一道2022年四川省预赛填空题的解法与推广

姜建海

(江苏省苏州大学附属中学 215006)

1 试题展示

问题1(2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛四川省预赛第6题)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+3c2=7,则△ABC面积的最大值为．

试题形式简洁,叙述简单,是三角形面积最大值问题．掌握数学就意味着善于解题,当我们看到一道题时,不仅要欣赏它,更应该研究它．只要它不是终极的,就有思考的空间和探究的价值．

2 解法探究

2.1 代数视角

评析海伦公式是一个常见结论,上述过程使用了两次放缩(a+b)2≤2(a2+b2),c2-(a-b)2≤c2．

评析解题的关键在于a2+b2用c2表示,从而将△ABC的面积S放缩为关于c的一元函数．

评析解法3、解法4利用均值不等式从不同方向把面积表示为一元函数．

2.2 三角视角

2.3 几何视角

图1

图2 图3

评析解法9、解法10与解法8基本相同,只是方法上的异同．

图4 图5

3 变式探究

3.1 系数变式

问题1的条件a2+b2+3c2=7中a,b具有对称性,a2,b2,c2系数各不相同又如何?

问题2△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+2b2+3c2=1,求△ABC面积的最大值．

3.2 二次变一次

问题3设△ABC的三边分别为a,b,c,若2a+7b+11c=120,求△ABC面积的最大值．

3.3 逆向变式

问题4△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为2,则a2+2b2+c2的最小值为．

4 推广探究

利用以上方法,可以把上述问题进一步推广到一般情形．

借助结论1,又可得到如下结论2:

结论2的证明留给有兴趣的读者思考．

张奠宙教授说:“变式练习是中国数学教育的一个创造”[1].基于变式练习的变式教学为学生 的思维发展提供了一个阶梯,用看似重复但不呆板的题型为学生建构完整、合理的新知,夯实 基础．