融合现代信息技术 发展学生空间观念——数学实验课“莫比乌斯环”的教学与思考

徐 丽

(江苏省苏州工业园区星澜学校 215121)

空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识.[1]它作为发展空间想象力的基础,在学生理解现实生活中空间物体的形态与结构上举足轻重,也是数学课程标准提及的学科核心素养之一.对初中学生而言,教材中涉及空间观念的内容较少,导致核心素养的形成与发展缺少必要的载体.莫比乌斯环是一个嵌在三维空间中的二维曲面,没有正反之分.通过对莫比乌斯环几何本质的探索和研究,可以激发学生学习数学的好奇心和求知欲,开拓视野,在动手实践、动脑思考的过程中发展学生的空间观念.

1 教学过程设计

莫比乌斯环是只有一个面、一条边的单侧曲面.初一学生对平面几何和立体图形已有初步了解,那么莫比乌斯环蕴含了哪些神奇的数学性质?它在日常生活中有哪些运用?

基于以上思考,设定本节课教学目标:(1)认识莫比乌斯环;(2)利用动手操作、动态几何软件制作莫比乌斯环;(3)探索莫比乌斯环的特性,感悟类比、归纳的思想,提高动手做数学、进行数学探究的能力,发展空间观念.

1.1 提出问题

一张长方形纸条如何变成只有一个面?

问题1 将纸条首尾相连变成一个环(图1),它是一个面吗?

图1

问题2 怎样才能让纸环变成只有一个面?

我们知道,长方形纸条有正、反两面,若将它变为首尾相接形成的纸环,则有内、外两个面,怎样才能让纸环变成只有一个面呢?

设计意图该环节通过尝试将纸条变为只有一个面,让学生动手操作.基于学生原有认知,感受普通纸环有两个面的特性.抛出问题2:“怎样让纸环变成只有一个面?”引发学生思考．

1.2 探索活动

观看动画:莫比乌斯环的发现.介绍1858年德国数学家莫比乌斯发现的这一神奇结构,将其命名为莫比乌斯环.

莫比乌斯环就是只有一个面的神奇之环.那它的神奇之处在哪里?

实验1制作莫比乌斯环.

制作方法:将一根纸条扭转180°,两端粘贴做成纸环.

莫比乌斯环的制作方法虽然简单,但打破了学生原有认知.对于这一新的几何结构,教学时利用GeoGebra(下称GGB)软件演示,呈现莫比乌斯环的图形特征,丰富学生的空间认知,更清晰地认识该图形(图2).

图2

操作 用纸带制作莫比乌斯环.

思考 (1)它有几个面、几条边?

(2)它特别之处在哪里?

发现 它只有一个面、一条边.

结论 它的神奇之处在于只有一个面、一条边,是一个单侧曲面．

设计意图本环节是让学生先感受莫比乌斯环的制作过程,再观察其特殊之处.学生用笔在自己制作的莫比乌斯环上划线,发现笔迹走一圈后能够首尾相连,得到莫比乌斯环的特殊之处:只有一个面、一条边,是一个单侧曲面．对于新的几何结构,借助GGB动态展示,学生经历制作、观察、探索三个环节,发展空间观念.

沿普通双面纸环中间线剪开,学生的已有认知是会形成两个大小相同的双面纸环.那类比到莫比乌斯环呢?这样的现象仍然存在吗?沿莫比乌斯环中间线剪开又会产生什么结果呢?

实验2沿二分之一线剪开莫比乌斯环.

(1)探索

操作 沿中间线剪开莫比乌斯环.

思考 出现什么结果?形成的环是莫比乌斯环吗?

发现 剪开后形成一个大环,长度是原来环的2倍.

结论 沿中间线剪开莫比乌斯环得到一个大环,长度为原来的两倍,且大环不是莫比乌斯环.

本环节学生从已有经验出发,猜想沿莫比乌斯环中间线剪开的结果,再动手尝试.虽然实验结果明确,但实验原理是什么?又蕴含了哪些数学知识?借助动态Flash软件详细分解展示裁剪过程,再利用GGB演示沿中间线剪开莫比乌斯环,发现剪开形成的两个部分能够连接形成一个整体.教学过程融合信息技术支持,化抽象为直观,丰富数学现象的理解,进一步发展学生的空间观念(图3).

图3

继续引导,如果沿着生成大环中间线剪开会产生什么结果?

(2)沿二分之一线剪开生成的大环

操作 从生成的大环中间线剪开.

思考 形成什么?再沿生成的环中间剪开呢?剪n次呢?

发现 因为大环是一个双侧曲面,所以剪开后会形成两个长度与原来大环相等的环.再继续沿中间线剪开,则会产生出4个、8个、…、2n-1个环(图4).

图4

操作发现,沿普通双侧曲面大环的中间线剪开,会产生两个双面大环,这一结论正好匹配学生的原有认知.引导学生思考,继续沿生成的两个大环中间线剪开呢?剪开3次、4次、n次呢?学生利用空间想象总结规律,得出结论,发展学生的空间观念(表1).

表1

沿中间线剪就是沿二分之一线等分剪开,如果沿着其他等分线剪开会出现什么结果呢?

实验3沿等分线剪开莫比乌斯环.

(1)沿三分之一线剪开莫比乌斯环

操作 沿三分之一线剪开莫比乌斯环.

思考 出现什么情况?形成的环是莫比乌斯环吗?

发现 剪开后形成一个大环+一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍(图5).

图5

结论 沿三分之一线剪开莫比乌斯环,剪开后形成一个大环+一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍(表2).

表2

(2)沿其他等分线剪开莫比乌斯环

操作 沿四分之一线、五分之一线、六分之一线剪开莫比乌斯环.

思考 剪开后形成的环之间是什么关系?

发现 沿四分之一线剪开形成一个大环+一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍.沿五分之一线、六分之一线、…、n分之一线剪开,剪开后形成一个大环+一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍.

结论 当n=2时,仅产生一个大环,其长度是原来环的2倍,不是莫比乌斯环.当n≠2时,仅产生一个大环和一个小环,大环的长度是原来莫比乌斯环的2倍,不是莫比乌斯环;小环是等长莫比乌斯环.

本环节由猜想到动手实验,学生在探索中观察并思考数学原理.借助动态Flash软件再现裁剪过程,利用GGB演示,沿三分之一线走遍圆环需两圈,外侧和内侧的剩余部分构成一个大环,因为单面循环的特性,中间留下了一个莫比乌斯环.利用数学软件将抽象的数学原理形象地展现在学生面前,丰富学生的几何直观,发展学生的空间观念(图6).

引导学生思考沿其他等分线剪开后的情况,并得到结论如表3所示.

表3

无论沿三分之一线、四分之一线还是n分之一线,均为不沿中间线剪开一次.这样的操作能够得到一个大环套一个小环.产生原因也是因为单侧曲面无限循环.那么如果不沿莫比乌斯环中间线剪开多次呢?

(3)不沿中间线剪开莫比乌斯环n次

观察 沿非中间线剪开一次生成一个大环+一个小环(莫比乌斯环).

猜想 不沿中间线剪开2次,出现什么情况?

发现 不沿中间线剪开一次,形成一个大环和一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍.不沿中间线剪开2次,会形成两个大环和一个小环(莫比乌斯环).

结论 不沿莫比乌斯环中间线剪开n次,会产生n个大环和一个小环(莫比乌斯环),大环长度是原来环的2倍,是双侧曲面;小环的长度不变,是单侧曲面的莫比乌斯环.

设计意图本节课的研究主题是探索莫比乌斯环单面循环的特性．该环节是让学生类比不同情况下剪开莫比乌斯环,探索规律.要求初一学生利用动手操作感受实验结果、用数学语言表述实验现象并不难,但如何让学生更深刻地理解现象背后的数学原理、发展空间观念才更为关键.本环节作为这节课的重点,充分利用视频展示,分解实验过程、运用GGB分类展示不同实验的分解过程.学生更细致地观察并思考,归纳得出规律,感受莫比乌斯环的神奇之处,丰富认知,发展空间观念,培养几何直观．

1.3 感受应用

在工业设计、生产生活、艺术创作中,如果你是设计师,你会将莫比乌斯环运用到哪些方面?本环节采用视频展示,感受无限循环的创作灵感在生活中的延伸(图7).

图7

设计意图学生感受莫比乌斯环的神奇之处,在认识新的数学知识的过程中感悟数形结合思想与归纳类比思想,将数学知识运用到日常的生活中,感悟数学价值,让学生爱上数学.

根据学生的设计思路,介绍两个莫比乌斯环在高维空间中拼凑形成的神奇的克莱因瓶.

1.4 拓展延伸

1882年,克莱因发现了这个著名的“瓶子”.它仅有一个面,因而一只苍蝇可以直接从瓶子的内部飞到外部而不用穿过瓶身.与莫比乌斯环一样,它没有内外之分.虽然克莱因瓶只是一个概念,没有实物,但运用GGB能实现高维空间中莫比乌斯环构成克莱因瓶的过程,更直观地丰富学生的空间认知(图8).

图8

我们可以将莫比乌斯环的侧面变成多边形,并形成环面,利用网络画板感受动态的变化,欣赏美丽的数学图形(图9).这给学生后续学习立体图形、继续发展空间观念,埋下渴望知识的种子,同时引导学生将思考延伸到数学课堂之外.

图9

最后,请学生欣赏音乐大师巴赫的音乐,愿他们都有一双善于发现的眼睛,在无限循环的探索中感受数学,创造更多的精彩!

设计意图带领学生感受环面与莫比乌斯环,从发散的角度思考数学,利用网络画板实现多边形环面与莫比乌斯环的结合,增进学生的空间感受,为后续高中研究立体几何、解析几何以及拓扑等学科埋下伏笔;更好地借助信息技术融合数学课堂,将较为抽象的空间图形直观展现在学生的眼前,继续发展学生的几何直观.

2 思考

相对于学生熟悉的几何对象,莫比乌斯环更为抽象.怎样在三维空间中研究二维平面,特别是如何让学生在数学活动中感知、体验、明理,是教学中难以把握的.因此,教师需要在教学中适时地利用技术帮助学生感知原理、理解本质,从而在技术支持下实现空间观念的培养.

2.1 视觉体验,在情境中感受,认识数学对象

本节数学实验课,从如何将一张长方形纸片变成只有一个面的问题引入,让学生感受莫比乌斯环的无限循环特性.借助GGB、Flash与网络画板等技术化抽象为形象,展现裁剪过程,正向与逆向结合,丰富视觉体验,让学生更直观地感受和参与.在情境中拓展学习空间,打开思维的大门,提升数学教学的趣味性.

2.2 动手操作,在实践中明理,理解数学本质

莫比乌斯环是一种拓扑结构,它抽象不直观,因此鼓励学生动手操作,将裁剪、制作、探索、发现融入学习过程,打开学生的思维,提高学生处理信息的 能力,在不知不觉中提升空间观念,发展几何直观素养.

学生经历了动手操作、探索发现,自然更能深刻地领悟到莫比乌斯环神奇的特征.沿着莫比乌斯环不同等分线剪开产生的不同结果与相关规律,都与莫比乌斯环无限循环的单面特征相关.学生在实践中明理,探寻数学现象蕴含的数学原理,理解数学本质.

2.3 技术支持,在思考中通融,发展空间观念

本节实验课利用GGB、动态Flash软件、中科院张景中院士研发的网络画板等软件,化“不能”为“能”,化“抽象”为“具象”.沿中间线剪开为何形成一个普通大环?技术赋能激发了学生的兴趣,提高了知识的接受程度,在操作和探究中不断发展学生的空间观念.融合信息技术的数学实验课,能提高学生的自信心,促进学生从数学现象思考数学本质,并将数学思考延伸到其他问题的解决.