基于“三位一体”模式实变函数课程教学探索

[摘 要]基于教学－科研－思政三位一体的教育理念，高等院校针对实变函数教学课程进行了一系列的改革措施。文章以学生的思维发展为中心，采用比较式教学法、案例式教学法，利用思维导图、专题教案、思政案例集、慕课网络教学平台等工具帮助学生提高学习认知能力、掌握科学思维能力，增强勇攀科学高峰的理想信念。

[关键词]高效输入；高效输出；案例式教学；思政元素

党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央坚持实施创新驱动发展战略，要求以改革创新精神推动高等教育发展，培养更多服务国家奉献社会的优秀人才。基础研究特别是基础数学是发现重大科学技术必不可少的工具。因而如何将教学、科研与思政有机融合在课堂上，是新时代下每一位基础数学专业老师必须思考的问题。

实变函数课程内容抽象、逻辑严谨、理论性强、证明方法具有巧妙的构造性，是培养学生数学素养和科研能力的理想课程。学生有了良好的数学素养和科研能力，一方面可以为研究生阶段课程的学习打下坚实基础，为人工智能、量子物理等交叉学科的应用提供保障[1]；另一方面，也是贯彻习近平总书记提出的高校应培养应用型和创新复合型人才的指示所必不可少的条件。

高校不仅要培养创新拔尖人才，也要引领学生思考有意义的人生、有价值的事业，这也是一项重中之重的工作。而课堂教学是铸魂育人的主渠道，是落实立德树人的主战场。因而在实变函数教学中，教师要深入挖掘思政元素，让思政切实落地生根，着力培养能担当民族复兴大任的时代新人。综上所述，本论文主要探索如何在实变函数课程中做到教学－科研－思政三位一体，立足知行合一，建立知识育人、思政育人、科研育人体系。

一、实变函数课程教学现状

在高等院校理科、工科、管科等专业教学中，实变函数是一门非常重要的数学基础课程，作为一种在数学学习中使用的工具，其对提高高校学生的逻辑能力、思维能力和空间运算能力有很大帮助。在经济发展步入新常态的背景下，实变函数在金融、经济和信息等领域得到了越来越多的应用[2]。当前，由于受到传统教育模式的制约，该领域的学习侧重于知识信息的传授，而忽视了对该理论背后思想和意义的学习。在课时少、抽象难懂的实变函数教学中，如何能改进教学方法，提升学生的学习兴趣，让学生更容易地对自己所学到的知识进行吸收，同时还可以利用它来解决现实生活中的问题就显得十分重要了。

结合高校实际教学情况，每个数学专业的本科生都受过实变函数的“伤害”，大家经常戏称“实变函数学十遍”才能掌握精髓。以南京工业职业技术大学为例结合多年的教学实践，实变函数课程教学中存在的主要问题为：1.实变函数课程抽象性高，理论性强，几乎都是概念和定理的证明，证明推导中的每一步又需要反复思考琢磨才能理解，耗时耗力，不受学生“待见”；2.实变函数的一些理论往往颠覆了学生认为显然的事情，让学生感觉不实用，如偶数集全体与正整数集全体元素个数一样多；3.学生前期所学数学分析知识不是特别牢固，辩证思维能力不是很强，前几课时所讲的内点聚点开集闭集知识点，包含了大量的逻辑证明，很容易让学生丧失学习的兴趣和信心，更别提在课堂上融入思政元素了；4.由于高校课程改革的不断深入以及通识教育的逐步开展，实变函数课程学时缩减，在保证课时完整性的同时几乎难以在课堂中开展思政教育，培养学生的创新思维，激发学生对基础数学研究的兴趣。

二、实变函数课程教学改革措施

基于教学－科研－思政三位一体的教育理念，南京工业职业技术大学从课程实际教学改革设计出发，依据多年的教学经验、教学反思及学生的教学反馈，在教学内容、教学方法、例题设计、考核方式和教师引导等方面进行了改革，形成了一套完整的实变函数教学体系，学生反馈效果不错。

（一）依据学生认知能力和教学目标，重构知识体系，编写专题教案

南京工业职业技术大学在大三上学期开设实变函数课程，此时大部分学生的重心放在考研复习上，而实变函数课程跟考研专业课数学分析的很多知识框架是相似的。例如，逐点收敛和一致收敛是数学分析课程的主要内容，但该课程并没有深刻阐释两者之间的关系，而实变函数课程中的叶果罗夫定理就详细介绍了如何通过微创手术把逐点收敛转化为一致收敛；在讲勒贝格积分的性质时，也可以与定积分重积分的性质进行比较。通過这种学科之间的比较，一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面可以让学生对理论知识有一个直观而深刻的认识，加强理解。教师将这类知识点进行专题汇总，并绘制了思维导图使这类知识可视化，促进学生认知加工，同时配备了填空题、选择题和判断题，通过这种简单的题型，进一步加深学生对知识的理解[3]。该专题开展的目的是通过“比较”教学法使学生逐步培养自主进行知识迁移的能力，同时产生创造性想法。

除了对可以进行学科比较的知识制作了专题，依据知识的难易程度和重点程度，对于较简单但繁杂的概念性知识、证明方法逻辑性较强的知识、可以恰当融入思政元素的知识等编写专题教案。对于不同的专题教案配备了思维导图、课堂练习和课下习题、考研复试真题、名师课堂视频等资料，同时将这些内容上传至学校的Mooc课网络教学平台，供学生的不同学习需求。

（二）高效输入，高效输出

一门课程想要取得好的教学效果，关键在于授课教师的“高效输入”。只有教师“会讲课”，能够攫取学生的注意力、通过类比的方式帮助学生思考、利用可视化原则和方法帮助学生提高认知，学生才能“高效输出”。因而任课教师应不断学习新的教学方法和手段，探索以学生思维发展为中心的教学方式，尽力提高学生的认知能力和思维能力。

在授课过程中，改进知识讲解方法。利用类比/生活化的比喻，帮助学生理解概念及相关性质。例如，在讲解勒贝格积分的定义时，将积分值比喻为“一块布的面积”，抽掉这块布的几根线，并不影响布的面积，因而有有限个间断点的函数是黎曼可积的。如果抽掉无限但可数条线，这块布就不是一块布了，因而有无限多间断点的函数是非黎曼可积的。这就局限了可积函数类。为此，授课中可引入勒贝格积分，使得抽掉无限但可数条线的布“仍有价值”，这个价值怎么去度量呢，这就是课程中第三章需要引入测度的原因。这样讲解，不仅让学生从几何直观感受上理解勒贝格积分的定义，更能激发学生学习测度、可测函数等知识的好奇心和强烈兴趣。尽可能将部分知识点以案例的形式讲解，让学生先建立感知，然后再抽象出理论[4]。再如，讲解可数集的定义及性质时，引入“Hilbert”旅馆问题，让学生安排顾客的住宿问题，分析出现的问题及困难，讨论解决方案，总结此方案合适的原因。

不同于高中时代的教学方式，大学数学教育一定要注重学生数学素养的培养，要以学生为中心，教师做到高效输入的同时，务必保证学生的高效输出才是关键。为此，每次课后都要求学生画知识总结或对比图表（要求明确本节课的目标，达成目标所需解决的问题，每个问题的解决方案）。学生在画思维导图的过程中，会自己总结对知识点概念的理解程度，思考知识点之间的联系。通过训练学生用图示的方法来输出知识点，实现将隐形思维提取并显性化，在大脑里形成稳固的图式。有了稳定的图式，学生就可以将知识点联系起来，并实现融会贯通和灵活使用。

教学改革中，任课教师可以搜集不同高校的考研复试题目，并将题目进行归类，课堂讲解一两道题，剩下同一类型的题目交给学生以小组形式汇报。将认知模型与知识点有机结合起来，让学生清楚这些知识点在具体场景是解决什么问题的，这样才能让学生把知识点学活，学以致用。例如，在实变函数课程中，设计几个简单的项目（如勒贝格积分在概率问题中的应用），让学生做项目汇报[5]。题目讲解和项目汇报是更高级别的输出，是实变函数知识应用能力、思维领悟能力、PPT制作能力、语言表达能力、团队沟通协助能力、吃苦耐劳精益求精等各种能力的综合体现。

在教学过程中，依据学生的反馈，任课教师不断评价反思改进自己的教学方法、教学手段，考核方式等，进行“高效输入、高效输出”，逐步加强对学生科学思维方法的训练，培养学生探索未知、追求真理、勇攀高峰的责任感和使命感。

（三）挖掘数学思想，融科研于教学中

在数学专业课的教学中，重点不是教学生更多的方法，而是提炼出为数不多的思想和技巧，这些思想和技巧又具有很强的通用性覆盖了数学的广泛领域。在实变函数理论中，“里斯定理”“勒贝格控制收敛定理”“对角线方法”等作为核心技术贯穿了数学物理方程、广义函数、高等概率论等课程。学生掌握了这些关键的想法和技巧，就可以顺利进入研究生阶段。为此，在教学实践中采用“案例式”教学，挖掘知识背后的主要思想和方法，然后给出一个利用该思想与方法解决实际问题的案例。事实上，实变函数理论中的可测函数、勒贝格积分在工程中应用广泛。工程中的很多函数性质较差，如狄拉克函数、狄利克雷函数等，因而所求的解只需广义解即可，而实变函数就为其提供了解的框架。在教学中，将自己所研究的输运方程适当引入到勒贝格积分教学中，让学生体验从具体到抽象、再到应用科研的过程，提高学生的学习积极性和主动性，树立正确的科学研究态度。

（四）有机融入科学史，让思政生根发芽

如何在实变函数课堂上恰当的融入思政元素，也是课程组老师一直思考的问题。为此在授课过程中可以从科学家的故事、科学的发展史、科学家的吃苦耐劳、爱国奉献精神以及一些定理所揭示的生活启示出发，编写思政案例集。由于讲授这门课程的学期，学生正处于是否考研，能否考上，选取什么学校的迷茫纠结状态。因而更容易把数学家的故事讲得出彩动人，例如，欧拉在后天失明的艰难处境下，依然取得了非凡的成就，让学生们逐步建立情感共鸣和理念认同，坚定考研目标，深入学习基础学科的信念[6]。笔者也是通过考研道路不断提升自己各方面能力，因此在授课过程中结合教学内容和自身成长经历，激励学生在焦虑中慢慢树立信心，坚定前进的步伐。同时，通过实变函数中某些知识点在实际生活或者物理工程领域的应用，比如，“Hilbert旅馆问题”，激发学生对数学知识的探索，鼓励学生追求真理，勇攀科学高峰。

（五）运用慕课，微课等教学平台开展线上线下交互式教学

伴随着现代科技的发展，网络上也出现了慕课、微课等在线教育方式，老师能够获得的教学资源日益丰富。由教育部主办的“数学微课教学设计大赛”就是一个宝贵的资源平台，汇集了国内优秀数学老师创作的宝贵微课视频，这些微课视频是教学内容与信息技术相融合，进行创新性发展的杰出结果。在教授实变函数时，老师可以让学生按照教材上的知识点观看微课，来获得新的知识，并做好随堂笔记，在线提交作业，然后进行课后的测试，再由老师详细地对所学的重点和难点进行说明，进一步地加深和扩展所学的内容。慕课对传统的教育方式进行了变革，给工科、理科、管科等高校的教育工作提出了新的机会和挑战，不管是实变函数，还是高等数学，都具有很强的逻辑性和很強的前后关联性，唯有将线上和线下教育有机地结合起来，开展交互的教育方式，方可获得良好的教育效果。利用慕课、微课开展教育，让学生不再只是在课堂上被动地聆听老师的讲解，获得新知识，让他们可以主动地接受新知识，而且还可以积极地参加到数学教学的研究中，这对提升他们的自主学习能力起了很大的作用，同时，教师还可以以他们的学习状况为依据，在线上和线下对他们进行解答，帮助他们解答问题。

结束语

三位一体教学模式的建立是一个庞大而艰巨的任务，在新工科理念下，本文对突变函数教学改革进行了一些初步的探讨，但是该课程仍然存在着许多亟待解决的问题，这些问题都会对教学质量产生很大的影响。在三位一体教学模式大环境下，开展实变函数课程改革，还有待于广大教育工作者结合实际进行可持续的推进与实施。

参考文献

[1]程凤林，崔红芳，李伟达等.高校教学竞赛驱动下的“教师-学生-课程”三位一体守正出新模式[J].科技资讯，2023，21（09）：119-122.

[2]郑燕芳.应用型本科高校“三位一体”课程思政教学模式研究——以“古代汉语”为例[J].文教资料，2023（07）：71-75.

[3]郭永兴，晓荣，李娟等.大数据背景下高校思政课构建“三位一体”教学模式研究[J].集宁师范学院学报，2023，45（02）：50-54.

[4]叶世斌，汤庆亮，蓝振松.地方高校思想政治理论课“三位一体”专题教学模式探索[J].科学咨询（教育科研），2023（03）：143-145.

[5]韦慧民，容楚楚，潘清泉.高校组织行为学课程“导、学、研”三位一体教学模式研究[J].柳州职业技术学院学报，2023，23（01）：91-96.

[6]马丽，郭学良，魏广香，等.地方高校生物科学师范专业“三位一体”实践教学模式探讨——以商丘师范学院为例[J].现代园艺，2022，45（23）：190-192.

作者简介：高崚嶒（1973— ），男，汉族，安徽望江人，南京工业职业技术大学公共基础课部，副教授，硕士。

研究方向：数学的教学与研究、项目管理。