犹抱琵琶半遮面 千呼万唤始出来

于水英 陈丽 王玲

1 试题呈现

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

2 试题分析与思维导图

2.1 第（1）问的分析

第（1）问难度较低，直接利用抛物线定义或者将题干直接“翻译”成数学符号语言就可以得出来.

具体解法可以扫码（图2）观看.

2.2 第（2）问的分析与思维导图

析题：第（2）问可以抽象为相邻的弦长和的最小值问题，通过条件转化化归得到邻边垂直，因此本问可以分三个步骤考虑：步骤一弦长和的表示，步骤二变量的统一化，步骤三研究最小值.不妨设A，B，C三点在W上，则

可得到下面的思维导图（图1）：

【步骤1】弦长和的表示

解析几何中的弦长问题，通常是从代数角度出发，或设线，或设点；亦可以利用参数方程；当然个别情况会从图形本身出发，通过几何角度来解决弦长问题.

若选择设线法，根据条件中AB，BC互相垂直且

【步骤2】变量统一化

步骤1得到的弦长和含有多个变量，多变量问题在高中阶段常用的方法是减元，常见的减元方法有同构法、换元法、主元法、放缩法.观察①式发现，这个式子含两个变量且内部结构不对称，很容易想到主元法.若以k为主元式子形式复杂，以t为主元式子对称且为双绝对值和的形式，故选t为主元看成双绝对值和的形式；同理③式以a为主元也是双绝对值和的形式.所以对于①式可用去绝对值的方法得到

当且仅当k=1时，等号成立.这里的式子与前面的⑤式相同.

【步骤3】研究最小值

求最小值常用的方法有求导法、二元基本不等式法、三元基本不等式法、柯西不等式法等.

对于⑤式，当k＞1时，除了换元还可以上下同时除以k6，利用同构的思想，就可以得到和第一段相同的式子，直接得到结论.

对于⑧式，令m=-（x1+x2），换元后得到g（m）=

提升：这道题的抛物线方程并非标准形式，但可以通过平移得到y=x2，因为平移并不影响周长的求解，且问题处理方式与前面都是一致的，得到的式子也相同，所以这道题也可以先平移再运算.

除这些常规方法以外，我们还可以利用不等式

来解决，不等式的证明请扫码（图2）观看.下面看看如何利用它解决这道题：由设点法，可以得到|AB|+|BC|=

说明：没有在文章中呈现的结论的证明、题目的具体解法，请扫码（图2）观看.

3 试题感悟

3.1 厘清算理，提炼算法

本题指导学生将“所求”转化为弦长和的最小值，从“已知”得到垂直关系，最终化归为两条垂直的弦长度和的最小值问题.先从步骤1即弦长的表示入手，不同入手方式形成不同的结果；研究多变量函数的最小值，统一变量是必经之路，于是进入步骤2；最后步骤3就是关键的运算环节.这样从算理到算法的思维过程，层层剥壳，培养了学生的高阶思维能力.

3.2 融合渗透，提升素养

通过题意分析讲解，促进学生核心素养的提升.从表示弦长的设线法、设点法的代数思维，到直线参数方程法、设角法的几何思维，培养了学生的逻辑推理、直观想象等能力；在步驟2统一变量中培养了学生的数据分析能力；在步骤3中，培养了学生的运算能力.再者，整个过程用思维导图的形式梳理，让思维可视化，提升学生的关键能力.

3.3 善于总结，提炼升华

高中数学多数知识难懂，不好记忆，教师要引导学生总结所学知识，帮助学生理解问题.

4 试题链接