高中生数学建模能力水平的调查研究——以苏州市XH中学高二年级学生为例*

陈子怡

(江苏省南京市江北新区浦口外国语学校 210031)

唐 秦

(江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称“课标”)将数学建模列入六大核心素养,并将“数学建模活动与数学探究活动”作为课程内容的四条主线之一,数学建模在高中数学学习中占有举足轻重的地位．为落实新课程标准理念,提升学生的数学核心素养,作为江苏省教育科学“十三五”规划课题“高中生数学建模能力的培养与评价研究”的实践基地,苏州市XH中学进一步加强了数学建模教学及评价研究,本文描述了数学建模能力评价框架的构建,以及对高中生数学建模能力水平的评价过程．

1 评价指标与水平划分

1.1 评价框架的构建

由于建模步骤间的依赖性,过程导向型的评价方式很难测试出学生在各建模子能力上的实际表现．因此,课题组采用目标导向型评价,基于喻平的数学核心素养评价框架理论[1],在杨静所构建的建模能力三维框架[2]基础上,完善相应评价指标,从内容、结构、水平三个维度,构建了高中生数学建模能力水平的评价框架(图1),并给出了各水平层次的行为表现(表1)．

表1 高中生数学建模能力各水平层次的行为表现

图1 高中生数学建模能力水平的评价框架

1.2 测试卷的编制

基于上述评价框架,课题组编制了数学建模能力测试卷．全卷共6题,前五道题采用“子任务”的呈现形式,将建模过程片段化,截取单独的建模子过程来评估学生的某一建模子能力;最后一题是一个完整的建模任务,并借鉴美国数学及其应用联盟(The Consortium for Mathematics and Its Applications,即COMAP)建模手册[3]中的做法,设置问题串引导学生经历建模的全过程．

测试题取材于国内外的相关研究[4-8],其情境均来自生活实际,并保证所运用的数学学科知识在学生已学过的范畴内．每一水平基本都设置了两道测试题与之对应,以减少由学生对情境的熟悉程度、知识内容的掌握程度带来的干扰．各道测试题所对应的具体评价维度等见表2．

1.3 水平的划分与编码

为便于编码,每一水平所对应的题目共赋值10分,全卷共计90分．接着根据各题的得分,划分学生的建模子能力水平．同一水平对应的试题得分取最高分,达到该题分值的80%则判定其子能力达到该水平,逐级判定,最终确定其三个建模子能力的水平层次．

2 高中生数学建模能力水平的调查研究

2.1 研究问题

(1)高中生的整体数学建模能力水平如何?(2)高中生的数学建模水平与数学学业成绩之间是否呈正相关?(3)短期建模教学对学生的数学建模能力有何影响?

2.2 调查对象及实施

研究对象为苏州市XH中学高二年级的335名学生,其中参加过数学建模课程的有62人．测试工具为课题组编制的数学建模能力测试卷,测试时间为45分钟．

2.3 研究结果及分析

(1)学生数学建模能力的整体水平

335名学生测试得分的平均值为32.50,标准差为14.35．这表明学生的数学建模能力平均水平较低,且个体间的建模能力差异较大．

在各建模子能力的表现上(图2),学生的模型简化与构建能力平均在水平1至2之间,即“再现”与“联系”水平之间;大多数学生处于水平2“联系水平”,能在较复杂的情境中迁移或重组标准数学模型．然而,仅有极少数学生达到水平3“创新水平”,且有超过一成的学生尚不具备简化与构建模型的能力．

图2 数学建模子能力的水平分布直方图

在模型的求解能力上,学生的平均水平为水平1“简单运算水平”,能进行简单的运算求解,但不具备数学软件技术的基本操作能力;约三分之一的学生甚至无法确定选择何种数学工具或技术来求解已知的数学模型．

在模型的解释与评价能力上,学生平均处于水平1“解释与验证结果水平”,即能结合实际情境对所得数学结果进行解释及合理性验证．但仅有一成左右的学生能够评价所建模型的优缺点;而能针对模型的不足提出改进意见、指出模型应用推广方向的学生更是寥寥．

(2)学生数学建模水平与学业成绩的相关性

为探究数学建模能力水平和数学学业成绩是否成正相关,课题组从定量的角度,将学生的数学学业成绩与其三个建模子能力进行相关性分析．

首先,从教学系统中调取学生的数学成绩．为避免单次测试带来的偶然误差,分别选取了学生近三次大型测试(上一学期的期末测试、本学期的期初与期中测试)的数学成绩,并按期末40%、期初30%、期中30%的比重加权得出学生的数学学业成绩．接着将其排序,按15%∶35%∶35%∶13%∶2%的比重划分等第A,B,C,D,E．

然后,对两组数据进行相关分析(表3)．Spearman相关性检验结果(表3)表明,学生的数学学业成绩与其对模型的简化与构建能力不存在显著相关性;与模型的求解、解释与评价能力呈极弱的正相关性,但由于相关系数极低(r<0.3),可视为二者不相关．因此可认为,学生的三个数学建模子能力水平与其学业成绩均不存在相关关系．

表3 Spearman相关性检验结果

(3)短期建模教学对学生数学建模能力水平的影响

根据是否接受过建模教学,将学生分为两组,并对他们的建模子能力水平进行差异性检验(表4)．结果显示,两组学生在模型的求解能力(p=0.001<0.05)、解释与评价能力(p=0.03<0.05)上存在显著差异,但他们的模型简化与构建能力没有显著性差异(p=0.957>0.05)．因此,在统计意义上,短期建模教学对学生求解模型、解释与评价模型能力的提升效果较好,而对其简化与构建模型的能力几乎没有影响．

表4 Mann-Whitney U秩和检验结果

尽管两类学生的表现不存在统计学意义上的显著差异,但进一步对比两组学生的各水平分布情况,可发现二者间的细微差别．若将水平0视为低水平,水平1、水平2为中等水平,水平3为高水平,则接受建模教学组的低水平比例更少,高水平比例更多(图3),这说明短期建模教学能在一定程度上提高学生的模型简化与构建能力,建模教学初见成效．

2.4 主要结论

(1)高中生的整体数学建模能力水平较低,且学生个体能力间的差异较大．在建模子能力上,学生的简化与构建模型能力平均处于水平1“再现水平”与水平2“联系水平”之间,求解模型能力平均处于水平1“简单运算水平”,解释与评价模型能力平均处于水平1“解释与验证结果水平”．

(2)学生的数学建模子能力与学业成绩间均不存在相关关系．

(3)短期建模教学对学生求解、解释与评价模型的能力培养效果较好,但对简化与构建模型能力发展的促进作用较小．

3 思考与讨论

3.1 原因分析

针对上述研究结论,探讨其中的原因主要有以下几点:

首先,目前高中对于学生数学建模能力的培养重视尚且不足,只有部分学校专门开设了建模课程,且其教学形式多以选修性课程为主,受众面较窄,因而学生整体数学建模能力难以提升．同时,学生当前接触较多的文字应用题大多是对标准数学模型的直接套用,且无需利用相关的数学技术求解问题,得出结论后也几乎不需要进行验证,更谈不上评价、改进与推广．

其次,当前对于高中生的评价仍以知识为导向,主要检验学生对于数学学科知识的掌握,而本次测试是对学生数学建模能力的考查,数学知识的影响较小,因而并未体现出与数学学业成绩的相关关系．

最后,目前高中的建模教学多以教师讲授为主,学生实际操作、自主建模的机会不多,其建模能力的提升也就受到限制．通过短期的建模教学,学生能够了解数学建模的基本流程,知道对于各类数学模型的求解与处理方式,因而能增强其对模型进行求解、解释与评价模型的意识与能力．而对于学生简化与构建数学模型能力的培养,绝非一旦一夕之功,需要学生的长期实践积累．

3.2 对中学数学建模教学的建议

结合研究结论,对中学数学建模教学提出以下几点建议．

(1)广泛教学,长期强化建模意识

建模教学要面向所有学生,由于学生的建模能力水平与其数学学业成绩并不相关,因此不同数学学业水平的学生都具有发展建模能力的同等可能．建模能力培养的本质是通过数学活动经验的长期积累来提升学生的“四能”,因此建模教学需要走向“常态化”．除了开设建模课程之外,在日常的教学中,教师也应渗透运用数学知识工具或技术解决实际问题的意识,体现数学与现实世界的紧密联系．

(2)有计划、分阶段、有目标地实施建模教学

初期的建模教学意在指导学生“入门”,可利用问题示例展示数学建模的完整过程,使学生形成对数学建模的本质、基本流程、基本模型的求解方法等方面的初步认知,并逐步从局部走向整体、从模仿走向自主,从模型的“再现”水平过渡到“联系”水平．而在“入门”后,则要注重实际操作．例如,指导学生研读优秀建模论文,体会选题、开题、做题、结题中的思路,鼓励其在课后参与数学建模项目竞赛等．

(3)增强研究意识,发展教师专业素养

在建模教学中,教师也需不断更新知识技能,提高自身素养．除了掌握常用的几何画板等技术外,教师需要进一步学习GeoGebra,MATLAB等软件的操作．此外,数学建模课例资源开发、建模教学形式的创新也是教师需要面对的重要功课．