指向高阶思维的一类概率背景递推数列问题研究——从2023年新高考Ⅰ卷第21题谈起*

张长贵

(江苏省无锡市辅仁高级中学 214123)

谢广喜

(江南大学理学院 214122)

1 问题提出

数学是思维的科学,“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”[1]1．培养学生的数学思维也成为数学教育研究的重要目标．高阶思维最初是在美国教育学家布卢姆(B.S.Bloom)的教育目标分类学的基础上发展起来的．随着新时代国家对人才培养质量的新要求,传统的用于学习事实性知识或完成简单任务的思维能力,在布卢姆教学目标分类中表现为较低水平的能力,如记忆力、浅表层次的理解力和近迁移的应用能力等,已经不能够适应对人的思维能力的要求．

所谓高阶思维,是指解决劣构问题的能力、远迁移能力和发散性思维能力[2]．而问题、任务则是促进学习者高阶思维能力的核心[3]．因此在教学中,教师要对高阶思维的特点有一定认识,需要为学生提供合适的问题,给学习者创设真实的、有挑战性的复杂任务,以便促进学习者有效发展高阶思维．

2 试题分析

2.1 以复杂情境为背景,考查问题解决能力

问题求解是一种包括回忆和组合相关规则以形成某种新的、更为复杂的规则的智力技能[2]．高考数学试题重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识,问题情境的设计应自然、合理[1]88．2023年新高考Ⅰ卷第21题是一道基于概率背景的递推数列综合问题.此类问题的深层次思考可以联系到高等数学中“随机过程”的马尔科夫链,而实际上问题突破的关键是全概率公式的运用.下面我们简要分析一下这道试题,并介绍与之密切相关的问题.通过分析可以发现,其实这道高考压轴试题来源于教材例题和习题的组合及改造.所以高三教师在深入研读高中数学教材(最好能将苏教版与人教版结合起来研读)的基础上,应为学生创设更复杂的新情境,避免试题指向简单回顾、再现形式所反映的思维,要让学生在问题解决的实践中形成认知策略,发展高阶思维能力,这是应考的必要捷径与方略．

试题(2023年新高考Ⅰ卷第21题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)求第2次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

解析 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,所以有P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+ 0.5×0.8=0.6．

类题联想1(人教A版选择性必修第三册第91页第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求n次传球后球在甲手中的概率．

2.2 注重交叉学科知识,实现远迁移能力

学生高阶思维的表现的主要特征包含“应用整合多方信息、观点或知识”“进行评判和调整”[5]．华东师范大学钟启泉教授也指出:“发展高阶思维,要以高阶学习活动予以支持．要以学习者为中心,要开展问题求解的学习活动……同时还应该注重交叉学科知识的学习．”[6]相对复杂的认知情境“既需要学生综合多学科知识来理解,也需要学生深入分析把握情境要素,还需要学生能够对情境信息去伪存真、分辨是非,以此来锻炼学生的复杂思维能力”[7]．因此具有交叉学科综合背景的试题应成为高阶思维发生的重要场域,以此实现学习能力向表面特征、结构特征不相似情境的远迁移．

类题联想2(2023年浙江省杭州市高三模拟试题)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为:假设我们的序列状态是…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1,…,那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt,即P(Xt+1|…,Xt-2,Xt-1,Xt)=P(Xt+1|Xt)．

现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型:假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A(A∈N*,A

图1

当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)时,最终输光的概率为P(n),请回答下列问题:

(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值;

(2)证明{P(n)}是一个等差数列,并写出公差d;

(3)当A=100时,分别计算B=200,B= 1 000时,P(A)的数值,并结合实际,解释当B→∞时,P(A)的统计含义．

解析 (1)当n=0时,赌徒已经输光了,因此P(0)=1.当n=B时,到了终止赌博的条件,不再赌了,因此输光的概率P(B)=0．

2.3 以经典模型为问题,培养发散思维能力

美国心理学家吉尔福特指出,训练人的发散思维是培养创造力的一种方法．而决策、创造性思维则是高阶思维能力的重要构成．美国学者瑞尼克认为:“高阶认知是一种复杂的、不规则的、能自我调节,产生多种解决方法的认知.”[8]这也说明了需要设置以发散的思维活动来揭示客观事物本质及内在联系的思维问题．比如选取概率中经典的复杂模型问题,让学生调用复杂思维(包含数学中的抽象、推理论证和数学建模)去参与问题解决,获得自己对问题多方法、多角度的思考、理解和解释,培养发散思维,从而产生创造性思维．

类题联想3(2020年江苏卷附加题改动)摸球模型是研究概率论问题的一种基本模型方法,现在甲口袋中装有2个黑球和3个白球,乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn．

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)试求数列{2pn+qn}的通项以及Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．

解析 本题的难点在于每一次操作后甲乙系统所处的状态的概率(pn,qn)依赖于前一次状态的概率(pn-1,qn-1),然而系统前一次的状态又有多种可能,所以需要我们以系统前一次状态概率(pn-1,qn-1)为基准,建立其与系统当前状态的概率(pn,qn)之间的转移递推关系.注意到甲、乙两个口袋中一共仅有2个黑球,故一般情况下黑球所在位置有三种可能(对应系统的三种可能状态,因为黑球给定,白球自动确定,下面不再强调白球的数目):①甲袋里有2个黑球;②甲、乙两个口袋里各有1个黑球;③乙袋里有2个黑球.具体研究如下:

(1)(这一步算是送分题,但也不是十分容易,尤其是求p2和q2这一步)

(ii)求(p2,q2),此时必须注意到,一般情形下,甲乙系统在每一次操作后都有三种可能的状态(这一点非常重要,因为它为下一步问题的求解奠定必要的思想基础).为了理解方便,我们形象地表示如下(必须指出:仅n=1时,才有pn+qn=1;当n≥2时,pn+qn<1):

第1次操作后甲乙口袋状态分布及相应概率甲口袋中球的情况乙口袋中球的情况p1=35●●○○○○○○○○q1=25●○○○○●○○○○

(2)当n≥2时,由题意可记第n次操作后状态分布及相应的概率如下表:

第n次操作后甲乙口袋状态分布及相应概率甲口袋中黑白球的情况乙口袋中黑白球的情况pn●●○○○○○○○○qn●○○○○●○○○○1-pn-qn○○○○○●●○○○

根据此表,结合(pn+1,qn+1)的具体含义,容易得到

评注本题以概率论中经典的波利亚(摸球)模型为载体,涉及了数学期望等基本的统计概念,具体考查了考生使用简单的数列知识解决问题的能力．基于随机变量的一段时间上的多个事件整体上形成随机过程,这道题本质上是一道随机过程背景问题.这类当前状态的概率仅与上一次状态的具体概率有关而与之前其他状态的概率无关的随机过程情形称为马尔科夫过程.它是随机过程问题中的一种最重要的情形．在解决问题过程中,学生需要能够发现思维发散的点:特殊的部分(p1,q1和p2,q2)与一般的整体(pn,qn)和(pn+1,qn+1)的关联、分析(图表法)与综合(递推关系)、逻辑演绎等,提升发现问题的能力、解决难题的能力,不断发展创新思维能力．

3 结语

高阶思维能力是可以培养的,“核心素养、高阶思维的培养必须以数学知识内容为载体,在教学中我们要深刻理解教学内容,挖掘其中蕴含的高阶思维培育素材”．[9]因此比较有效的方法是将内容、问题、教学进行整合,让学生投入到需要运用高阶思维的高阶学习中．教学中可以以一类问题的研究为主题,设置复杂的真实情境,引发学生分析、评价、创造的认知思维过程,通过问题解决外显学生的思维;通过解决跨知识领域的真实问题,训练学生从知识、经验的近迁移过渡到方法、思维的远迁移;还需通过对一些经典复杂问题的分析和解决,培养学生的发散性思维．