初中数学项目式课例的设计与实践——以“苏州园林:窗棂之美”为例*

段广猛 孙 峰

(江苏省苏州市工业园区星湾学校 215021)

王晓峰

江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)中明确指出:综合与实践以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标,根据不同学段学生特点,以跨学科主题学习为主,适当釆用主题式学习和项目式学习的方式,设计情境真实、较为复杂的问题,引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题．[1]笔者以苏州园林中的窗棂为载体,开展项目式探究活动,充分调动学生的主观能动性,使学生真正实现有意义的学习,从而获得综合能力的提升．

1 驱动任务

1.1 任务1:“看”中学

用数学的眼光“看”园林,发现与数学有关的研究对象或元素,搜集园林中的各种“数学元素”,并简单归类,描述各种数学对象或元素．观察窗棂图案,可以感受到图形对称之美(轴对称、中心对称等)、变换之美(平移、翻折、旋转等)以及各种不同图形的组合之趣．还能感受到大量与图形密铺有关的素材,抽象出相关的数学研究对象,归纳共同特征,得到平面图形镶嵌的基本概念．

表1给出了该任务所需的数学知识或技能以及相应的活动形式和成果建议(下同,不再赘述)．

表3 任务3所需数学知识或技能、活动形式和成果建议

表4 任务4所需数学知识或技能、活动形式和成果建议

1.2 任务2:“思”中学

(1)制定研究路径:确定具体的研究路径,即按照什么顺序研究图形镶嵌．

(2)建立数学模型:建立合适的数学模型分析并解决镶嵌问题．

(3)发现一般规律:将镶嵌问题转化成数学问题,通过求解数学问题,获取镶嵌中的一般规律．

1.3 任务3:“查”中学

通过上网查阅文献或查阅相关的实体书籍,了解窗棂的发展历史、镶嵌的发展史以及镶嵌在建筑、艺术等各方面的应用,梳理成课件展示成果．

1.4 任务4:“做”中学

根据探究所得的一般规律及相关结论,利用多媒体作图软件或手工绘制优美而有创意的窗棂图案,学会用数学的语言进行表达的能力．

2 项目探究

2.1 特征归纳,概念导出,显示研究对象

美丽的窗棂蕴藏着丰富多彩的数学美,如轴对称性、中心对称性、图形变换(平移、翻折、旋转)等．观察各种各样的窗棂图案,发现这样一类有趣的现象:很多窗棂都是由一种或几种多边形组合而成,而且每个顶点处这些多边形的内角之和都是一个周角(图1)．

由此抽象出镶嵌的有关概念:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌．

2.2 观察分析,结合经验,确定研究路径

围绕“由特殊到一般,从具体到抽象”的基本原则,确定探究“镶嵌”问题的一般路径:

(1)一种边长相等的正多边形镶嵌;(2)一种形状、大小完全相同的一般多边形(三角形、四边形、五边形……)的镶嵌;(3)两种边长相等的正多边形镶嵌;(4)三种边长相等的正多边形镶嵌……

2.3 聚焦角度,锚定关系,建立数学模型

确定了研究路径,接下来进入具体探究环节:

·一种边长相等的正多边形

(1)如图2,先从最简单的情形入手,即正三角形的镶嵌．拼图发现,正三角形可以实现镶嵌,且每个顶点处需要6个正三角形.

(2)正四边形的镶嵌:拼图发现,正四边形可以实现镶嵌,且每个顶点处需要4个正四边形.

(3)正五边形的镶嵌:拼图发现,每个顶点处放3个正五边形会有空隙,放4个正五边形会有重叠,所以仅用正五边形不能实现镶嵌.

经过一系列的对比、思考、探究后发现——能否实现镶嵌的本质条件取决于“同一个顶点处,角度和是否为360°”,从而将多边形的镶嵌问题再次抽象成与角度有关的问题．由此提出更一般化的问题:对于边长相等的同一种正多边形,哪些能实现镶嵌?

能够仅用同一种边长相等的正多边形进行平面镶嵌的只有三种:正三角形、正方形和正六边形,且上面的拼接实验检验出它们均能够向外扩展开来．

·一种形状、大小完全相同的一般多边形

遵循由特殊到一般的研究路径,结合前面的探究及转化经验,只需要研究“同一个顶点处角度和能否等于360°”．

(1)同一种全等的任意三角形

因为任意一个三角形的三个内角之和均为180°,而180°+180°=360°,所以用同一种全等的任意三角形都可以进行平面镶嵌．

(2)同一种全等的任意四边形

由于任意四边形的四个内角之和恰好均为360°,结合拼接实验可知,用同一种全等的任意四边形也可以进行平面镶嵌．

(3)同一种全等的任意五边形、六边形……

根据前面的探究经验,自然提出:同一种全等的任意五边形、六边形是否也能进行平面镶嵌?

答案是否定的!因为五边形的内角和为540°,六边形的内角和为720°……按照上面的拼接方式,显然并不能满足“在同一个顶点处各内角之和为360°”这一条件,因此,边数超过4的任意多边形均不能进行平面镶嵌．

·两种边长相等的正多边形

顺着“从一到二,从二到三,再到所有”的研究思路,进一步探究两种边长相等的正多边形的组合镶嵌问题．

只要继续建立方程模型进行分析:

第1步 (引进字母表示未知量)设有k1个正n1边形,k2个正n2边形,其中k1,k2,n1,n2为正整数,且n1≥3,n2≥3;

问题转化为研究关于k1,k2,n1,n2的四元方程的正整数解问题．

·三种乃至多种边长相等的正多边形

进一步思考:最多有几种边长相等的正多边形可能实现镶嵌?

观察正多边形的每个内角度数的变化,发现正多边形的每个内角随着边数的增多而增大．

正n边形n=3n=4n=5n=6…每个内角度数60°90°108°120°…

回到上面的问题中来,若是有三种边长相等的正多边形进行拼接,则同一个顶点处各内角之和的最小值为60°+90°+108°=258°<360°,也就是说,三种边长相等的正多边形有可能实现镶嵌．同样地,若是由四种边长相等的正多边形进行拼接,则同一个顶点处各内角之和的最小值为60°+90°+108°+120°=378°>360°．由此可见,四种边长相等的正多边形不可能实现镶嵌．

由此得到:最多由三种边长相等的正多边形实现镶嵌．

2.4 学科融合,借力编程,求解一般模型

若是一一枚举,将非常繁杂,利用Python编程(或C+ + 编程)可以找到符合条件的所有非负整数解(共17组):

类型1 一种边长相等的正多边形(3种):①(3,3,3,3,3,3);②(4,4,4,4);③(6,6,6)．

类型2 两种边长相等的正多边形(6种):①(3,12,12);②(4,8,8);③(5,5,10);④(3,3,6,6);⑤(3,3,3,4,4);⑥(3,3,3,3,6)．

类型3 三种边长相等的正多边形(8种):①(3,7,42);②(3,8,24);③(3,9,18);④(3,10,15);

⑤(4,5,20);⑥(4,6,12);⑦(3,4,4,6);⑧(3,3,4,12)．

注:以上( )中的数字均表示正多边形的边数．

以上17种情形中,经过实验及作图验证,最终得到能够进行平面镶嵌的只有11种[2]．

2.5 图案设计,艺术鉴赏,凸显数学应用

小组合作或独立创作,利用探究所得的结论,借助电脑软件或手工绘制优美而有创意的窗棂图案．通过“做”中学,亲身感受图形镶嵌、变换、组合的艺术之美,体会数学探究的应用价值,培养用数学的语言进行艺术表达等核心素养,发展审美、创造美的能力．

学生代表作品(图3):

图3

灵感来源:密铺图形,园林中的自然美景．

数学元素:图案中心为一个用六个全等的镖形与筝形拼成的正六角星形,在此基础上用全等的菱形进行密铺,组成一个冰晶的形状．

自然元素:冰晶周围运用互不相同的多个图形进行填充,用这种不规则、无规律的美表现大自然的鬼斧神工．

寓意:冬日即将来临,透过此窗棂观景,便是透过冰晶赏冬景．即使无雪,也可在园中一步见冰晶,一步见冬景．

3 项目反思

3.1 指向驱动任务,凝练本质问题

项目式学习以驱动任务来包孕本质问题,或以驱动任务推动本质问题的凝练化．通过数学的眼光,可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式,提出有意义的数学问题,抽象出数学的研究对象及其属性,形成概念、关系与结构,进而帮助人们理解自然现象背后的数学原理,感悟数学的审美价值．本文以苏州园林中的窗棂为载体,通过若干驱动任务,引导学生用数学的眼光观察窗棂,发现几何图形的对称之美、组合之美,并聚焦到图形的密铺(即镶嵌)之美,由此提出核心问题:“什么是图形的镶嵌?图形镶嵌中蕴含怎样的规律?”在任务实施的过程中,培养学生发现美、探究美、创造美的能力．项目式学习可以帮助学习者不断发现知识和现实世界的联系,提出现实生活情境中真实遇到的问题,让学习者实现“经验的不断改造和重新组织”,从而获取并建构属于自己的经验和知识,在“做中学”“学中做”,通过亲身实践解决实际问题．

3.2 体验真实情境,凸显实践价值

《课标2022》指出:初中阶段综合与实践领域,可釆用项目式学习的方式,以问题解决为导向,整合数学与其他学科的知识和思想方法．项目式学习所涉及的问题主要是现实世界中具有开放性的跨学科问题,问题解决需要将现实问题转化为数学问题．真实性是考量项目优劣的首要指标,这就要求项目本身必须立足于现实生活的真实场景,或者是真实情境,在真实情境里解决真实问题．本文中千姿百态、美妙绝伦的窗棂就是现实世界的产物,学生从真实情境出发,以数学、美学等不同学科的视角,综合运用相关学科的知识与方法、思维与习惯去分析、探究窗棂之美,通过创作新的窗棂图案,又回归到现实生活中来,充分体现项目式探究的实践价值．

3.3 聚焦活动过程,提升核心素养

项目式学习中,学生历经发现问题、解决问题的全过程,在建构学科核心知识的同时,体验知识学习的价值和意义,使学习方法和思维方式得到不断强化,从而实现思维品质和关键能力的螺旋上升,提升核心素养．本文的项目探究路径如图4所示,概括来说,即会用数学的眼光观察现实世界,从生活情境中抽象出数学的研究对象,发现并提出数学问题;会用数学的思维思考现实世界,通过数学推理,对提出的问题展开有序研究,逐步分析数学问题;会用数学的语言表达现实世界,将数学建模探究得到的相关结论应用于现实生活,发展并提高数学的应用意识．

图4