素养立意 技术赋能 变式探究——一道中考压轴题的命制与思考*

丁银杰

(江苏省苏州市草桥中学校 215031)

1 试题赏析

1.1 试题呈现

2022年江苏省苏州市初中数学学业水平考试第27题(以下简称本题):

(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E．

图2

1.2 试题评析

本题基于纯数学情境,以三角形为载体设计,是一道典型的变式探究试题,难度较大．本题知识层面考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等,素养层面考查几何直观、推理能力等．解题时需要学生运用图形变换的观念建立问题(1)(2)之间的联系,基于问题(1)的经验,利用相似、等腰三角形将面积之间的数量关系转化为线段之比,从而根据余弦定义解决问题．

1.3 试题略解

图3

2 试题研制

2.1 素养立意,多维预设

“凡事预则立,不预则废”,中考命题更是如此．为保障试卷质量(效度、信度及区分度),命题中通常使用“多维细目表”技术,在研制试题前先确定试题的题型、题量和各小题分值及其比例,再预设各小题的知识点(具体到知识领域中的专题)、能力要求、素养指向、情境类型和预估难度、预估得分等属性．

本题为整份试卷的压轴题,命题组确定以“图形与几何”领域中的核心知识“三角形(等腰三角形、相似三角形、三角函数等)”为知识载体,立意几何直观与推理能力核心素养,基于纯数学的问题情境,关联梯度设问．本题在多维细目表中预设的各项属性如表1所示.

表1 多维细目表

2.2 素材甄选,模型构建

数学中,基本图形是直观的思维“模块”,赋予特定条件,可以展开推理,获得更多结论．基于本题的素养立意,围绕三角形载体,命题组基于基础性原则甄选了两个学生熟悉的基本图形:“平分平行”模型(图4)和“倍角平分”模型(图5)．

图4 图5

图4“平分平行”模型中,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E,经过简单推理不难得到CE=DE(△CDE为等腰三角形),△BDE∽△BAC等结论．图5“倍角平分”模型中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,经过简单推理不难得到CD=BD(△BCD为等腰三角形),△ACD∽△ABC等结论．

基于发展性原则,命题组将图4、图5中的两个模型进行了“叠加”,构建了“倍角平分平行”模型．如图6所示,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E．

图6

为保障试题的科学性,提升试题质量,命题组还利用动态数学软件构建了技术校验模型(图7)．作图步骤如下:①作射线BD,以D为圆心,BD为半径作⊙D,在⊙D上取点C,连接CB,CD;②作点B关于CD的对称点B′,作射线CB′,交射线BD于点A,过点D作AC的平行线,交BC于点E．显然,这一模型满足整合模型的所有条件,能满足命题过程中的实时校验需求．

图7

2.3 由线到面,关联设问

根据本题在多维细目表中预设的各项属性,命题组着手围绕整合模型中线段之间的比例关系和三个小三角形面积之间的数量关系研制试题．经过多轮打磨,思路从模糊走向清晰,设问从跳跃走向关联,探究从封闭走向开放．

初稿如图8,△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E．

图8

(1)求证:CE=DE.

(2)若∠ACB=2∠B．

①如果CE=4,BD=6,求AC的长;

交流与反思 命题组先基于整合模型的直观,运用逻辑推理进行设问与条件赋值,再利用技术校验模型对试题中的数量关系和图形的位置关系等进行全域校验,确保数据的存在性(有解),保障试题的科学性．

对于初稿,命题组认为两个模型的整合度不高,知识面狭窄,呈现方式单调,总体难度达不到压轴题的水准．第(1)题基于“人文关怀”,立足“平分平行”模型设计,第(2)题叠加“倍角平分”模型,将问题引向“相似”,①求线段,②引入变量k,通过面积关系求k的值,但①题、②题之间的思维跨度较大,关联性不够．

二稿如图9,△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E．

图9

(1)求证:CE=DE;

(2)若∠ACB=2∠B,CE=1．

交流与反思 二稿相比初稿有两点显著变化.一是增强了综合性,拉长了思维,将问题最终引向三角函数;二是在第(2)题中通过引入单位长度(CE=1),试图诱导学生自觉引入变量(线段长或线段比)分析解决该问．但试题呈现仍然比较单调,问题之间的关联度不够．

三稿在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D．

(1)如图10,作DE∥BC,交AC于点E．

图10 图11

交流与反思 三稿相比二稿主要有三点改进.一是以“倍角平分”模型为主线;二是舍弃了初稿、二稿中过于浅显的问题(1);三是将问题重新优化设计,由“线”到“面”,增强了问题之间的层次性与关联性:第(1)①题较为基础,围绕整合模型,利用“等腰三角形和相似三角形”求线段长,第(1)②题利用“平行线分线段成比例和相似三角形判定与性质”和“转化与化归”研究线段比之差问题,为第(2)题中的面积比转化成线段比做好思想和方法铺垫．但问题(1)(2)的图形不统一,平行条件分开添加,可能对学生的思考形成一定的障碍．

2.4 自内而外,变式探究

在技术校验模型中,拖动点C,点A的位置会随之变化,当模型中∠B≥60°时,点A不存在．于是命题组对技术校验模型进行了升级,将原模型中的射线BD、射线CB′、线段BC均改为直线．这样拖动点C时,只要CB′与BD不平行,点A始终存在,且模型中的数量和位置的本质关系保持不变,这为命题提供了新的思路．

终稿如前文,相比三稿,在设问总体保持不变的前提下,对两个模型进一步整合,实现合而为一,并且抓住问题的本质,使大一统的模型走向“开放”.由三角形的内角两倍关系推向外角两倍关系,丰富试题呈现方式,增强试题探究性,引导学生自觉将解决问题(1)获得的“经验”“方法”“思想”迁移应用到问题(2)中,感受模型和思想的统一性．

3 关于命题的几点思考

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)制定了学业质量标准,明确其是学业水平考试命题及评价的依据,强调“以结构化数学知识主题为载体”,基于“学生熟悉的生活与社会情境,以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境”,通过“学生经历数学的学习运用、实践探索活动”评估学生核心素养达成及发展情况[1]80-81．依据这一理念,开展结构化、探究性命题研究,对指导教学和做好教学评价具有重要的意义．

3.1 素养立意,依标命题,落实立德树人

中考要“坚持素养立意,凸显育人导向”“遵循课标要求,严格依标命题”,实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[1]91．从双向细目表到多维细目表的转变就是素养导向的要求与体现．中考命题要由过于关注知识考查,转向以结构化知识为载体,突出对能力和素养的考查,还要渗透数学文化,关注社会热点等,落实立德树人根本任务．

3.2 技术赋能,校验求真,确保科学规范

基于信息技术的命题已然成为常态.技术赋能命题要果断摒弃“用技术拖出难题”“用技术设置陷阱”的行为．中考命题“以人(命题组)为本”,技术赋能命题的价值在于弥补“人”的不足,确保试题科学规范．技术赋能命题重点为全域校验去伪求真,动态演示拓展思路,依据数据精准绘图等．当然,通过技术演示,预知学生可能的难点和盲点,再通过阶梯设问分散难点,制约条件避开“陷阱”也是技术赋能的一种表现．

3.3 关联设问,开放探究,提升试题品质

命题不以“堆砌”为研制手段,不以“唯难”为质量标准,不以“为难”为价值追求．命题的价值在于通过合理的关联设问诊断学情,发展学生．中考压轴题要基于学业水平考试的升学和选拔功能,因应《课标2022》“适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例”[1]91要求,以知识(模型)为载体、思想方法为主线进行结构化设计,努力提升试题品质．设问力求递进、关联、开放、探究,适宜(区分)不同学生群体,利于学生在问题解决中获得思维与活动经验,体现各项素养发展水平．

素养立意的命题研究贵在行动.教师应以《课标2022》理念要求为指导,加强中考试题学习与研究,分析试题素养表现,并立足日常教学,开展素养立意的命题实践,分析素养达成水平,从而提升自身命题研究能力．