例析求解抽象函数问题的几种途径

张婷

抽象函数问题对同学们的抽象思维能力和分析能力有较高的要求.抽象函数问题中往往不会给出具体的函数解析式，要求我们根据已知条件求函数的单调区间、最值、定义域，解函数不等式.下面结合实例，谈一谈解答抽象函数问题的几种途径.

一、利用函数的单调性

对于一些有关抽象函数的值域、单调区间、函数不等式、单调性问题，通常需根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，进一步利用函数的单调性解题.在利用函数的单调性解题时，往往要先根据题意确定函数的定义域，判断抽象函数的单调性和单调区间，再根据函数的单调性建立关系式.

例1. 函数[fx]是定义在[R]上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意[x、y∈R]，都有[fx+y=fx+fy]；②当[x>0]时，[fx<0]，且[f1=-2].则函数[fx]在区间[-3，3]上的值域为_____.

解：设[x1，x2∈-3，3]，且[x1>x2]，

则[fx1-fx2=fx1+f-x2=fx1-x2<0]，

所以[fx1

则函数[fx]在区间[-3，3]上是减函数，

所以[fxmax=f-3=-f3=-f1+2]

[=-f1-f1+1=-3f1=6]，

[fxmin=f3=-f-3=-6]，

即函数[fx]在区间[-3，3]上的值域为[-6，6].

我们根据函数单调性的定义，先令[x1，x2∈-3，3]，[x1>x2]；然后将[fx1-fx2]，判断出差式的符号，即可判断出函数的单调性；再根据函数在[-3，3]上的单调性确定函数的最值点，即可解题.对于闭区间上的函数最值问题，通常要重点关注区间端点值，由函数的单调性可知函数的最值往往在区间端点处取得.

例2.已知函数[fx]对于任意正数[a，b]都有[fab=fa?fb]，且[f0=1]，当[x>1]时，[fx>1]，若[fx?]

[f5-x>1]，求[x]的取值范围.

解：令[x1，x2∈0，+∞]，[x1

可知函数[fx]在[0，+∞]上单调递增，

因为[fab=fafb]，

所以不等式[fxf5-x>1]等价于[fx5-x>f0]，

可得[x5-x>0]，解得[0

故[x]的取值范围为[0，5].

首先将[fx1、fx2]作商，即可根据函数单调性的定义判断出抽象函数在[0，+∞]上的单调性；然后利用函数的单调性去掉[fx5-x>f0]中函数符号“f ”，将不等式转化为常规不等式，即可通过解不等式求得问题的答案.解函数不等式，通常要将不等式中的自变量转化到同一单调区间内，才能根据函数的单调性将问题转化为常规不等式问题.

二、换元

对于含有复杂式子、复合函数的抽象函数问题，往往要采用换元法求解.即将复杂的式子、复合函数中的某一部分式子用一个新元替换，即可将函数简化，根据函数的性质、定义域求得问题的答案.

例3.已知函数[y=f2x]的定义域为[-1，1]，求函数[y=fx+3]的定义域.

解：由函数[y=f2x]的定义域为[-1，1]，

可知[-1≤x≤1]，

∴[-2≤2x≤2]，

设[t=2x]，∴[y=ft]的定义域为[-2，2]，

令[t=x+3]，可得[-2≤x+3≤2]，

解得[-5≤x≤-1]，

∴函数[y=fx+3]的定义域为[-5，-1].

函数[y=f2x]、[y=fx+3]均为复合函数，而[y=f2x]中的[2x]，[ y=fx+3]中的[x+3]均与[y=fx]中的[x]的意义相同，于是令[t=x+3]，并将t替换[2x]，通过等量代换，求得函数[y=fx+3]的定义域.

三、数形结合

数形结合法是解答函数问题的重要思想方法.在解答抽象函数问题时，我们可以先根据已知条件确定抽象函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性；然后画出相应的函数图象，以明确函数图象的变化趋势，尤其要关注函数的最高点、最低点、单调区间、对称轴、对称中心、周期；再建立新的关系式，即可求得问题的答案.

例4.已知[fx]在[R]上是奇函数，在区间[0，2]上单调递增，且[fx-4=-fx].若方程[fx=mm>0]在区间[-8，8]上有四个不相等的根[x1、x2、x3、x4]，求[x1+x2+x3+x4]的值.

解：∵[fx]在[R]上是奇函数且满足[fx-4=-fx]，

∴[fx-4=f-x]， [f4-x=fx]，

∴函数的对称轴为直线[x=±2]，且[f0=0]，

∵[fx-4=-fx]，∴[fx-8=fx]，

∴函数的周期为[8]，

∵函数[fx]在区间[0，2]上单调递增，

∴函数[fx]在区间[-2，2]上单调递增，

令[x1

根据图象的对称性可知[x1+x2=-12]，[x3+x4=4]，

∴[x1+x2+x3+x4=-12+4=-8].

解答本题，需先根据已知条件确定函数的对称轴、周期以及单调性；然后画出[fx]的大致图象，即可通过研究图象的变化情况，确定[fx]与函数[y=m]在区间[-8，8]上的4个交点的位置；再结合图象的对称性，求出[x1+x2+x3+x4]的值.

例5.设函数[fx]满足[f2+x=f2-x]，[fx]在[2，+∞]上是减函数，若[f3x-1>fx+3]，则[x]的取值范围是_________.

解：由题意知[fx]的图象关于直线[x=2]对称，

∵[fx]在[2，+∞]上是减函数，

∴[fx]在[-∞，2]上是增函数，

其图象如图2所示.

∵[f3x-1>fx+3]，

可知点[3x-1，0]到点[2，0]的距离比点[x+3，0]到點[2，0]的距离小，

∴[3x-1-2

将不等式两边的式子平方并化简得：[2x2-5x-2<0]，

首先根据已知关系式确定函数的对称轴[x=2]和函数的单调性，即可画出函数的图象；然后结合图象，比较出点[3x-1，0]和点[x+3，0]到点[2，0]的距离的大小关系，进而得到新不等式，通过解不等式得到[x]的取值范围.

解答抽象函数的问题方法很多，同学们只需根据已知条件和解题需求，进行赋值、换元、画图，灵活运用函数的性质，选择合适的方法，即可快速获得问题的答案.