立足背景 积极联想 审慎构思 适度融合——对两道解三角形试题命制过程的思考*

杨元韡

(江苏省常州高级中学 213003)

数学检测是评价数学教学和数学学习质量的重要方式,数学检测离不开具有较高信度、效度和区分度的高质量的试题．因此,试题命制是日常数学教学的重要部分,同时也是教师重要的基本功之一．试题命制是一项创造性的劳动,往往需要经历发现、联想、探究、构思等一系列复杂过程．试题命制主要有基于母题的改编式命制与原创命制两种类型,相对而言,基于母题的改编式命制更为容易些,值得一线教师去尝试．通过试题的改编式命制,教师往往更能高屋建瓴地看待数学问题,更能从复杂的问题中析出深刻的背景,因此试题命制是提升教师专业素养很好的途径．下文笔者将结合2022—2023学年第二学期常州市教育学会学业水平检测高一数学卷的两道解三角形试题的命制过程,谈一谈自己的思考．

1 第1道解三角形试题的命制过程

母题1 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=c-2acosB．

(1)证明:B=2A;

母题2 (多选)在△ABC中,若a∶b∶c=4∶ 5∶6,下列结论中正确的有( ).

A．sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6

B．△ABC是钝角三角形

C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍

背景挖掘 母题1的第(1)问由条件a=c-2acosB证明B=2A,第(2)问又给出其他两个边的条件,求三角形面积,母题1是一道比较常规的解三角形问题．母题1给出了B=2A的一个充分条件a=c-2acosB．母题2的各选项维度不一,但是引起笔者兴趣的是选项C(为正确选项)．据此,确定命题背景:边长之比为4∶5∶6的三角形的最大内角是最小内角的2倍．

确定命题背景之后,展开联想,从不同的角度进行尝试,设定已知条件与问题．

联想与构思1 以边的关系为已知条件,以角的关系为问题,拟定下列试题1．

试题1已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足下列条件中的一个:① sinA∶sinB∶sinC=4∶6∶5;②a=c-2acosB．

若选择条件(在条件①,②中选择一个),求证:B=2A．

联想与构思2 以角的关系和部分边的关系为已知条件,以求角或求边为问题,拟定下列试题2．

试题2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2A,3a=2b,c=5．

(1)求cosB的值;

(2)求△ABC的周长．

试题1,2评析试题1从两个条件中选择一个条件(条件的结构不良),虽然维度不同,但试题本身略显单薄;试题2主要的缺点在于,若将B=2A转化为sinB=sin 2A,就会出现两解的情况(两者不等价造成的),要进行舍解(过程参见下面定稿试题(1)解析),最后求出周长．试题2就成为一道有“陷阱”的题目,学生很可能因为思维缜密性不够而丢分．笔者对试题1,2都不满意．

联想与构思3 结合母题2命制了第(1)小问后,笔者将试题2的(2)仍作为第(2)问．如何消除试题2中的“陷阱”?可让学生先证明三角形的唯一性,再去求其周长,使学生明确取舍这一要求.据此命制如下定稿试题1,该题不设“陷阱”,还能从多个角度加以解决,不禁锢学生的思维．

定稿试题1(试卷第21题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足下列条件中的一个或多个:①a=c-2acosB;②B=2A;③ 3a=2b;④c=5．

(1)若△ABC满足条件①,求证:△ABC满足条件②;

(2)求证:同时满足条件②,③,④的△ABC是唯一的,并求出其周长．

解析 (1)由条件①,a=c-2acosB,根据正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB,因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB,所以sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)．因为0

综上所述,同时满足条件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周长为15．

当b=6时,a=4,检验过程同方法1,得△ABC同时满足条件②,③,④;

综上所述,同时满足条件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周长为15．

(方法3)先证明条件①与②等价:根据(1)知,只需证明当B=2A时,有a=c-2acosB．

证明如下:因为B=2A,所以A=B-A,所以sinA=sin(B-A),所以sinA=sinBcosA- cosBsinA,所以sinA=sin(A+B)-2cosBsinA,又A+B+C=π,所以sinA=sinC-2cosBsinA,根据正弦定理,a=c-2acosB.

综上所述,同时满足条件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周长为15．

评析定稿试题1从内容层面考查了正弦定理、余弦定理等数学基本知识,从能力层面考查了转化与化归、推理与论证、数学计算等能力．本题入口较宽,方法多样,可以从两角相等出发,利用两角的正弦值相等或两角的余弦值相等去寻找边的方程,有效地训练学生的数学思维能力.方法1、方法2中,利用正弦值相等出现多解的原因是B=2A与sinB=sin 2A并不等价,前者是后者的充分不必要条件,检验时舍去的情形恰是B+2A=π的情形;方法3中,根据第(1)问的启发进行有效的转化;方法4中,利用余弦值相等只有一解的原因是B=2A与cosB=cos 2A是等价的,其难点主要是解高次方程,可以用猜根的方式求得一解后再用因式分解来突破．

2 第2道解三角形试题的命制过程

图1

(1)若∠BDC=45°,求线段AC的长;

(2)求线段AC长的最大值．

联想与构思1 确定了命题背景之后,展开联想,改编条件,拟定下列试题3．

图2

(2)试用θ表示对角线AC的长,并指出θ取何值时AC的长最大．

在一次组内教研活动中,一位同事问道:在一个解三角形问题求解结果中,如果出现平面凹四边形的情况要不要舍去?笔者一时难以回答,平面四边形的确分为平面凸四边形和平面凹四边形,而高中阶段学生往往遇到的是平面凸四边形．

联想与构思2 同事问的问题触发笔者的灵感,将试题3进一步改编．以平面凸四边形为背景,编拟如下的新情境题．

图3 图4 图5

(1)求cosθ的取值范围;

(2)试用θ表示对角线AC的长,并指出θ取何值时AC的长最大．

3 对两道试题命制过程的思考

3.1 立足背景,使试题命制的根基更扎实

在命题之前选好背景,使命制的试题题干中的对象至少是存在且相容的．有些时候,我们按照某种演绎推理的方式去解决某个问题时,也能得到相应的结果,但很可能其大前提的条件之间就是自相矛盾的．如果事先选好背景,就可以避免出现这类不易被察觉的自相矛盾的情形．值得注意的是,选好背景之后还要仔细推敲,防止出现背景相对应的情形之外还有其他情形,如果需要规避其他情形的出现,命题时可加一些条件加以限制;如果不需要规避其他情形的出现,则无需限制．例如,定稿试题1本身不会出现背景外的情形,因此也没有给出额外的限制条件,但是方法1和2因为转化的不等价还是出现了其他情形,需要进一步检验排除．

3.2 积极联想,使试题命制的维度更广阔

根据背景积极联想,应尽可能多地进行条件预设和问题预设,比较每一种预设的优点与不足,选择最佳的条件预设与问题预设,当然这些最佳的预设也未必是唯一的．条件与问题很多情况下是可以置换的,如交换部分条件与问题的位置就可以得到新的问题,这种置换常见于教学中变式题组的问题设计,也可以用于试题的命制．通过积极联想,可以把一个题目通过不断的变形,如置换部分条件与问题,如弱化条件、变形引申、问题一般化等,生成一个个生动活泼的“衍生题”,让试题命制的维度更为广阔．

3.3 审慎构思,使试题命制的预设更合理

审慎构思,就是要对命制的试题的每一个条件与结论进行构思,并进行细致入微的审核,避免出现多余条件或缺少条件的情况发生,还要“仿真模拟”学生的想法,即要对学生审题的过程、设计解题思路的过程、具体的表达过程等环节做好预判,思考学生如何寻找切入点,如何转化条件,如何转换目标等．同时也要注意,避免出现人为的“陷阱”题,让试题更加有效地测试学生的核心素养与关键能力．例如,定稿试题1的唯一性证明目的在于规避这种“陷阱”的发生．

3.4 适度融合,使试题命制的内涵更丰实

适度融合,包含知识之间的适度融合、方法之间的适度融合、情境与问题之间的适度融合,等等,这样可以使命题的内涵更加丰实．例如知识之间的适度融合、方法之间的适度融合可以让一题有多用,考查多个知识点或多种方法、情境与问题之间的适度融合可以考查学生提取信息、加工信息、处理信息的能力以及转化与化归的能力．定稿试题1将母题1和母题2的考查有机地融合在一起,定稿试题2将新情境植入具体问题中,对转化与化归能力的考查更加“浓墨重彩”．值得注意的是,适度融合必须在条件与问题的表达上仔细推敲,避免出现题目生拼硬凑的现象．