发展几何直观 促进深度学习

罗勇

摘要：新课标在课程目标下的“核心素养的内涵”在初中阶段的主要表现中，将几何直观列为九个表现之一，并对几何直观的内涵进行了详细阐述。在初中数学课堂中发展学生的几何直观，可以从发现数学对象、认识数学对象的性质、运用数学对象三个方面入手，促进学生的深度学习。

关键词：几何直观；新课标；深度学习

几何直观主要指的是运用图表描述和分析问题的意识与习惯。在图形的性质学习中，主要体现为能够感知各种几何图形及其元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质。几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径。本文将以北师大版数学教材八年级下册“平行四边形的性质”探究为例，阐述如何在图形的性质教学中发展学生的几何直观。

一、发现数学对象

具体分析及实施建议如下：

教师出示生活中的平行四边形图片。

问题1：你能在图中找到平行四边形吗？

目标分析：从实际背景或数学背景中抽象图形，发现数学对象，关注共性，分辨差异，并能用画图、语言描述等方式表达。

教师引导学生独立画出（描出）平行四边形。

学生行为及分析：将视觉转化为触觉，通过描图，体会平行四边形由四条边组成，且对边互相平行。

教师引导学生说出图片中的平行四边形（语言描述）。如，停车位施划的实线围成一个平行四边形。

学生行为及分析：将直观感觉转化为语言表达，提炼图形的特征（平行四边形是由四条边首尾顺次连接组成的，且两组对边互相平行）。

问题2：你能说说什么样的四边形是平行四边形吗？为什么这样认为？

目标分析：引导学生关注合适的类别，用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力。

学生行为及分析：语言表达，尝试给出定义。学生說出的结果可能有很多种，如两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。有的学生甚至会说不全，如边平行的四边形是平行四边形。教师应先肯定学生得出的结论，然后追问原因，把学生抽象思考的过程暴露出来。然后，说明采用“两组对边分别平行”作为定义条件的原因，让学生理解“将图形之间的关系特殊化”是得到新的类（平行四边形）的原因，也因此了解“属+种差”定义新类的合理性。学生经历条件逐步完备、语言逐渐精练的过程，使几何直观从基于操作经验的感悟向基于概念的推理过渡。

问题3：请你用直尺和三角板画出一个平行四边形，你想怎样画？请参考三角形的表达方式记录这个平行四边形。

目标分析：理解图形作为一个整体，内部的元素有相应的位置关系，用符号与元素对应标记出来。文字表达、符号表达、图形表达相互对应。根据符号表达能画出图形，根据图形能写出符号表达，并能在转换的过程中用自然语言解释。在基于概念的层面上体会几何直观。

教师引导学生利用直尺和三角板画出平行四边形。

学生行为及分析：直尺可以画直线（线段），三角板可以画特殊角，结合后可画出平行线段，从而画出三角形。学生先确定画图的依据（定义），然后设计画图的程序（先后顺序），从推理和操作的角度体会平行四边形的定义，从中获得研究图形的经验。学生画出的图形可能位置不同，形状不同，大小不同，这是概念外延的表现，都符合其认知规律。

教师引导根据给出的符号表达画出图形，再根据给出的图形写出它的符号表达，并用自然语言解释。

学生行为及分析：在三种表达的转换中，体会对应关系。结合三个不同的角度认识图形。

问题4：图1中有几个图形是平行四边形？请找到并表示出来。

目标分析：形成基于概念的几何直观，能用推理的方式说明数学对象。

学生行为及分析：找到平行四边形，并用概念说明。辨析并应用概念，能从数学情境中发现几何对象，并能说出原因。

问题5：回顾研究平行四边形定义的学习过程，我们经历了什么？对你学习其他图形会有什么启发？

目标分析：重新梳理研究的历程，了解思考形成的过程，体会其合理性，并引导学生对自己的思考过程再思考，提升思维水平。

学生行为及分析：梳理研究的过程，用交谈的方式展现思考的过程，并从其他同学的谈话中获益，了解同一个问题的不同思考角度，获得思考提纯（对认知的认知）的经验。

数学对象的产生主要有两类，一是从现实世界中产生，二是从数学问题中产生。在小学阶段学习图形时，几何直观主要建立在以直观感受（触摸）、测量、剪拼等经验的基础上，属于直观思维层面，而在初中的学习中逐渐过渡到抽象思维层面。教师要引导学生经历发现数学对象—描述和形成概念—辨析概念的过程。

二、认识数学对象的性质

下面是学习平行四边形性质相关内容（平行四边形对边相等、对角相等）的不同教学设计方案。

方案一：根据定义画一个平行四边形，观察它除了“两组对边分别平行”外，其边之间还有什么关系？角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？为什么？上述的探究经历了怎样的过程？你有什么收获？你能设计更好的探究过程吗？为什么不探究边和角之间的关系或邻角之间的关系呢？

方案二：请度量给定的平行四边形纸片，边之间有什么数量关系？角之间有什么数量关系？根据你的度量，能得到怎样的猜想？请证明你的猜想。

方案三：用剪刀沿着平行四边形纸片的对角线剪开，得到两个三角形，动手操作，体会三角形与平行四边形的关系，你有什么发现？根据你的操作，能得到怎样的猜想？请证明你的猜想。

方案四：请借助等腰三角形的学习经验，探索平行四边形的性质。

比较四种方案我们会发现：方案一问题脉络清晰，展现了探究的全景，留给学生探究、思考和交流的空间较大，方便学生探索；引导学生归纳认识的过程及认识方法，并鼓励提出质疑。方案二、方案三细致指导学生的操作探究活动，问题准确，目标清晰，学生思考的空间显现得有些局促，细节突出，有宏观不够清晰的感觉。方案四鼓励学生在已有的探究图形性质经验的基础上，设计探究方案，开展探索；对学生要求高，学生独立完成的可能性较小，需要合作学习。针对不同的学情，教师可以设计不同的探究方案，可弹性处理，达到教学目的即可。

在证明过程中，学生可能会出现几种不同的思路：基于操作经验的直观（沿着对角线剪平行四边形纸片，连接对角线）；基于概念推理的直观（全等三角形能转移边、角，要出现全等三角形，则连接对角线）；基于概念推理+图形直观（我们曾把四边形转化为三角形，得到内角和为360°，尝试将四边形对边、对角相等问题转化为三角形的关系问题，故连接对角线）。回顾探究过程，学生会发现问题的起点都是平行四边形的概念，由此认识到平行四边形性质的数学学科本质是平行四边形的概念。在学生经历证明之后，教师可以引导学生寻找证明思路产生的原因，体会基于概念的几何直观对思路产生的影响。

三、运用数学对象

例题：如图2，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F。

求证： AE=CF。

数学对象分析：由条件可知，数学对象有?ABCD，由图形直观可得，数学对象还应该有四边形BEDF，△AED和△CFB。

数学对象元素及关系分析：在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB[?]CD，AD[?]BC；在四边形BEDF中，∠DEB=∠DFB=90°，DF[?]BE；在△AED与△CFB中，∠AED=∠CFB=90°。

数学对象之间的关系分析：（1）在?ABCD与四边形BEDF之间，有AE=AB-BE，CF=CD-DF；（2）在?ABCD与△AED，△CFB之间，AD，BC，∠A，∠C是共有元素； （3）观察可知△AED≌△CFB，AE与CF是对应边。

由此可产生下面的思路：

一是考虑到?ABCD与四边形BEDF的位置关系，由AE=AB-BE，CF=CD-DF，只要证明AE=CF，即证明四边形BEDF是平行四边形即可。

二是?ABCD与△AED，△CFB之间，AD，BC，∠A，∠C是共有元素，AE，CF是△AED和△CFB的边，只要证明△AED≌△CFB即可。

數学对象作为一个整体在复杂的数学问题中出现，其中包含的元素是若干数量关系和位置关系，数学对象的作用主要是传递关系，理解数学对象（基本图形）在问题中的地位和作用，会有助于学生找到解决问题的思路，厘清问题的本质。在解决问题时，教师应引导学生回答这样几个问题：问题中有哪些数学对象（基本图形）？每个对象中有哪些元素？它们之间有什么关系？数学对象之间有什么关系？

在图形的性质教学中，教师应该引领学生围绕体现整体性和结构性的学习主题，深刻经历几何直观的形成过程，不断反思、比较、总结，有目的、有意识地培养思考习惯，提升思考能力。

参考文献：

［1］孔凡哲，史宁中，赵欣怡.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的主要变化特色分析［J］.课程·教材·教法，2022 （10）.

［2］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三：几何直观［J］.中国数学教育，2022（23）.

（责任编辑：杨强）