基于运动观点研究立体几何中的最值问题*

王小青

(江苏省如皋中学 226599)

立体几何的图形各式各样、千姿百态,人们认识空间图形、建构空间的有关概念和性质(比如空间的平行和垂直的概念、空间角和距离的概念、空间平行和垂直的判定及性质等等)的过程,就是一个动态的过程．在这动态过程中,点、线、面就是构成空间几何图形的基本元素．

1 对“运动观点”的阐述

1.1 空间立体图形在运动中形成

空间立体图形是由点、线、面构成的几何体．点动成线,线动成面,面动成体,面绕某直线旋转成旋转体．这就是说,通过点、线、面的运动变换,几何图形将从一维上升到二维再上升到三维．

立体图形的形成过程如图1所示．

图1 立体图形的形成过程

学生认识空间立体图形,经历了“运动—画图”“观察—想象”等思维过程,再通过这些基本图形建构复杂的空间几何体,对复杂几何体的认知,学生必须在积累基本活动经验的基础上发挥空间想象能力,理解如何通过基本图形的平移、旋转、叠加、裁剪等运动过程形成这些几何体.

1.2 空间位置关系在运动中探究

空间中点线面的位置关系的定义、判定定理及性质定理的探究过程就是用运动观点认识空间立体几何的过程．如空间的垂直关系,在教学过程中,引导学生认识两直线垂直时,可以从平面的两相交直线互相垂直入手,将其中一条直线进行平移,可以认识空间两异面直线互相垂直;将两相交直线中一条直线绕交点进行旋转,可以认识空间直线与平面垂直;再将另一条直线进行平移(旋转),可以认识空间两平面互相垂直.在平移和旋转的过程中,可以探寻空间垂直关系的定义、判定定理、性质定理,并且通过运动过程中的特殊位置理解垂直关系的内涵与外延．

学生通过空间图形的运动变化过程想象图形的性质,积累感性认知与经验,从运动变化的角度去探索、发现、交流、表达空间的位置关系.

1.3 空间度量关系在运动中建构

空间的角、距离等度量关系的建构对学生来说是一个难点,要善于从运动的观点探寻这些度量关系．如对两异面直线的研究,我们可以引导学生将其中一条直线进行旋转,直观感知需要用“角度”来刻画其关系,再将这条直线进行平移,可以发现一是平移过程中直接感觉“角度”没有发生变化,二是需要用“距离”刻画其关系．那么如何刻画两异面直线的角与距离呢?在直观演示的过程中,引导学生在探究直线平移中选择已有的认知“平面角”、刻画“空间角”,类比已有的两平行直线的距离的概念建构异面直线的距离．对空间直线和平面所成的角、二面角等的建构,同样可以将直线(半平面)进行旋转,让学生感知运动影响下的空间角如何转化为平面角来刻画．

学生通过自己动手操作,从对度量关系变化的直观感觉上升为对图形运动变化的理性认知,提升几何直观能力,发展空间观念.

2 基于运动观点研究立体几何中的最值问题

空间图形中,由于空间的点线面等元素平移和旋转的变化影响了空间的角、距离、几何体的表面积、体积等度量关系的变化,从而产生了立体几何中的一类有关最值的问题．

空间几何体是由立体几何的基本元素在运动中形成的,运动的过程中,渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,这样给静态的立体几何赋予了活力,研究立体几何的问题更趋灵活．通过探究空间点线面的运动过程,从运动的观点入手,从运动的元素、运动的方向、运动过程中的特殊位置等切入,探寻运动过程中的平移、旋转等方式如何影响目标的最值．因此,用运动的观点研究立体几何最值问题,有利于培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力．

2.1 “动点”平移形成的最值问题

例1如图2,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

图2

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

分析探求 本题图形中没有直接标出平面PAD与平面PBC的交线,所以首先要确定这两个平面的交线l．从运动的角度思考,发现平面PAD与平面PBC分别是由正方形的边AD,BC沿DP,CP方向平移到点P,所以两平面的交线l与AD,BC平行,如图3．

图3 图4

第(2)题是求动态过程的最值问题,那么直线PB与平面QCD所成角的正弦值为什么会有最值?观察图形可知直线PB的位置是确定的,平面QCD所过的直线CD是确定的,直线l上的动点Q影响了平面QCD的位置,进而影响了直线PB和平面QCD所成的角．由于PB的位置和长度是确定的,可以借助建立空间直角坐标系,用点的坐标来刻画运动的点,建立PB与平面QCD所成角的正弦值的目标函数求解(图4)．

另外,我们看到PB与CD的位置关系是确定的．由于点Q的变化,PB在平面QCD上的射影m也在变化,从而射影m与CD所成的角在变化．设直线PB与动平面QCD所成的角为θ,其中直线PB在平面QCD内的射影m与CD所成的角为θ2,联想到三角余弦结论cosθ1=cosθcosθ2,直线PB和CD所成的角θ1为定值,而当点Q在直线l上运动时,存在一个位置使直线PB在平面QCD内的射影与CD平行,即θ2=0,此时Q(1,0,1),PB与平面QCD所成角的正弦值取最大值．

从运动的角度,可以进一步探究二面角B-CD-Q的取值范围,三棱锥B-DCQ的体积(定值);是否存在点Q,使得PB∥平面QCD等一系列问题,体会运动的点如何影响目标的最值．

构成立体几何的基本元素点在立体图形中的“动”,将会影响其图形中的线面位置关系以及角、距离、面积、体积等数量关系的大小和取值范围等.当点在直线或平面上运动时,动点的位置影响了所求目标中的直线和平面的位置,由此也就提出了动态中的距离和角度数量关系的最值问题．

解决这类问题的一般方法有两类,一是空间向量法,建立空间直角坐标系,用动点的坐标来刻画动点的位置,把动态问题转化为代数问题,然后用代数的方法求目标函数的最值;二是传统的几何法,利用图形的几何性质,将空间问题平面化,把三维空间问题降为二维平面问题来研究,以平面几何中的公理、定义和定理为依据,直接推理求得最值．

2.2 “动平面”旋转形成的最值问题

(1)若点M,N分别为棱AD,BC的中点,F为棱AB上异于A,B的动点,则△FMN周长的最小值为;

分析探求 第(1)题由图5可知,点M,N分别为棱AD,BC的中点,F为棱AB上异于A,B的动点,则△FMN中线段MN的长为定值,动线段MF,NF分别在平面ABD和平面ABC中,而随着两平面的旋转变化过程,线段MF,NF没有发生改变,故可以将两平面旋转至同一平面中,即可将平面ABD翻折至面ABC所在的平面上,问题转化为平面中线段之和的最小值问题．

图5

对于第(2)题,可以确定正四面体的外接球球心O和半径.过点E作四面体A-BCD外接球的截面,则截面是一个圆,在截面圆旋转的过程中,要使得截面圆面积最小,由R2=d2+r2知截面圆的半径最小,即球心到截面圆的距离最大.而截面过定点E,旋转过程中距离最大值即为球心O到E的距离,此时截面过E且与OE垂直,从而得出面积的最小值．

动截面的形成,是由点、线、面的变化引起的,当动平面过某条定直线时,可以将平面绕着定直线进行旋转,通过旋转过程中的变化探寻目标的最值,当动平面过某个定点时,可以将平面绕空间定点旋转,利用面面平行的性质定理,确定动截面,然后判断截面是怎样的基本图形．由此,可以从动截面的基本平面图形特征来研究其中的有关问题．

2.3 “动轨迹”形成中的最值问题

例3(多选题)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,则( ).

分析探求1 从形切入.对于选项A,点P在线段AC上运动,那么直线D1P运动形成平面ACD1,问题转化为求正△ACD1中直线D1P与AC所成角的取值范围,将空间角转化为平面角的最值问题.对于选项B,点P满足AP⊥B1C时,则直线AP运动形成的平面即为过点A与直线B1C垂直的平面ABC1D1,又因为P在正方体的表面上,故点P的轨迹为折线段ABC1D1A,则目标线段长的最大值即为线段AC1的长.对于选项C,根据线面角的定义可得A1P=1,又点P在平面A1B1C1D1上,故点P的轨迹为以A1为圆心、1为半径的四分之一圆,根据圆的几何性质即可得线段C1P长度的最小值.对于选项D,点P在平面ABCD上运动,且满足PF∥平面B1CD1时,则点P的轨迹为过F且与平面B1CD1平行的平面与正方体表面的交线,由正方体可作出相应的正六边形截面,从而得PF长度的最小值．本题的正确选项为BC.

分析探求2 从数切入.建立空间坐标系,设出动点P的坐标,利用已知条件探寻动点坐标满足的代数关系式,再利用动点坐标表示目标线段长和所成角,转化为函数求最值．相比分析探求1,运算量大,所以从图形直观探寻动点的轨迹更优．

立体几何中,某些点、线、面依一定的规则运动,将会形成各式各样的轨迹,探求空间中的轨迹与探求平面上的轨迹类似．解决这类问题,可综合采用几何法和代数法处理．采用几何法时,必须抓住几何不变量,利用线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系,以及空间角、距离等度量关系,探寻特定情况下的动点的轨迹,要熟悉一些常见曲线生成过程,熟悉常见截面曲线的类型;使用代数法时,可以建立适当的坐标系,选取适当的自变量及目标函数,利用有关性质,通过代数运算求得问题解决．

2.4 “动模型”形成的最值问题

例4如图6,在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别为边AB,CD的中点,将△ADF沿AF所在的直线进行旋转,将△BCE沿CE所在的直线进行旋转,在旋转的过程中,下列说法正确的是( ).

图6

A.无论旋转到什么位置,B,D都不可能重合

B.存在某个位置,使得直线DF和直线BE所成的角为60°

C.存在某个位置,使得直线DF和直线BE所成的角为90°

D.存在某个位置,使得直线AD和直线BC所成的角为90°

分析探求 本题是研究平面图形的旋转问题,那么动平面在旋转过程中如何影响动点和动直线的位置?事实上,依据圆柱、圆锥的定义知,直角三角形绕直角边旋转一周,另一条直角边和斜边形成圆锥的底面圆面和圆锥的侧面．要将平面图形的旋转转化为空间的点、线、直角三角形和直角梯形的旋转模型来求解．如图7,在旋转过程中,AF是以F为顶点、AM为底面半径的圆锥曲线的母线.同理,AB,EC,DC边可看作圆锥的母线．即将问题转化为两圆锥中动点和圆锥母线间的位置关系,将动直线所成的角转化为圆锥的轴截面的顶角大小．很多时候,若运动方式为旋转,要善于根据题设条件建构圆柱、圆锥、圆台和球模型．

图7

拓展延伸a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,下列结论中正确的有.

①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°．

图8

若着眼于斜边AB以AC为旋转轴旋转,可以建构圆锥模型．由题意,AB是圆锥的母线,如图9,由AC⊥a,AC⊥b,AC⊥圆锥底面,平移直线a,b,可分别作出直线AB与直线a,b所成的角,通过三角形的正弦定理、余弦定理和三角余弦公式等结论求解．

图9

平面图形的翻折、立体图形的展开、平面绕某直线的旋转,都会使几何模型发生变化,由此动点、动直线的位置也会发生变化．利用模型的变化解决立体几何问题时,要熟悉平移、翻折和旋转的规律及性质,要注意变化前后线线、线面、面面位置关系的变化,要寻求相关元素之间的相对关系和数量关系的变化;要善于在图形运动和变化的过程中发现不变的几何量或几何关系,要联系基本图形的特征,这样可以使问题得到解决,更能感受知识点之间的联系,提高解题能力．同样,善于建构相关的空间模型,也可以帮助解决动态位置关系的问题.比如,可以根据题设条件中的垂直关系构造长方体模型;又如可以根据旋转方式构造某旋转体模型．

3 结语

用运动观点研究立体几何问题时,必须狠抓其本源,了解基本元素的本质与内涵,熟悉基本图形的特征,掌握数学中的基本概念和性质;用运动观点研究立体几何问题的过程,实质是数学建模的过程,是创新的过程;解决这类问题,夯实基础是关键,运用数学思想是策略,富有空间想象能力是保证;在“动”中研究立体几何的经历,可以帮助学生不断进行空间想象内功的修炼,不断积累知识与技巧,不断提高解决立体几何问题的能力．