在教学设计中渗透数学阅读能力的培养*

郭红清

(江苏省黄埭中学 215143)

苏霍姆林斯基有言:“一个阅读能力不好的学生,就是一个潜在的差生．”[1]高度信息化的社会中知识总量越来越庞大,数据、图标等信息充斥了生产生活的各个方面,而阅读是认识世界和汲取知识的重要手段．阅读能力的培养就是学科素养和关键能力的培养[2],应贯穿并渗透于整个教学活动之中．

数学阅读是个体根据已有的知识经验,通过阅读与数学相关的材料建立数学意义和方法的学习活动,并在此过程中发展数学思维、学习数学语言、锻炼数学表达．数学阅读的对象包括教材、例题习题、参考答案、图形图表、数学文化等,材料一般涉及大量的数学概念和数量关系．阅读要讲究策略,既要提纲挈领把握整体,又离不开琢磨细节．数学阅读能力直接关系到数学核心素养培养,其可以体现在数学教学的各个环节[3]．

1 概念文本阅读教学

数学学习本质上是一个又一个概念的学习,而概念的语句精炼,值得认真研读和深度辨析．高考命题中常出现“新概念”问题,要求考生现场学习新的数学概念,然后利用新概念分析和解决问题．对概念的阅读和理解水平直接决定问题的解决,所以说高考考查的是数学能力,而不是刷题能力．

新授课的教学中围绕概念进行教学设计,以阅读交流的形式组织教学活动,这是教师培养学生阅读能力的良机．一堂概念课的教学质量和教师对概念的重视程度高度一致,通过问题链引导学生开展活动,是对概念研读的引导和示范．

1.1 感知阅读,联系相关知识

问题1 我们学过数的和,其结果是一个数,而这里是向量的和,其结果又是什么?

问题2 物理中位移的合成,是数的加法还是向量的加法?

设计意图学习概念要认清概念中涉及的数学对象和与之前知识相同或相似的部分．通过联系与对比,从旧知识迁移到新知识,从特定情境直观感知并抽象出新概念．问题1指出这是区别于数的加法的一种特别的加法,是带方向的量的合成,不是传统意义上的数和数的和,并指出向量和的结果仍旧是一个向量．问题2指出向量加法是物理中位移情境的数学化,让学生自然地进行知识迁移,认识数学化过程中的起源和背景．

1.2 理解阅读,推敲关键语句

问题3 概念中有哪些重要语句,你能不能圈画出来?你觉得有没有可以删掉的文字或未考虑到的情况?

问题4 为什么要提出“非零向量”“任意一点”?使用了与数的“加”一样的数学符号,它是图形的“加”,是哪个向量的头接哪个向量的尾?

设计意图引导学生阅读概念,字斟句酌,圈划重难点．问题3可以看成一般阅读的引导语,有利于学生自主阅读能力的形成．问题4有了明确指向,激发学生仔细阅读,推敲文本:“非零向量”,也就是说涉及零向量时需要单独规定;“任意一点”是因为数学中向量是自由的,向量平行移动时大小、方向不变则向量不变;作图规定中,a+b是a的终点接b的起点．

1.3 多元阅读,符号和图形表征

问题5 能画出图形表示此概念吗?可以调换向量相接的顺序吗?

问题6 图形构成了一个三角形吗?一定构成三角形吗?

问题7 三角形的边长关系用向量符号怎么表示?

1.4 反思阅读,辨析应用

问题8 力是物理中的向量模型,以平行四边形法则合成两个力,以此定义向量的加法,与三角形法则一致吗?

问题9 一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h．你能用向量知识解释船的实际航行速度吗?

设计意图概念的学习需要辨析应用,挖掘性质并解决问题．在抽象水平上对概念进行阐述,再结合实例应用概念,解决问题也是为了理解概念．问题8将位移和力两个物理模型结合起来,辨析平行四边形法则和三角形法则的联系,发现两者之间的一致性．问题9要求借助概念中抽象的术语来观察新的具体情境,在解决问题的过程中进一步理解概念的数学本质．

教学设计和课堂实施中以问题引领学生阅读,对概念的解读使得知识生成成为自然的行为,体现了数学阅读的逻辑性和严谨性、数学表达的多样性．教学中一般通过情境建构出一个概念骨架,这通常是不完整的,有所欠缺和考虑不周的,师生完全可以通过对教材概念文本的斟酌,从各种语言表征建立概念体系,与后续的相关性质取得有机联系．

2 探究建构阅读教学

概念、公式、定理或性质的学习都离不开知识产生的原因,相比结论本身,得到结论的过程更有价值．知识探究建构的过程,始于数学阅读活动中的初步感知,再从感觉抽象到概念,内化吸收成为知识体系的一部分,铺平通向应用的道路,也打开了推广延伸的道路．

有效的学习应该是自然的,有合乎逻辑的探究活动参与其中,而不应该是知识的简单呈现．每一个公式或定理的教学,都可从直观感知中探索提炼,在形式化阶段进行演绎论证和辨析,直至完成数学建构．数学教材中包含大量引导语,教师应结合教材阅读、设计一些探究和建构活动,提高教材使用率,也培养了学生的理性精神．

案例2(面面垂直性质定理的探究)下面我们研究平面与平面垂直的性质,也就是在两个平面互相垂直的条件下,能推出哪些结论?

如果两个平面互相垂直,根据已有的研究经验,我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．

2.1 回顾中的阅读,获取方法

问题1 以面面垂直为条件,有怎样的结论?这是性质的研究,之前研究过哪些线面关系的性质定理?

问题2 教材中有“根据已有的研究经验”这一句,已有的研究经验是什么?

设计意图教材中每一个性质定理的探究都是一以贯之的,学生通过回忆和翻阅教材指定内容,提高了对教材的认识．问题1提醒学生去哪里阅读;问题2提醒学生阅读寻找已有的研究经验．学生可以在教材有关线面平行、面面平行、线面垂直性质定理的内容中找到许多相似的提示语,顺藤摸瓜,从整体上获取探究线面关系的基本思想:先探究直线和直线具有什么位置关系,再探究直线与平面的位置关系．

2.2 准备中的阅读,初步感知

问题3 你能够使用道具表示面面垂直,或者直接寻找生活实例吗?

问题4 你能够用图形表达面面垂直,画出相应的直观图吗?

设计意图数学本身是抽象的,所以需要创造或利用感知环境,通过“听说读写画”的方式形成对最终结论的初步认识．对于问题3的提出,用手工制作的道具或课堂触手可及的练习本,容易营造出面面垂直的情境．或手指比划、或铅笔演示,可以创造出活生生的数学课堂,也激发了学生的学习热情．问题4是进一步探究的需要,立足于面面垂直的数学特征,也是问题3的数学抽象．阅读过程伴随着实物观察、画图表达等活动,提高了学生的数学抽象意识和直观想象能力．

2.3 探究中的阅读,发现定理

问题5 两个平面内各摆放一条直线,请大家判断两直线可能的位置关系．是否存在面面垂直特有的线线关系?

问题6 在其中一个平面找一条直线,请大家判断它和另一平面可能的位置关系．是否存在面面垂直特有的线面关系?

设计意图学生通过实物辅助观察,积极交流直观体会,提高对空间线面关系的认识,并在此基础上进行数学抽象．问题5的探究中,两条直线可能重合、相交、平行、异面等,学生讨论的过程中可能涉及交线、二面角的平面角等．如果两平面相交且不垂直,教师和学生逐一对照各种情况加以判断,发现每一种情况都同等存在,并非是面面垂直的特性,探究活动陷入停顿.问题6的探究中,直线a与平面β可能平行(平行于交线)、斜交(交点落在交线上)、垂直相交(垂足落在交线上)或在面内(与交线重合)等(图1)．如果两平面相交且不垂直,那么直线a与平面β不可能垂直相交．师生互动中辨析取舍,发现线面垂直是面面垂直具有的特别情况．

图1

2.4 建构中的阅读,演绎论证

问题7 用语言描述定理内容,作出相应图形,并用数学符号表示．

问题8 阅读性质定理的证明过程,并说出证明思路．

设计意图数学阅读和理解过程中总是不断交织着三种语言的转译,同一个本质可以用多种形式进行呈现．性质定理的证明既可以由教师讲授,也可以利用问题引导学生自主阅读．问题7要求学生组织文本,用“如果……那么……”的形式叙述定理,抽象成数学符号,并用图形直观表达,既锻炼了学生数学语言的表达和转化,又提升了数学抽象和直观想象等核心素养．问题8不同于一般的教师讲解,引导学生阅读证明过程,变教师讲为学生学,以任务的形式明确学习目标,提高学生总结提炼的意识．

案例2围绕教材进行教学设计,通过阅读教材整体把握探究方法．探究过程有方向,感知发现显自然,建构逻辑求严谨,演绎论证讲规范,从感性认识过渡到理性认识,符合认知规律．在此过程中,材料丰富、方式多样,渗透多元表征和总结概括的意识,让学生形成阅读自觉．

3 解题分析阅读教学

数学离不开解题,数学能力就是解题能力,只有在解题中分析、转化,使用数学技能和体现数学思想,才是掌握了“活知识”．一个数学问题的解决应该从审题阅读开始,也许需要画一张图或者引入数学符号,联系已经解决过的问题,理清逻辑关系,分析和转化,寻找解决方案并执行数学运算．

为培养审题能力,可以预设提示问题,波利亚的解题表就是最佳提示．教学时,我们可以根据几个一般性的提示问题来培养学生的阅读意识,提升思维习惯．

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明直线CD过定点．

3.1 感知阅读,直观想象

问题1 可以画出本题的示意图吗?能够对照图形叙述一遍题目吗?

问题2 谁引起了图形的变化?(主动点,主动线)图形变化有没有什么几何特征,比如对称性?你感知到定点可能在哪里吗?

设计意图新高考解析几何问题常常没有图形,作图能力也是考查的重要部分．画出“静态的图”,结合思考可以得到思维上“运动的图”．谁能够发现数学问题中隐藏的图形及其变化,谁就从整体上把握了问题．问题1除了作图(图2),还需要重新叙述问题,正确的叙述意味着清晰的逻辑关系．问题2通向对图形的进一步观察,感受图形中的运动变化,并体会出定点位置．

图2

3.2 理解阅读,设计算法

问题3 从以下三个角度分析,怎样开展运算?画出计算流程图．

角度①:点P的运动带动了整个图形;

角度②:点C的运动带动了整个图形;

角度③:直线AC的运动带动了整个图形．

问题4 选择以上不同计算角度,解决问题的难点分别在哪?能不能找到克服难点的办法?

设计意图问题解决链条较长且路径多样,运算难度差别很大．一般运算观念下得到的不同路径可以利用流程图的形式呈现,有利于阅读者直观系统地把握复杂问题的解法．问题3培养学生整体观察和概括的能力,流程图有助于讨论交流,清晰且高效(图3)．问题4思考判断,选择的多样带来选择的困难,如何选、怎样选既基于经验,又来自理论分析．三个角度都要计算直线和椭圆的公共点,而点C,D的坐标比较复杂,更进一步导致直线CD的方程建立较为困难．感知定点在x轴上,可以先猜出定点坐标,再证明三点共线．

图3

3.3 深度解读,建构探究

问题5 倒过来阅读,先有直线CD,可以怎样理解?怎样逐步得到同样的图形?

问题6 运算起点也可以从哪里出发?完整考虑整个解题运算,尤其注意对特殊情况加以改进,并画出流程图．

3.4 反思阅读,概括推广

问题7 你曾经解决过定点问题吗?你能将本题推广得到一个新的数学问题吗?

问题8 你能概括有关定点问题的一般研究方法吗?在题目阅读、图形观察、思路呈现等方面有什么好办法吗?

设计意图波利亚谈到解题时称,每一个数学问题都不会被彻底解决,一定有可以延伸推广的部分．问题7横向联系相似问题并加以推广,比如可类比得到圆或者双曲线、抛物线等背景下的新问题．问题8梳理解题方法,形式化地提出一般规律,有利于提高解题能力,将思维融汇贯通．

新课程标准提出,学生的阅读理解能力和解决数学问题的能力紧密联系．直观性和抽象性互为表里,问题可以换一种方式叙述．题目中隐藏着新问题,运动变化中有着特殊情况．解题要抓住关键语言,形和数是两条腿,既用于问题阅读理解,也用于思维分析表达,不可偏废,不能就题读题,就题解题．

4 结束语

课堂是数学教学的主阵地．教学设计时,数学概念内容、知识探究过程、解题思路分析等环节中都可以设置相应的阅读内容,引导学生推敲、 探索、读写辨析、总结表达．教师首先提高认识,在潜移默化的渗透中培养数学阅读能力,提高阅读兴趣,提供阅读机会,指导阅读技巧,养成阅读习惯[4]．

当前数学阅读随意性较强,还有很多工作要做．数学材料并不通俗易懂,难以生动有趣,但是有着抽象简洁之美、逻辑严谨之美、多样统一和谐之美．数学阅读需要更高的鉴赏能力,更优的阅读品质,培养阅读能力也是学生对教师的“去依附”,助力学生通向自主学习,服务于人的终身发展．