三角函数中的“配凑”技巧

荣宇航

摘要：三角函数是高中数学的重要内容之一，在高考中占很大的比重，但学生对此部分的掌握情况并不乐观，数学思维能力没能得到很好的發展，究其原因是三角函数所考查的题型比较多、解法多种多样、公式也比较繁琐，因而学生在做题时不能第一时间检索到所需公式，出现乱用和错用的现象.为了学生数学运算素养以及逻辑推理素养的落实，本文中根据三角形的解题总结出了适当的“配凑”技巧，操作性较强，可供学生参考.

关键词：三角函数；配凑；解题

三角函数是高中数学非常重要的学习内容，高考考查的题目形式也比较灵活多变，学生解答有一定的难度.人教A版教材将三角函数的内容几乎都集中在必修一、必修二，就是为了锻炼和培养学生的思维能力，加深他们对三角函数的认识与理解.由于三角函数求值类问题的技巧性比较强，实际操作时如果合理运用一些小技巧，能有效避免繁杂的计算，降低错误率［1］.本文中所介绍的“配凑法”需要在运算前找出题干所给的“已知角”和要求的“未知角”之间的关系，通过配凑将“已知角”过渡到“未知角”，然后结合诱导公式、二倍角公式和两角和与差的三角公式等知识解决相应的问题［2］.

1 利用诱导公式求三角函数值

利用诱导公式求三角函数值是指在求解“未知角”的三角函数值时，要借助诱导公式完成“已知角”和“未知角”的配凑，“未知角”的个数可以是一个也可以是两个，配凑后可结合二倍角等公式求解.

2 已知三角函数值求值

已知三角函数值求值是指配凑出“已知角”和“未知角”的关系之后，将所求的“未知角”转化成“已知角”，进而结合一些公式利用“已知角”的三角函数值求解.

分析：题目中的两个“已知角”分别为β和α+β，并给出了对应的三角函数值，首先找到“未知角”α与两个“已知角”之间的关系，即α=（α+β）-β，然后借助所给角的三角函数值来求α的余弦值.

分析：题目中的两个已知角分别为α-β和α+β，所求角是2β.仿照例3的思路，先找到三者之间的关系，即2β=（α+β）-（α-β），然后借助所给角的三角函数值来求2β的正弦值.同时注意在求已知角的三角函数值时要考虑角的取值范围.

总结提炼：解决已知三角函数值求值的问题，首先要考虑角的关系，常用的是二倍角关系以及和差与特殊角的关系，然后再选择合适的公式求值.计算求解时一定要考虑已知角的范围，否则会对计算结果造成影响.

3 已知三角函数值求角

已知三角函数值求角是指在求解角的时候，首先根据“已知角”和“未知角”之间的关系表示出“未知角”，然后借助已知角的三角函数值求出未知角的三角函数值，进而结合角的范围求出未知角.

分析：利用三角函数值求角的问题实质是求三角函数值的逆向思维应用，在运用的过程中要注意“已知角”的范围，以确定“未知角”所在的象限，进而选择合适的三角公式，从而有效避免在解题的过程中出现增根.该题很容易看出未知角与已知角之间的关系，可以先借助二倍角公式对2β进行处理，然后结合两角和与差的三角公式求解.

总结提炼：已知三角函数值求角，首先要对角进行相应的变换，借助和、差、倍角、半角等公式，建立条件和结论之间的联系，进而使问题得以解决.做题时常见的角的变换方式有2α=（α+β）+（α-β），2α-β=（α-β）+α等.同时，解决这类问题的关键是要熟记三角函数的公式并能够灵活加以应用.

参考文献：

［1］钟丽娟.例析三角求值中的“凑角”策略[J].中学数学教学参考，2020（15）：36-38.

［2］张乃贵.从配角、凑角到换角——从一道高考题看一类三角函数求值问题的通性解法[J].中学生数学，2013（11）：11-12.