“椭圆的扁平程度”微探究活动的思考与设计*

邹信武

(广西南宁市第三中学 530021)

1 “椭圆的扁平程度”教学中的问题

“椭圆的简单几何性质”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册3.1“椭圆”的第二课时内容.本节课一方面要使学生掌握椭圆的几何性质,另一方面要通过椭圆方程的讨论研究椭圆的几何性质,体会用坐标法研究几何性质的基本思路与方法,感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性等特点．

在本节课中,离心率e与椭圆的扁平程度是课堂教学重点之一．在笔者参与的一次本课时的同课异构教学活动中,几位教师对于“椭圆的扁平程度”部分的教学大致有以下三种处理方式:

方式1 直接给出特殊椭圆,教师引导并归纳

追问1 这两个椭圆的扁平程度不同是由方程中的哪个量的变化引起的?

追问2 你认为可以用一个怎样的关系式来定量刻画椭圆的扁平程度呢?(利用几何画板演示动态变化的椭圆,以此提供直观支持)

方式2 通过信息技术演示发现,数学实验探究发现

问题(教师通过几何画板演示)我们可以看到a,b,c的变化会影响椭圆扁平程度．请同学们思考,需要几个量才能发生变化?(与学生辨析分离出两个基本量:a和c)

追问 用a和c的怎样的关系刻画呢?

数学活动 细绳实验．分别固定焦距、调整绳子长度与固定绳长、调整焦距,观察椭圆“扁”的程度变化规律．

方式3 数学实验归纳,代数运算分析

(1)椭圆的扁平程度概念模糊．在没有明确定义的情况下,“扁平程度”是一个视觉效果,具有相对性,只有在差异明显时学生才能识别．正因为学生对于扁平程度没有清楚的认识,所以多数学生无法意识到椭圆可能存在“相似”的情况,进而间接影响了学生思考为什么使用“比”来判断椭圆的扁平程度,而不使用“差”进行判断．

(2)几何关系的观察与提炼太草率．教材中呈现该部分内容时,采用了“先用几何眼光观察,再用坐标法解决”的编排思路．椭圆的前几条性质(范围、对称性等)几何特征较为明显,因此不需要太多图象进行对比提炼．但是对于椭圆的扁平程度,没有大量的图象对比作为基础,让学生提炼出这一几何关系是非常困难的．其实这一点在教材第111页“思考”中也有教学提示:如图1,对于左边这些椭圆,显然呈现出不同的“扁平程度”,但是对于右图呢,它们的扁平关系是怎样的?其实应该是“扁平程度一样的椭圆”,即相似椭圆．

图1

(3)忽视选择a,c(或a,b)研究椭圆的扁平程度的思辨过程．三种方式从直接作图、信息技术演示和“细绳实验”分析出选取a,c(或a,b)作为参考量,再引导学生探究它们的关系,整个过程看似自然,实则不然．三种设计都有太多教师“直接给予”的成分,缺乏从学生角度的思考——为什么先固定了其中一个量?在高中阶段分析两个参数对数学对象的作用时,常常会先固定其中一个参数,分析另一个参数的作用和影响,再反过来用同样的方法研究另一个参数,最后综合分析．思考问题的这种方法应该是在教学中要让学生体会的．上述的几种教学设计中显然忽略了这一点．

图2

2 “椭圆的扁平程度”教学再设计

2.1 “椭圆的扁平程度”探究活动再认识

在《课标2020》中,数学探究活动的具体表现为[1]:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论．在实际教学中,某些探究活动不具备完整的数学探究活动的环节,它只是课堂的一个环节,是教师根据教学目标,设置合理的数学问题和组织形式开展的探究活动,我们可以简称为“微探究活动”[2]．在微探究活动中,教师做引导,学生是主体,探究内容为载体,数学思维是链条,以此培养学生的主动性、创造性、应用意识和实践意识．探究椭圆的扁平程度就是一个典型的微探究活动．

解析几何是一门方法论色彩浓厚的学科,教学中应当以“坐标法研究问题”为主线,以让学生领会坐标法和数形结合思想为主要任务．因此,根据数学教学微探究活动的特点,结合解析几何方法论知识,可以把“椭圆的扁平程度”探究活动大致分为三个环节:几何直观—代数表达—论证与几何解释(图3)．代数表达是这个探究活动的核心,是发展学生理性思维和科学精神的重要环节．在代数表达环节,主要解决两个问题:一是椭圆的扁平程度与什么量有关;二是如何用a,c刻画椭圆的扁平程度．为实现探究活动的预期目标,教师应设置恰当的问题和利用信息技术辅助教学．

图3 探究椭圆扁平程度的三个环节

2.2 “椭圆的扁平程度”探究活动再设计

问题1我们刚刚得到的“范围”“对称性”和“顶点”这些性质是从一个椭圆图形得到的,如果我们把多个椭圆放在一起,你能发现椭圆的其他特征吗?请大家观察图1和动画演示．

(教师投影图1,并演示GeoGebra制作椭圆动画.如图4,保持一个椭圆不变化,设置另外一个椭圆的两个参数a,b自动变化,形成一个自由变化的椭圆．注:此时隐藏四个参数的滚动条)

图4 GeoGebra演示

设计意图这是一个比较开放的问题,目的是在图形的对比中触发学生的直观想象.学生的答案可能出现大小、圆扁、相似、周长和面积等,教师充分收集学生的结果,重点关注学生是否发现大小相等、相似和扁平程度等几何关系．同时,教师指引学生先关注椭圆的扁平程度．

问题2我们发现,不同形状的椭圆扁平程度不同,相同形状的椭圆的扁平程度相同．扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?你觉得我们应该如何开始研究呢?

设计意图将学生的关注点引向椭圆的扁平程度,并布置下一个环节的学习任务:用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度．这个问题的容量是比较大的,学生需要考虑许多因素才能回答这个问题,而这恰是我们数学教学的目的之一——教会学生思考．因此,提出这个问题后,教师留一定时间让学生独立思考,再根据学生的情况,设置追问,引导学生将问题进一步具体化．

追问1 椭圆的扁平程度与椭圆的什么量有关系呢?你是如何判断的?

设计意图从几何直观中分析影响扁平程度的因素,并设计检验方案．在这里,采用何种方式分析两个参数是关键,教学中教师可以进行针对性提问．检验过程可以根据教学条件采取不同的方案,例如:

方案1学生使用信息技术,分别保持a(或b)不变,观察b(或a)变化时椭圆如何变化．分别保持a(或c)不变,观察c(或a)变化时椭圆如何变化．

方案2细绳实验:分别固定绳长、调整焦点位置和固定焦点位置、改变绳长,观察椭圆的变化．

追问2 我们已经确定椭圆的扁平程度与a,c都有关系,a,c是如何一起作用于椭圆的扁平程度呢?结合刚刚的小实验,你能找到与a,c相关的一个量来刻画这个现象吗?请给出猜想论证．

设计意图这是探究的重点,具有方法论意义,它体现了用数学关系表达客观世界的现象和规律．教师引导学生从刚刚进行的小实验中的现象寻找变化规律、提炼关系式,并引出离心率的概念．因为本探究问题的发散性,教师将学生分成小组进行合作思考,并提前准备了几个预案:

预案2如果有学生用a-c(或c-a)表示,引导学生用信息技术实验检验a-c(或c-a)相同时椭圆的圆扁变化(注意大小不同、扁平程度相同的椭圆的情况)．

如果没有学生提出用a-c(或c-a)表示,此时教师应该在学生验证了预案1的猜想之后提出追问:我们能用a-c(或c-a)刻画椭圆的扁平程度吗?再回到预案2．

问题3回顾刚才研究椭圆扁平程度的过程,请回答以下问题:

(1)我们刚才依次做了哪些工作?

(2)在这一过程中碰到了什么问题,我们是如何解决它的?

(3)你觉得今后还可以研究椭圆的哪些性质?应该如何开始呢?

设计意图每一个探究都应该有小结,小结中教师应该带领学生回顾探究过程,提炼方法,让学生再一次体会数学思想,并促使学生对未来要探究的数学问题展开联想．

3 结语

数学是训练思维的学科,是教会人思考的学科．在探究活动中,教师不仅不能代替学生的思考,更应该促进思考的发生与生成．小环节体现大智慧,教师在教学中充分理解并运用好教材,组织行之有效的微探究活动,是发展学生数学核心素养的重要途径．