有关基本不等式的常见题型

李友转

摘要：基本不等式是高考考查的热点，在选择题、填空题和解答题中均有所涉及.同时，基本不等式也是解决有关最值问题的重要工具之一，因此熟练掌握与基本不等式有关的题型及其求解方法，是顺利解决此类问题的关键.本文中主要针对基本不等式及其常见题型进行归纳总结.

关键词：基本不等式；变量替换；配凑法

1 直接应用类[1]

此类问题直接利用基本不等式求最值即可.注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.

例1 已知0＜x＜1，则x（3-3x）取得最大值时x的值为.

分析：满足“一正、二定、三相等”这三个条件，可以直接利用基本不等式求解.

解析：由0＜x＜1，得1-x>0.

由基本不等式，可得

例2 （2015年天津高考＼5文）已知a>0，b>0，ab=8，则当a的值为时，log2a·log2（2b）取得最大值.

分析：本题结合对数知识考查基本不等式的应用，满足“一正、二定、三相等”这三个条件，直接利用基本不等式反解出参数的值.

又a>0，b>0，ab=8，所以a=4，b=2.

2 恒等变形类[2]

此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握式子的结构特征，对不满足使用基本不等式条件的式子通过“變形”来转换，但不论怎么变形，都需要根据条件转化成凑和为定值时求积最大，或凑积为定值求和最小.

2.1 拆项法

故所求最小值为-2.

2.2 凑项法

分析：题目要求和的最小值，就要配凑积为定值，所以要减去2，再加上2，保持原式不变，进而利用基本不等式求解.

分析：本题中函数解析式为一个分式，不利于求出最小值，所以可通过分离常数，凑出积为定值的式子，再利用基本不等式求解.

因此原函数的最小值为23+2.

2.3 凑系数法

分析：要求积的最大值，就要配凑出和为定值的式子，再利用基本不等式求解.

3 条件最值类

在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，常通过变量替换或换“1”法［3］来构造基本不等式求解.

分析：利用换“1”法，出现积为定值的式子，进而利用基本不等式来求和的最小值.

解析：由a>0，b>0，a+b=1，可得

例8 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是[CD#3].

A.2B.3C.4D.5

分析：本题借助直线背景考查基本不等式的应用，简单利用换“1”法即可求解.

故所求最小值为4.

解决基本不等式的相关题型，首先要掌握利用基本不等式求最值时的前提，即：

（1）非零的各数（或式）均为正;

（2）和或积为定值;

（3）等号能否成立.这三个条件缺一不可.

其次就是辨别所求式子的类型，根据已知条件用相应的方法解题即可.

参考文献：

[1]耿道永.高考考查基本不等式的四种题型[J].高中生，2016（18）：28-29.

[2]谈杰.基本不等式[J].数学教学通讯，2012（32）：28-29.

[3]庄德明.浅析高中数学“基本不等式”常见题型[J].新课程（中），2014（12）：224-225.