解答数学题的四个常规步骤

周佳琦

数学家波利亚在《怎样解题》中对怎样解题进行了深入而又细致的分析与讨论，并提出在解题过程中所需要经历的四个阶段，第一阶段：理解题目，看清题目中的要求是什么；第二阶段：掌握题目中所涉及的相关项目是如何关联起来的，已知量与未知量之间具有什么样的关系；第三阶段：执行所设计的方案；第四阶段：回顾解题的过程并进行检查与讨论.仔细研究可发现，这就是解题的四个步骤：审题——寻找解题思路——确定解题方案并实施——检验解题过程.

解题的第一步是审题.我们需要仔细读题，明确题意：

（1）弄清楚题目中给出的已知条件以及所求的目标；

（2）确定哪些是已知量，哪些是未知量，隐含条件有哪些；

（3）判断所给的条件充足与否；

（4）判断题目属于什么类型；

（5）明确涉及了哪些知识点；等等.

第二步，需要在找出有用的数据和信息后，将其关联起来，仔细分析问题，寻找解题的思路.最重要的是确定题目中的未知量与已知量之间的关系，并将其关联起来，可用相关的公式，引入辅助元，构造辅助数列，用已有的知识与过去的解题经验，寻找解题的思路.

第三步，确定并实施解题方案.这一步是解题的关键，需要对上一阶段中所确定的解题思路进行分析、整理、优化，可画出相应的表格、图象，以辅助解题.在这个过程中，需确定解题的每一个步骤，列出关系式、建立数学模型，根据已知条件、相关定理、公式、性质、运算法则进行推理、运算，确保推理有理有据，计算准确，解题的过程简洁、有条理，答案正确.

第四步，检查上一阶段中得到的解题过程，并进行验算，主要检查：

（1）运用到的公式、定义、性质是否正确；

（2）运算过程是否正确；

（3）用到的数据是否正确；

（4）图表是否正确.若存在错误，需及时改正.对于解题或证明过程相对繁杂的题目，这一步尤为重要.在该过程中，要对题目进行反复斟酌，并对所获得的解题过程进行回顾，以确定得到答案的正确性.

[C. 以MN为直径的圆与l相切]

[D. ΔOMN为等腰三角形]

分析：题目中的已知量有：

④直线[l]为抛物线C的准线.

未知量有：①[ p]的取值；

②线段|MN|的长度；

③以MN为直径的圆与直线[l]的位置关系；

④[ΔOMN]的形状；

解题思路：由抛物线的焦点坐标可以确定[p]的取值；由直线MN的倾斜角与圆锥曲线的定义可以确定线段|MN|的长度；通过图象可以研究以MN为直径的圆与直线[l]的位置关系，判断出[ΔOMN]的形状.这样便将未知量与已知量关联起来了.

本题的解答过程为：

根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图1所示.由抛物线的定义可知，焦点[F]的横坐标为1，则[p=2]，故A选项正确；

过点[M]作准线[l]的垂线，交[l]于点[M]；过点[N]作准线[l]的垂线，交[l]于点[N]；取[MN]的中点为[P]，过点[P]作准线[l]的垂线，交[l]于点[P]，连接[MP]、[NP]，

由抛物线的定义知[|MF|=|MM|]，[|NF|=|NN|]，

所以[|MN|=|MM|+|NN|].

即[|PP|=|MP|=|PN|]，

所以以[MN]为直径的圆与直线[l]相切，故[C]选项正确；

通过观察图象可知，[ΔOMN]不是等腰三角形，故[D]选项错误；

所以本题的答案为[AC].

经检验，所得的结果正确.

（1）求[C]的方程；

（2）记[C]的左、右顶点分别为[A1，A2]，过点[B（-4，0）]的直线[l]与C的左支交于[M，N]两点，[M]在第二象限，直线[MA1]与[NA2]交于[P]，证明：[P]在定直线上.

分析：题目中的已知量有：

①该圆锥曲线是以中心为坐标原点的双曲线；

④直线[l]过定点[B（-4，0）]；

⑤点[P]为直线[MA1]与[NA2]的交点；

未知量有：①双曲线[C]的方程；

②点[P]是否在定直线上.

解题思路：通过已知的[a，e]的取值，结合双曲线的定义，就可以确定双曲线的方程；依题意可知，直线[l]过定点[（-4，0）]，可以令直線[l]为[x=ty-4].另外，结合（1）可以得出点[A1，A2]的坐标，设[M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）]，就可以得出直线[MA1]与[MA1]方程，接着联立方程，即可得解.

解答本题的过程为：

根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图2所示.

解得[x0=-1]，所以点[P]在定直线[x=-1]上.

经检验点[P]在定直线[x=-1]上，且满足题意.

很多同学在解题时常常不清楚应该如何下手，由哪个地方切入，掌握了解题的这四个步骤，就能高效、正确的完成解题.审题、寻找解题思路、确定并实施解题方案、回顾或检查解题的过程，每一个步骤都不可或缺，并有一定的先后顺序，上一个阶段是下一个阶段的前提，下一个阶段是对上一个阶段的完善.这四个步骤虽然不一定适用于所有的题目，却能为同学们解题提供一个大致的方向，这有利于培养同学们良好的解题习惯，进而提高解题的效率.