≌△CEM（SAS），∴[EM=BD]，

∴[∠BDC=∠MEC]，

∵[AB²=AE²+BD²]，[AM=AB]，[EM=BD]，∴[AM²=AE²+EM²]，

∴△AEM是直角三角形，[∠AEM=90°]，

∵由（1）知 EM∥BD，∴EM∥BH，

∴[∠AEM=∠BHE=90°]，

点评：例1考查知识点较多，综合性较强，涉及三角形全等、平行线相关的定理、线段垂直平分线定理、直角三角形的判定定理和直角三角形斜边上的中线性质等。第（2）问，考生正确地作辅助线，利用中线模型构造三角形来证明全等是解题的关键。

（二）求三角形边长的取值范围

［例2］如图8所示，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，若[AB=3 cm]， [AD=4 cm]，求边长AC的取值范围。

解：如图9所示，延长AD至点E，使得[DE=AD]，连接CE。

∵D为BC的中点，∴[BD=CD]。

∵在△ABD和△ECD中，[BD=CD]，[∠ADB=∠EDC]，[AD=ED]，

∴[△ABD] ≌[△ECD]（SAS），∴E[C=AB=3]，[ED=AD=4]，

∴[AE=AD+ED=8]。

在△ACE中，∵[AE-EC<AC<AE+EC]，

∴[8-3<AC<8+3]，∴[5 cm<AC<11 cm]。

点评：延长[△ABC]的中线[AD]一倍，使得线段[AD=DE]，构造出[△ECD]，易于证明[△ABD] ≌[△ECD]。这是倍长中线模型典型的解题思路方法。辅助线添加的目的是加倍延长线段构造全等图形。

变式1：如图8所示，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，若[AB=3 cm]，[AC=5 cm]，求AD的取值范围。

解：如图9所示，延长AD至点E，使得[DE=AD]，连接CE，

∵D为BC的中点，∴[BD=CD]。

∵在△ABD和△ECD中，[BD=CD]，[∠ADB=∠EDC]，[AD=ED]，

∴△ABD ≌△ECD（SAS），∴AB=EC=3。

在△ACE中，∵[AC=5]，[AC-EC<AE<AC+EC]，

∴[5-3<AE<5+3]，∴[5-3<2AD<5+3]，

∴[2<2AD<8]，∴[1 cm<AD<4 cm]。

点评：变式1相对于例题的变化是，[AC]已知，要求解未知量[AD]，解题思路相同，辅助线作法也相同。

变式2：（2017年四川达州中考数学第14题）在△ABC中，[AB=5]，[AC=3]，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是           。

解：如图10所示，延长AD至点E，使[DE=AD]，连接CE，则[AE=2]m，

∵[AD]是△[ABC]的中线，∴[BD=CD]。

在△ADB和△EDC中，

∵[AD=DE]，[∠ADB=∠EDC]，[BD=CD]，

∴△ADB ≌△EDC（SAS），∴[EC=AB=5]，

∵在△AEC中，[EC-AC<AE<AC+EC]，即[5-3<2m<5+3]，∴[1<m<4]。

答案：[1<m<4]。

三、模型拓展延伸

模型意識有助于增强学生对数学知识的应用能力，提升学生的逻辑思维能力和数学学科核心素养。模型的拓展应用更多的考查热点趋向于综合与实践、探究与合作等开放性、探究性试题。

拓展1 综合与实践

小明同学遇到这样一个问题：如图11所示，在[△ABC]中，AC的长度等于5，[AB]的长度等于7，满足[BD=CD]，请探究[AD]的长度范围。小明尝试运用 “倍长中线法”来探究推导问题。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来处理。思路如下：如图12所示，延长线段[AD]至点[E]，满足[DE=AD]，显然易于证明出[△BED] [≌][△CAD]。

（1）小明证明△BED ≌△CAD用到的判定定理是                    。（填入你选择的选项字母）

A. SAS B. SSS C. AAS D. ASA

（2） AD的取值范围是      &nbsp;             。

（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造。

参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图13所示，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若[AG=2]，[BF=4]，[∠GEF=90°]，求GF的长。

解：（1）如图12所示，延长AD到点E，使[DE=AD]，连接BE，根据对顶角相等，即可利用“SAS”来证明[△BED] ≌[△CAD]，得到答案A。

（2）根据全等三角形的性质得[△BED] [≌][△CAD]，所以[BE=AC=5]，再利用三角形的三边关系即容易得到答案为[1<AD<6]。

（3）如图14所示，延长GE交CB的延长线于点H，连接BH，

∵四边形ABCD是正方形，∴[∠A=∠ABC=90°]。

∵E为AB边的中点，∴[AE=BE]。

在△EAG和△EBH中，∵[∠A=∠EBH=90°]，[AE=BE]，[∠AEG=∠BEH]，

∴[△EAG] [≌][△EBH]（ASA），∴[AG=BH]，[EG=EH]。

∵[AG=2]，[BF=4]，∴[BH=2]，∴[FH=BF+BH=4+2=6]。

∵[∠GEF=90°]，∴[∠AEG+∠BEF=90°]，

∴[∠BEH+∠BEF=∠HEF=90°]，∴[FE⊥GH]。

∵[EG=EH]，∴FE垂直平分线段GH，

∴GF=FH=6（线段垂直平分线的性质定理）。

点评：本题考查了倍长中线模型，探索三角形全等的条件、三角形的三边之间的关系、正方形的性质、垂直平分线的综合运用等相关内容的应用。利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键所在。

拓展2 探究与实践

【问题提出】在某次小组研讨的过程中，遇到下面的问题：如图15所示，在△ABC中，已知AC长为3，AB长为5。请写出中线AD的取值范围并推导出过程。小明与同学研讨发现解决思路：延长AD至点E，满足DE等于AD，连接BE后（也可以看作△ACD绕点D顺时针方向旋转180°得到△EBD），线段AB、AC和[AE=2AD]转化在同一个△ABE中，由三角形的边长关系得到[2<AE<8]，所以[1<AD<4]。

【方法思路】当已知中出现线段的中点及三角形的中线，添加辅助线，把一条过中点的线段延長一倍，构造两个三角形全等，便于转化已知与结论，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法。

【解决问题】如图16所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作[DE⊥DF]，交边AC于点F，连接EF。

（1）证明：EF < CF + BE。

（2）假如∠A等于90°，求线段EF、CF和BE三者之间的等量关系式。

（3）如图17所示，在△ABC中，[∠ABC=90°]，D为边AC的中点，点E和点F分别在边AB、BC上，M为线段EF的中点。若[AE=2]，[CF=5]，则DM的长为              。

【思路分析】（1）如图18所示，延长ED到点G，使得[DG=ED]，连接GF、GC，根据SAS证得[△DBE] ≌[△DCG]，可得结论。

（2）如图18所示，延长ED到点G，使得[ED=DG]，连接GF、GC，由（1）得△DBE ≌[△DCG]，则[EF=FG]，[BE=CG]，[∠B=∠BCG]，即[∠GCA=90°]，利用勾股定理解题即可。

解：（1）如图18所示，延长ED到点G，使得[DG=ED]，连接GF、GC，

∵[DF⊥DE]，∴FD垂直平分EG，∴[EF=FG]，

∵D是BC的中点，∴[BD=CD]，

又∵[∠BDE=∠GDC]，[ED=EF]，∴[△DBE] ≌[△DCG]，

∴[BE=CG]，

在△CFG中，∵[CG+CF>GF]，[GF=EF]∴[BE+CF>EF]。

（2）如图18所示，延长ED到点G，使得[DG=ED]，连接GF、GC，

∵[∠A=90°]，∴[∠B+∠ACB=90°]，

由（1）得△DBE ≌△DCG，[EF=FG]，

∴[BE=CG]，[∠B=∠BCG]，

∴[∠GCA=∠BCG+∠ACB=90°]，

在Rt△CFG中，∵[GC²+CF²=GF²]，

∴[BE²+CF²=EF²]。

（3）如图19所示，连接ED，并延长ED到点G，使得[DG=ED]，连接GF、GC，

∵[∠ABC=90°]，∴[∠A+∠ACB=90°]。

同理可得△DAE ≌△DCG，

∴[CG=AE=2]，[∠A=∠ACG]，∴[∠GCB=∠BCA+∠ACG=90°]，

点评：此题应用了全等三角形，三角形的三边关系，直角的判定，勾股定理的运用，三角形的中位线定义及性质定理等知识，可构造全等三角形，并用类比的方法解决。

四、结语与建议

在初中阶段，分别从演绎证明、运动变化规律、量化分析三个方面来研究图形的基本性质和图形间的相互关系。演绎证明、运动变化、量化分析相当于研究基本图形的三个不同角度，既相互独立又相互交织。学生创新能力的培养，需要教师在教学中善于运用和渗透模型意识，增强学生的实践应用技巧和能力，逐步形成模式化的几何概念、模型等。教师在实际教学中应多做模型策略方面的引导，增强学生的深度思维，减少学生对于公式、概念等的机械记忆，转变学生的思维方式。教师应淡化“纯文字描述”及数学概念性的知识点，加强解题技巧训练，提高学生学习的学习兴趣，使学生养成良好的学习习惯，形成质疑、问答、自我反问、勇于探索的科学精神和学习素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］  王光明，李健，侯晓娟.初中生数学学习策略常模的建立及其应用案例：以天津市为例［J］.数学通报，2020（2）：4-9，15.

［3］ 奚雯燕.如何利用中点巧作辅助线［J］.数学学习与研究，2015（6）：127，129.

［4］ 陈莉红，曹经富. 2021年中考“图形的性质”专题命题分析［J］.中国数学教育，2022（增刊1）：68-78，96.