小学生量感的特点及培养路径

栗明平,龚正华

(大理大学教师教育学院,云南大理,671003)

一、引言

量感是小学阶段的数学“核心素养”之一。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》(以下简称新课标)提出,量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知,并提出以下要求:知道度量的意义;对度量单位能进行换算、选择并理解统一度量单位的必要性;初步感知存在的误差,能合理得到或估计度量的结果。[1]本研究基于新课标对小学生量感培养的要求,从分析量感特点的角度出发探寻小学生量感的培养路径。

二、量感的特点

(一)直观性与抽象性的统一

量感的直观性是指学生借助度量工具测量事物的属性,并达到对事物的直观感知。量感的直观性包括三个方面。一是学生需要借助具体的度量工具对事物进行测量,完成对事物的直观感知,其中被测事物、度量工具都是可以直接观察的。二是学生利用已明确属性的事物和被测事物进行比较,间接形成对被测事物的直观感知。在缺少度量工具时,采用两个事物的同一属性进行比较获得直观感知。学生对被测事物形成直观感知的同时,将其以表象的形式保留在头脑中,进而不断发展数学眼光。三是度量单位在日常生活表达中所展现的直观性。日常生活所使用的度量单位是使用概念,可以逐步发展成科学概念,如一堆、一个、一群等。

量感的抽象性是指量的概念和度量的意义具有高度的抽象性,量要抽去事物各种质的外壳,才能达到对其本质的理解。[2]量感的抽象性使得其不容易被学生当前的感性思维所理解。量感的抽象性主要表现在三个方面。一是对物体属性进行表示时所使用的度量单位以及度量单位的换算是抽象的。二是量的概念、含义是抽象的,例如,教师无法直观地回答学生“什么是量”。三是量感作为一种“感觉我”,自身是无法具体呈现的。

(二)客观误差性与主观要求准确性的统一

量感的误差性是指在使用度量工具和方法的过程中引起的误差。在科学界,误差是无法避免的,甚至误差是取得相对绝对的必要条件。量感的误差性不是让学生追求无限接近标准值,而是让学生理解误差是客观存在的。量感的误差性包括两个方面。一是任何度量工具本身都会有一定的误差范围,即用两个不同的度量工具去测量同一事物时,得出的结果可能相同。二是度量过程是严格的、不容出错的。运用度量方法时,任何一个步骤出现错误,即使答案符合标准的范围,也会导致误差。

量感的准确性是在承认客观存在的误差后,事物的可测量属性能被准确地表达与测量。量感的准确性主要表现在两个方面。一是学生能准确规范地使用度量工具、度量方法并得出准确值。二是在人为主观规定允许的误差范围的基础上追求估计结果或实测结果的准确性。例如,在测量课本的长度并且要求结果以mm作为单位时,能被允许的误差仅仅在1mm—2mm之间。而在估量山峰的高度时,能被允许误差的范围则是几百米,需采用估计的结果。

(三)同一量感内部要有适切性

量感的适切性是指在特定的场合与问题情境之下在五个量感类别中选择合适的量感类别,并在同一类型的量感中选择适切的度量单位、度量工具和度量方法。五类量感类别是空间量感、角度量感、时间量感、轻重量感、币值量感。[3]量感类别的适切性主要包括三个方面。一是基于问题情境,在五类量感类别中选择适切的量感类别。例如,在表示铅笔的价格时,就要选择币值量感。二是基于已选的量感类别和实际情况去选择适切的度量工具及度量方法。任何一个物理属性的测量,可提供的测量工具和测量方法都是多样的,因此,需要在处于一定的情境的前提下,选择适合的测量工具和度量单位解决问题。例如,测量桌子的长度时,选择米尺更为合适。三是基于问题要求选择适切的度量单位。在表达物体的某种可测量属性时,不能局限于某一种方式。例如,对于长度100厘米的表达,它在同一类型的度量单位就有“米”“分米”等。100厘米也可以表示成1米、10分米。它们之间是相互替代的关系,因此表示出来的意义是相同的,只是使用的“度量单位”不同。

(四)不同类别的量感可以相互转换

量感的转换性以不同类别量之间的关系为基础,用一种或几种类型的量去表示另一个量。[4]不同量感类别转换的关键在于抓住不同度量单位之间的内涵与关系。由于不同类别单位量间的关系是固定的,在确定了一个或者几个量之后,另一个量就可以进行转换性表达。例如,路程、时间、速度三者间的关系是标准的,不容更改的。在表示速度时,速度是路程与时间之比。单位路程内,测量时间可以表示速度,也可以通过单位时间内测量路程来表示速度。在进行比较时,利用不同类型的量的关系可以迅速比较,且简便易懂。例如,小明花了十分钟走了1千米,小盼花了二十分钟走了1千米,求哪位同学平均速度更快。在确定了路程、平均速度和时间的关系之后,就可迅速地求出小明的平均速度更快。

三、量感的培养路径

(一)立足四类生活经验,帮助学生理解量感的性质

学龄期儿童的思维形式由具体形象思维向抽象逻辑性思维过渡。[5]建构主义学生观强调学生经验世界的丰富性和差异性,学生并不是空着脑袋走进教室的,他们在日常生活和以往的学习中形成了丰富的经验。[6]在日常生活中,五类量感类别是学生切实感受过且已司空见惯的,只是没有进行系统学习。具身认知理论的具身性表达出思维、认知的发生不仅涉及身体构造、神经结构、感官和运动系统等的参与,还涉及身体的感受、体验、经历等经验层面的嵌入。[7]学生充分利用自己的“身体”,将其作为教学工具,成为一个与被测事物比较的“标准量”。量感的抽象性与学生的理性思维紧密联系。培养学生对量感性质的理解,关键在于教授学生将已有经验与量感结合起来。

一是利用家庭生活的经验。小学生与家长相处的时间较长,家长会在生活中有意无意地对学生进行量感教育。同时在学校学习的量感知识,也可以在家庭日常生活中达到巩固、学以致用、理论与实践相结合的效果。例如,在讲解币值单位时,把学生日常购买学习用品或者零食的经验加入教学,“一只铅笔是一元钱,一个橡皮五毛钱”。这就将生活与教学结合起来,便于学生体会感受量感。在课堂上系统地教授币值量感后,学生再进行实践与揣摩,充分体会到量感来自生活并应用于生活。二是利用身体的经验。空洞地讲解间接经验不如学生直观体验的直接经验。例如,在长度教学中,学生可在体验中感受毫米到千米的变化以及它们之间的进率。如1毫米约等于手指甲的厚度,1厘米约等于指甲的宽度等。学生在学习抽象的知识时,把自己的“身体”引进课堂可以获取直接经验。三是要利用教材或者课堂的临时经验。教材中所提到的“量一量”“按要求画线段”“在括号里填上合适的单位”等可以积累临时的经验,除此之外,课本的问题回答的实践操作部分也可获得更多的经验。教师可引导学生将课堂和生活中的经验有效结合,进行正迁移学习。四是利用教师所营造的意境经验。教师应积累一定的意境辅助学生量感的学习。教师构造的意境包括两种。第一种是通过语言构造意境来帮助学生理解生活中所使用的概念。不管在课堂教学中还是非课堂教学之中,教师在与学生进行对话交流时,应尽量多采用日常概念的语言。第二种是通过文字构造意境。教师在描述事情或图画时,可利用模糊的日常用语或文学词汇进行表达,例如,百花齐放,争相斗艳。

数学不仅是运算和推理的工具,还是表达和交流的语言。这个语言是学生难以理解的科学的抽象概念。数学的科学概念是从日常生活经验中提炼总结得来的。一方面,教师应抓住量感的科学概念生成的过程,借助上述不断积累的四类经验帮助学生获得丰富的日常概念,并逐步上升为科学概念或者抽象概念。例如,提问这堆货物有多少立方米,这一群有多少个人。“群”“堆”即为日常概念,教师利用“立方米”的抽象概念进行引导,可帮助学生学会使用科学概念表示日常概念。另一方面,应借助上述四类经验帮助学生发展关于“量”的抽象思维。所有的经验都蕴含着学生的高级思维活动,学生可以这些经验为基础,在大脑中不断地思考其科学概念与定义。教师可以合生活经验中的量为评价的载体,并采用持续性评价与形成性评价相结合的方式评价学生对量的掌握情况。例如,评判学生能否正确理解度量单位的含义时,教师可借助各种活动、作业、生活对学生表现出来的量感的抽象性进行评价,在纠错与矫正量感的过程中,使学生充分体验量感的抽象性。

(二)反复实践操作感悟量感的误差客观性与主观要求准确性

量感要求初步感知度量工具和方法引起的误差,能合理得到或估计度量的结果。[1]这类估计需要学生不断累积经验。学生在反复的实践操作过程中,积累众多的经验,以达到量的结果表述要求。在对量感结果表述的培育过程中,学生可以基于实际操作进行观察、调整、估测等活动,以丰富的实践经验构筑量感结果表述的基石。[8]

学生可通过反复(或利用他人的操作以达到反复的效果)实践操作了解误差的客观性与准确的主观性。教师需要明确误差是无法避免的,引起误差的原因也是众多的,只能确定一个相对的标准值,此值是人为规定的,可以基于条件进行更改。教师进行标准的度量工具和度量方法教学时,每一步都应严格按照规定和要求进行展示,教授之后,将课堂留给学生进行实践操作,在此过程中必须对学生的实践操作严格要求,并促进学生从动作技能学习逐步过渡到心智技能学习。学生采用“标准”的度量工具和“标准”度量方法进行多次测量,得出自己的“标准值”,再与他人进行比较,体会到每次的所得值和他人所得值可能都有所不同,同时将自己的所得值与公认“标准值”进行比较。学生对反复操作的所得值的异同进行原因分析,充分体验到误差是无法避免且必不可少的。

学生可通过反复操作掌握正确估计的步骤。学生需理解对物体的估计是必要的,只要是在能接受范围之内,一切的估计都是合理的。这需要经过粗略估计、测量、近似估计三个阶段。粗略估计是指学生在已有的直观经验或合理想象的基础上,对物体的客观物理属性进行简要估计。测量是指学生进行粗略估计后,对物体的客观物理量采用准确的度量工具和度量方法进行实践测量。对于实际测量有以下两种情况。第一种是学生在无法进行实测时则利用前人的经验。例如,估计珠穆朗玛峰的高度时,学生无法进行登顶测试,就需利用前人知识进行佐证。第二种是学生能用自己的度量工具进行实际测量。近似估计是指在进行实际测量之后,再对物体的客观物理量进行一个近似估计,最终达到无限接近正确值。在一次次的实践估计中,学生检查在头脑中建立的单位的表象、度量单位、度量方法是否合适。学生进行估计时,在明确误差的必要性后根据情况进行迅速且合理的估计,借此培养量感。

(三)主题式教学培养学生对量感类别的感知与应用

一是利用主题式教学帮助学生适切地选择度量单位。布鲁纳指出,不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构。[9]教师在教学中需要将知识组织成一个结构并教授给学生。同时,新课标也提出主题式学习。[1]教师将各个量感类别看作结构并作为一个专题或主题进行教学。在主题教学中,首先了解各类量感类别是用作哪个领域,其次了解同一类型量之间的关系即进率,最后根据实际应用情况选择明确的单位及其相关的度量工具和度量方法。

例如,在《曹冲称象》的故事中进行轻重量感的教学时,可以进行简单的主题式教学设计。此设计首先明确以轻重量感作为一个专题,在主题中理解什么问题情境下会使用轻重量感。此设计采用了称象的故事,同时也结合日常生活事例进行说明,加深情境印象。在以后的问题情境中学生能进行学习迁移,并能迅速使用此类量感类别。其次,充分认识在这一量感类型之下的所有的量。在此主题中学生需要理解克、千克、吨的意义并明确每个具体单位的实际情境。教师可利用同一类型单位的有限可加性或者头脑中积累的表象累加进行推理,从而让学生认识它们之间的进率。[10]学生在生活实践中接触到的单位可直接进行表象建立学习,无法直接接触到的大单位则运用想象进行学习。想象学习是凭借单位之间的进率,加深对同类单位的理解与总结。例如,10000000克=10000千克=10吨。最后,学生可利用已学会的基本理论知识,针对物体可测量的物理量选择合适的单位与相对应的度量工具。为了满足不同目的,人们发明了众多度量物体的工具。测量工具虽有其单位的独特性,但也有表达一定物理属性的共性。例如,有的杆秤的度量单位是千克,有的则是克。在选择合适的度量工具时,学生需了解特定问题的解决所使用的方法和手段都不是唯一的,需要综合考虑经济、场地等各种因素。在教学中,教师准备各种度量工具,让学生通过看、摸、用等一系列反复的操纵充分了解测量工具和正确使用度量工具的方法,在此过程中使学生储备足够多的工具的个性和共性特征。需要注意的是,在对同一类型的量进行最终表示时,明确在众多的度量单位中,每个同一类型的不同度量单位有其独特的含义,在不严格纠结所表示的含义时,它们是相通的。例如,1000个“1”克和一个“1”kg,它们在表示轻重量感时都是同样的质量,但在具体的意义上却有所不同。

二是主题式教学帮助学生采取多种方式表达物体可测量属性。学生在学习完所有的量感类别后,再进行一次大主题的学习。一方面是为了让学生理解不同类型量感运用的实际情境,避免错误使用量感类别。另一方面是为了让学生明确量感类别之间的关系以便进行转化性表示。在大主题教学时,教师要帮助学生掌握每一个度量单位所表示的意义和使用的情境。同时,掌握几个度量单位之间的联系,视实际的情况,将未知量迅速转成另一类或者几类量,但需要注意的是,异类物理量不能直接进行表示,也不能进行比较,因为它们的度量单位是不同的,代表不同意义,需利用它们的关系进行判断和计算。例如,在路程问题中,问题情境已知总路程为1千米,施工队5天能完成,求每天修建的速度是多少。这里就需要利用时间量感和空间量感的关系表示速度。

四、结语

小学生量感的培养是当今核心素养时代背景下小学数学教学的应然之意与必然要求。量感是新课标要求学生会用数学观察世界的一部分。从新课标角度出发分析量感的特点以及量感的培养要求,能寻求量感培养的实践路径,为小学数学教学培养小学生量感提供保障,为未来发展学生的抽象能力奠定基础,促进学生核心素养与数学核心素养的发展。