基于数学思维能力培养的课堂教学

何达伟

［摘  要］ 人口素质决定一个国家的命脉，而培养数学思维则是提高人口素质的主要途径之一. 如培根所言“数学是思维的体操”，如何在课堂教学中有效激发学生的数学思维，让学生在学习中感悟数学思想，提升思维品质呢？文章以“圆锥曲线的定点与定值”的教学为例，从学前分析、课程简录与教学思考三方面展开阐述.

［关键词］ 数学思维；核心素养；课堂教学

课堂教学设计是指以一定的教育思想为指导，紧紧围绕教学目标，系統地规划课堂教学内容、过程与方法而作的教学设想与安排［1］. 同一课题在不同教育思想的指导下，会呈现出不同的定位与方案. 教学实践告诉我们，基于数学思维发展的课堂教学设计往往能取得较好的成效. 为此，笔者在这一领域做了大量尝试与研究，收效颇丰.

本文以“圆锥曲线的定点与定值”的教学为例，谈一谈本节课教学设计方法与课堂教学流程，最后阐述一些教学感悟，与君共勉！

学前分析

1. 背景分析

数学思维是一种看不见、摸不着，却又真实存在的高度复杂的活动. 古往今来，研究数学思维的理论颇多，总体来说运用数学思维解决问题是数学教学的主要目标，也是难以实现的目标［2］. 由此，数学思维的培养成了学校教育的主要目标之一. 本节课想要基于数学思维的发展进行教学，必须对学生与教学内容有一个较为深入的认识，做到“知此知彼，百战不殆”.

2. 学情分析

本节课的授课对象虽然是文科班学生，但他们整体素养较高，学习自觉性强，数学基础扎实，大部分学生心思细腻，有较强的计算与概括能力. 整体来说，该班学生的思维水平属于中上等层次.

3. 内容分析

圆锥曲线定点和定值问题具有高度的综合性，这部分内容涉及的知识点较多，如圆锥曲线的定义、性质，以及与直线之间的关系等，同时还与不等式、函数以及方程等代数内容有联系. 想要解决与圆锥曲线定点和定值相关的问题，不仅要有较强的数形结合思想，还要有扎实的代数运算功底，如此才能灵活地转换数与形，呈现出数学学习应有的严谨性思维.

教学目标：掌握圆锥曲线的定义、性质，并能熟练应用几何法、数形结合思想方法等求解圆锥曲线的定点与定值问题.

教学重点与难点：圆锥曲线定点与定值问题的常见解法的预判与优选.

教学简录

1. 回顾知识，切入主题

基于本班学生数学基础较为扎实，学习氛围好，本节课笔者选择从回顾旧知出发，直接切入教学主题，以缩短课堂导入时间，为后续探究活动的开展留下充足的时空. 同时，这种导入模式充满着“数学味”，更符合此阶段学生的身心特征.

师：大家还记得椭圆的定义吗？

生1：平面内与两个定点F，F的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆.

师：很好，你提到的常数要是等于FF，点的轨迹还是椭圆吗？

生1：常数应该大于FF（恍然大悟）.

设计意图 概念是数学的基石，是数学推理的依据，亦是形成抽象思维的基础. 回顾椭圆的概念，意在帮助学生从知识库中提取与本节课教学相关的信息，笔者的点拨意在向学生传达概念的严密性与准确性，以促进学生形成科学严谨的态度. 椭圆定义的回顾，可让学生感知定值与动点之间存在着辩证统一的联系.

2. 搭建平台，引发思考

思维的发展遵循循序渐进的原则，教学设计需要从学生思维发展的特征出发，利用“低起点、小步子”的问题，为学生铺设多层台阶，让学生的思维沿着台阶自然而然地拾级而上. 具有启发性的问题是引发学生思考的关键，也是为学生思维搭建平台的主要基石.

问题1 已知a，b，c为实数，且2a=b+c，若过点P（2，3）作直线l：ax+by+c=0的垂线，M为垂足，O为坐标原点，求线段OM的最大值.

生2：可以先求出与直线l垂直，且过点P的直线的方程，解方程组获得点M的坐标后再写出OM的表达式，最后求出线段OM的最大值.

师：很好！方法正确，思路清晰. 还有其他不同的意见吗？

师：很好！此方法紧扣“动中有定”这个特点进行分析，大家说说“定”指的是什么？

生4：这里的“定”是指图形在运动中，直线l恒过点Q（-2，1），同时PM⊥QM.

设计意图 让学生感知代数法与几何法在解题中的应用，强化学生对运动变化背景下问题的认识，形成探索不变条件的意识，为学生思考提供方向.

一般情况下，解决数学问题常用代数法与几何法. 显然，代数法侧重于“数”，常从方程、坐标等角度进行分析；而几何法则偏重于“形”，一般结合图象的几何性质进行分析. 学生通过对此问的分析，充分感到这两种方法在解题中实际应用的利弊，为后续选择合适的解题方法奠定了基础.

3. 逐层递进，启发思维

随着课堂教学的推进，学生对本节课的教学内容、重点已经有了一定的认识，在此基础上，笔者带领学生一起探讨实例，通过逐层递进的互动，激发学生思考.

问题2 PQ为经过椭圆C：2x2+y2=1中心的任意一根弦，已知点A为椭圆C上与P，Q不重合的任意点. 如果线段AP，AQ的斜率分别为k，k，求kk的值.

生5：kk=-2（快速给出答案）.

师：反应很快啊，说说你的具体解题思路.

师：你能将自己看到的结论应用到实际解题中，非常好！但直接应用一些非定理类的结论时，需注意使用范围，切忌出现张冠李戴的现象. 椭圆的标准方程存在两种情况，解题时不能仅将眼光放在焦点位于x轴的时候，而应考虑周全. 若事先并没有接触过这个结论，大家有没有什么方法能快速解题？

生6：可以从特殊化的角度出发，如将点P，Q设为短轴的端点，点A设为长轴的端点.

师：不错，特殊化思想是解决定点与定值问题的便捷方法，即从特殊情况出发，通过“猜想—验证”的方式解题. 通过分析问题1与问题2，说说你们的想法.

生7：问题1得到的结论是圆上一点M与直径端点P，Q的连线斜率之积kk=-1，该结论与问题2所应用的结论类似.

师：你的观察很细致，有兴趣的同学课后可尝试了解一下“有心圆锥曲线和圆的联系”.

设计意图 引导学生深化对椭圆中心弦性质的理解，提高学生思维的灵敏度，并通过圆与椭圆的性质类比，培养学生思维的深刻性. 课后自主延伸题主要针对学优生，以拓宽学生的视野.

问题3 如图1所示，点A为椭圆C：

学生独立思考后合作交流，并整理出以下思路：

思路1 假设k→点P，Q的坐标→AP，AQ的方程→点M，N的坐标→圆的方程→定点.

思路2 假设k→点P，M的坐标→点Q，N的坐标→圆的方程→定点.

思路3 假设P（x，y）→点Q，M的坐标→AN的方程→点N的坐标→圆的方程→定点.

思路4 假设M（0，m）→点P，Q的坐标→QA的方程→点N的坐标→圆的方程→定点.

思路5 假设k，k→点M，N的坐标→圆的方程→定点.

思路6 假设M（0，m），N（0，n）→圆的方程→定点.

师：大家从条件与结论之间的联系出发，通过不同参数表示点M，N的坐标，获得圆的方程后再整理，让参数的系数为0，由此获得结论. 从以上各种解题思路来看，思路3、思路6避免了解方程组的烦琐. （师生共同探讨典型解法）

设计意图 通过台阶铺设与小组合作学习，启发学生对“圆锥曲线定点与定值问题”的认识. 同一个问题呈现出多种解题思路，能有效拓宽学生的视野，培养学生的创造意识，提升学生思维的广阔性.

4. 提炼总结，巩固提升

随着课堂教学接近尾声，笔者与学生一起回顾并总结本节课的主要内容，提炼解决定点与定值问题的主要步骤为：（1）定值问题，设参、表示所求的量、消元（注意整体代换、特殊情况等）；（2）定点问题，设参、求出曲线方程、让参数失效（注意“设而不求”、对称性等情况）.

教学感悟

1. 解题训练是提升思维的基础

一题多解属于变式训练的一种，本节课中的例题都存在多种解法，这是训练学生从不同角度观察与分析问题的过程，对培养学生的数学思维具有重要作用. 一题多解的设计，具有以下目的：（1）调动学生思维的积极性，增强学生對基础知识与技能的应用能力；（2）锻炼学生思维的灵活性，让学生能从不同角度看待问题；（3）开阔学生的视野，让学生在知识的纵横联系中形成创新思维.

一题多解所涉及的各种解题方法，必然存在一定的通法与巧法，教师应有意识地引导学生认识到通法与巧法的存在. 通法能为学生更好地掌握解题技巧奠定基础，同时教师也要注意避免学生定式思维的形成，不能让学生看到一道题就只会按照固定的思维去思考，那就得不偿失了.

巧法是指针对问题的个性，灵活解决问题的方法，它具有新、巧、奇等特点. 巧法从很大程度上凸显了数学思维的灵活性与敏捷性. 巧法应用得当，就如灵动之水，会成为学生创造性思维的源泉.

解题训练是提升学生数学思维的基础，而摆正通法与巧法的关系是实现解题的关键. 教师应引导学生在通法中求巧法，将巧法有机地融于通法中，两法双管齐下提高学生的思维层次，优化学生的思维品质，提升学生的创新思维与发散思维.

2. 激发思考是思维成长的关键

数学教学从本质上来讲，就是思维过程的教学，数学学习的过程是在大脑中构建认知结构的过程. 用问题激发学生思考，是数学教学成功的关键，也是学生创新意识形成的根本［3］.

激发学生思考可从以下几方面着手：（1）激趣，令学生“愿思”. 如耐人寻味的情境、诱人的悬念等，都能有效激发学生的求知欲，让学生主动去思考. （2）分解难点，令学生“会思”. 高中数学存在不少综合性强、难度大的问题，教师可结合学情，有意识地分解难点，为学生的思维铺设更多的台阶，让学生排除畏难情绪，愿意思考. （3）鼓励创新，令学生“乐思”. 教师可通过一定的教学手段，引导学生从不同视角去看待与分析问题，形成良好的思维品质，尤其要多肯定学生，让学生感到思考带来的成就感.

3. 核心素养是思维发展的归宿

培养学生的学科核心素养是当今教育教学的主要目标，数学思维能力的培养也为发展数学核心素养服务. 作为高中数学教师，可根据实际情况与教学内容，安排一些综合性高、探究性强的教学活动，让学生在活动参与中有效促进思维的成长.

教学活动的安排，最常见的有深入探究、合作交流等，让学生的思维从求同到求异，通过长期的坚持，逐渐形成独立思考、勇于尝试、善于反思、协同合作的学习习惯，获得用数学的眼光看待世界的能力，让思维的培养成为促进核心素养形成与发展的主要途径.

总之，数学是思维的体操，良好的思维能力是发现、分析与解决问题的基础，是掌握知识与技能的根基，亦是形成良好学习习惯与数学观的关键. 因此，教师应从思想上充分认识到数学思维能力培养的重要性，并将这种认识落实到行动上，为促进学生数学核心素养的形成夯实基础.

参考文献：

［1］ 任全红.数学教学设计视角：关注数学思维过程［J］. 教学与管理，2013（36）：108-110.

［2］ 科斯塔，卡利克. 思维习惯［M］. 李添，赵立波，张树东，胡晓毅，等译. 北京：中国轻工业出版社，2006.

［3］ 朱智贤，林崇德. 思维发展心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，1986.