突出问题解决 发展高阶思维

吴荣燕

摘要：以一节“余弦定理、正弦定理”新授课教学设计为例，对指向高阶思维的数学教学进行反思：关注单元教学，提高问题解决能力；注重知识的生成，培养探究创新能力；创设交流平台，激活批判质疑能力；重视育人价值，促进个体主动发展.

关键词：高阶思维；余弦定理；正弦定理

培养高中生数学高阶思维能力，主要是要发展学生的探究创新、批判质疑、直观想象、问题解决等能力.从数学教学的角度来看，教师要深刻理解教学内容，挖掘其蕴含的高阶思维培育素材，在课堂上创设情境，引导学生开展深度学习，促成高阶思维的发展.

1 教学过程

下面以人教A版（2019）“余弦定理、正弦定理”的新授课教学设计为例，展示应如何在课堂中培养学生问题解决的能力，发展高阶思维.

1.1 生成目标问题

问题1 三角形是我们非常熟悉的几何图形，构成一个三角形的基本要素有哪些？

生1：三条边和三个角，一共六个基本要素.

问题2 我们学过的全等三角形的判定定理有哪些？

生2：有“SAS”“SSS”“ASA”.

师：这是“定性”的结论.在△ABC中，试找出边和角之间的“定量”关系.

设计意图：把握事物的本质，是建构知识结构的前提.从学生熟悉的全等三角形判定定理出发，引导学生从定性的研究转向定量的探究.

1.2 启发引导思考

问题3 如图1，在△ABC中，如何用边、角的关系来表示三角形的面积S？

师：这便是“正弦定理”，其实质是三角形面积公式的推论.

生5质疑：上述“正弦定理”对任意三角形都成立吗？

学生讨论直角、钝角三角形的情形.

师：结构对称的正弦定理实际上是三角形面积公式的推论.

设计意图：正弦定理充分体现了“对称支配力量”的数学美感，可作为学生认识数学审美价值、人文价值的一个切入口.

1.3 明晰探究路径

问题4 要探究三角形的边与角的定量关系，还可以运用哪些工具？

生6：平面向量，它兼具数与形，既有大小又有方向.

问题5 在△ABC中，存在着哪些恒成立的向量关系式？

问题6 如何将上述向量等式数量化呢？

生8：两边同时平方，用数量积的方法展开.

生9：两边同时与同一个向量作数量积运算.

设计意图：抓住向量法的根本，帮助和引导学生养成用向量法解决几何问题的习惯，掌握解决此类问题的一般研究方法.

1.4 引导合理论证

活动一：两边平方作数量积运算

生10：两边同时平方，整理，得a2=b2+c2-2bccos A.同理，b2=a2+c2-2accos B，c2=a2+b2-2abcos C.

师点评：上述三式即为余弦定理.勾股定理是余弦定理的特殊化.

活动二：两边同时用a，b，c中的某个向量与其作数量积运算

生11：由a=b-c，得a·a=（b-c）·a，化简得a=bcos C+ccos B（①）；由“对称性”，得b=acos C+ccos A（②），c=bcos A+acos B（③）；联立方程①②③可得余弦定理.

师补充：式①②③为“射影定理”.

设计意图：使学生聚焦数量积运算，通过探究获得对向量法的深刻理解，突破最近发展区，进入批判性思考阶段.

问题7 设i，j分别是平行和垂直于向量a的单位向量，请继续探究向量等式的数量积运算.

活动三：两边同时与i作数量积运算

生12：可得a=bcos C+ccos B，后续与“活动二”相同.这个数量积运算省去约分的步骤，简化了计算过程.

活动四：两边同时与j作数量积运算

生13：若b，j的夹角为锐角，化简后为bsin c=csin B，可得正弦定理.夹角为钝角时结论相同.

问题8 向量的数量积运算是如何实现余弦定理和正弦定理转化的？

生14：通过构造与已知向量垂直的单位向量，实现构造角之间的互余关系.

设计意图：采用“说数学”的教学策略，让学生讨论构造单位正交基带来的简化与变化，激发学生的分析、评价、创造等高阶思维.

1.5 课堂回顾反思

问题9 这节课我们通过哪些方式推导出了正弦、余弦定理？体现了哪些数学思想方法？

设计意图：体会知识的生长过程和向量的工具价值.归纳本节课渗透的数学思想方法，进一步发展分析、评价、创造等高阶思维.

问题10 本节课中从哪些角度，提出了哪些关键问题？

设计意图：激发学生思考“问题的问题”，让他们学会发现问题、提出问题，进而培养高阶思维，促进深度学习的发展.

2 指向高阶思维的数学课堂教学反思

核心素养、高阶思维的培养和发展必须以数学课堂为阵地，以学生为主体、教师为主导来开展，本节课的“高阶思维”课堂教学动线如图2所示.

2.1 关注单元教学，提高问题解决能力

高阶思维的培养，需要教师关注单元教学，基于学科本质凝练系统化的知识，获取知识的内在联系和蕴含的高阶思维，使得学生头脑中的知识群之间具有关联性、逻辑性.

后在解决几何问题中才会自觉地联想到向量法.学生不仅能形成关于单元的整体观念和核心思想，还可获取其蕴含的高阶思维，进一步提升运用向量解决问题的能力.

2.2 注重知识的生成，培养探究创新能力

教师要引导学生通过探究交流等方式理解知识的发现过程，从而培养学生的探究创新等高阶思维能力.

本节课从三角形的基本要素出发，引导学生对三角形的研究从定性转向定量，尋找三角形的向量等量关系式，将向量关系转化为数量关系式等发散式问题，这些均是在创设知识的“生长点”.在四个探究活动中，学生经历了数量积的几何意义，如a2=|a|2，a·e=|a|cos θ（e为单位向量）和a⊥ba·b=0，运用向量法最终实现对余弦定理、正弦定理的互证.由此学生理解到，三角形的各种几何量之间可以互相表达，从而可能进一步发现其他证明方法，增强创新意识与能力.在解决新问题时，才更易理解问题实质，并提取、运用已学知识经验，通过分析与综合进行高阶思维活动.

2.3 创设交流平台，激活批判质疑能力

在认知发展的过程中，思维的外化需要学习者作出相关的陈述，理解他人的陈述，相互论证或挑战各自的观点或假设.所有这些过程都将直接导致高阶思维活动和高阶学习.“说数学”是指个体用口头表达自己对数学问题的理解、解决数学问题的思路以及数学学习情感等的数学学习活动.

感，激活质疑批判意识，创造发展高阶思维的机会.

2.4 重视育人价值，促进个体主动发展

深度学习并不只是对浅层学习的反对，也并不只停留于学生高阶思维的培养，而是要促进学生作为具体的社会历史实践主体的成长和发展.

数学学科在培养学生理性思维、科学精神和促进智力发展的过程中发挥着重要作用.本节课注重联系初中所学过的三角形边角的定性关系，结合学生的最近发展区，鼓励学生运用类比、转化、分类与整合等多种方法探究三角形边角的定量关系，自然而然地引入向量作为工具，揭示向量的本质属性.学生在教师的引导下，经历正、余弦定理的推导过程，领悟向量法所蕴含的数学思想；在“说数学”活动中发展提出问题、批判质疑、合作交流的能力；在对三角定律的深入学习中，培养高阶思维，感受数学家严谨、求实的责任担当，让学生对社会的发展产生责任感和使命感.这也是对深度学习理念的任务与目标的体现和落实.

深化课程改革精神，需要教师从自身的教学出发，关注学生的深度学习和主体发展，通过知识的教学达成全面育人的目的.如何通过培养数学高阶思维促进核心素养的落地，还需要教师不断反思和探索.