巧用平移齐次化方法处理一类解析几何问题

周跃佳

［摘  要］ 若直线与圆锥曲线关系问题涉及直线斜率之和或斜率之积，可以通过平移得到齐次方程，能使问题解决更加便捷. 文章初探平移齐次化方法后进行模型建构，再以近年高考中出现的此类问题为例探索平移齐次化方法的应用.

［关键词］ 平移齐次化；解析几何；模型建构

问题的提出

对于涉及直线斜率之和为定值或斜率之积为定值的直线与圆锥曲线相交的解析几何问题，学生的求解过程往往是先设定直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立消元，得到一元二次方程后利用韦达定理得到两根的关系，再与题设条件中的直线斜率之和或斜率之积相关联，最后求出结果. 在求解过程中，联立消元得到的方程的正确性以及由韦达定理得到的式子的形式与题设条件之间的合理转化是运算的关键，这样的解答思路非常清晰，堪称“解题套路”，但是其运算量较大，考生若算错一步，则步步皆错，或者不能将韦达定理得到的式子与目标式进行合理转化，从而以失败告终. 能否找到一种计算量较小且容易获得答案的方法，而且又能一般化？这是一个值得探索的问题. 本文以近年高考中出现的此类解析几何问题为例，探索平移齐次化方法的应用.

平移齐次化方法之初探

模型建构

已知平面内一定点A（x，y）和圆锥曲线上两个动点P，Q，当k+k=k或k·k=k时，我们可以用平移齐次化方法来解决.

解决步骤整理如下：

第一步，將直线与圆锥曲线平移，使题设条件中给定的点平移至坐标原点. 关于平移后的曲线方程怎么书写，可以参考“‘x’需要‘左加右减’”“‘y’需要‘下加上减’”.

第二步，将平移后的直线方程设为mx+ny=1，这样方便下一步进行“1”的代换.

第三步，化简平移后的曲线方程，按各项次数排列整理为整系数方程后，将“mx+ny”乘到一次项上得到齐二次方程，再两边同时除以x2得到关于k的一元二次方程，进而利用韦达定理解决问题.

平移齐次化方法在近年高考中的应用

（1）求l的斜率；

（2）略.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

（1）求C的方程；

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在点Q，使得DQ为定值.

（2）此问的本质是：证明直线MN过定点P，点D在以AP为直径的圆上，存在该圆的圆心Q，使得该圆直径DQ为定值.

例5 （2018年高考全国Ⅰ卷理数

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

解析 （1）略.

平移齐次化方法总结

平移齐次化方法是解决涉及直线斜率之和或斜率之积的直线与圆锥曲线关系问题的一种简捷有效的方法，为学生提供了一种全新的思维视角和运算途径. 在实际教学中，教师有必要在学生对常规联立法掌握良好的前提下展开平移齐次化方法的教学，以开阔学生的思维，提升学生的素养.

下面是几个相关问题的结论，供参考（不要求学生记忆）.