基于戴尔金字塔理论下的高职数学实证教学——以圆锥曲线教学为例

杨浩杰

无锡旅游商贸高等职业技术学校，江苏 无锡 214000

一、高职数学教学的现状

高职学生的自主学习积极性确实存在着一定的问题，特别是在数学学习中。由于学生通过刻苦的中考复习、中考考试，进入高职之后，发现高职的学习压力不如义务制教育的压力那么大，加上学习能力的参差不齐，导致学生的学习目标不明确，学习主动性欠缺，致使学习效果一般。特别是当学生进入三年级学习，由于学测已结束，学习的积极性不高。加上三年级的学习内容为圆锥曲线、排列组合、二项式定理、极限、导数和微分等内容，学生的学习热情和状态不佳。鉴于此，数学教师们也采取了一系列的措施，例如制作精美的PPT、课堂融入与课程相关的微视频、搜集相关的数学史人物传记进行赏析，学生的接受程度确实有所提高，但要达到学生乐学善思的境界，尚有差距。学生对于数学的学习兴趣和数学应用的意识，有待进一步提高。

二、戴尔金字塔理论基础

戴尔金字塔用数字形式形象显示了：采用不同的学习方式，学习者在两周以后还能记住内容（平均学习保持率）的多少。戴尔金字塔理论是由美国学者爱德加·戴尔1946 年首先发现并提出的理论［1］。据调查研究发现，第一种“听讲”，两周以后学习的内容只能留下5%。第二种通过“阅读”方式学到的内容，可以保留10%。第三种用“声音、图片”的方式学习，可以达到20%。第四种，是“示范”，采用这种学习方式，可以记住30%。第五种，“小组讨论”，可以记住50%的内容。第六种，“做中学”或“实际演练”，可以达到75%。最后一种在金字塔基座位置的学习方式，是“教别人”或者“马上应用”，可以记住90%的学习内容。爱德加·戴尔提出，学习效果在30%以下的几种传统方式，都是个人学习或被动学习；而学习效果在50%以上的，都是团队学习、主动学习和参与式学习［2］。

戴尔的金字塔理论的核心就在于学生积极参与到教学中来，在团队合作、小组式讨论中掌握新知，在参与式学习、主动学习中提升数学素养［3］。更简单的归纳就是将“做中学”贯穿始终。因此，在高职数学教学过程中，尽量让学生参与团队学习、主动学习和参与式学习，这是高职数学教学可以进一步改进的地方。学生的听讲、阅读、示范等活动可以利用课前时间去完成，对知识点有所了解。在此过程完成之后，学生就会带着问题进入课堂。教师精心设计课堂，选择合适的教学方法，选取适合学生的学习例题，学生就能更快融入课堂之中。学生在学习过程中，通过主动学习，参与教学的学习环节，不断试错容错，对于知识的掌握程度会不断提高。让学生明确的是教师传授的知识点确实有利于自身的发展，但自己通过参与其中而获得的知识点更能牢固掌握，更容易吸收和应用。戴尔的金字塔理论正是这一道理的明确阐述，就如南宋诗人陆游所言：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”自己切身实践获得的新知，是很难遗忘的，如果能马上应用，或者作为“小老师”教授给其他同学，那么知识的掌握程度就更好了。这就是我们在高职数学教学中利用戴尔金字塔理论需要达到的目标。

三、基于戴尔的金字塔理论下的高职数学教学

戴尔的金字塔理论的核心就是“做中学”，因此针对高职学生的现状，我们需要进一步改善教学设计，增加阶段性知识梳理，更好地让学生进行个性化学习。不管是课前、课中还是课后，都要体现学生的“做”；在“做”的过程中，逐步提高学生的学习兴趣，让学生能乐在其中的“学”；在融入其中“学”之后，还要让学生“学”后有所得，再一次提升学习兴趣，为下阶段的“做”积累知识。

（一）课前教学过程

在教学的课前，教师布置适合学生教学目标教学任务，以便学生开展课前的“做”。首先，让学生通过阅读来明确本堂课（本阶段）所要学习的内容，明确本堂课（本阶段）需要达成的目标。其次，布置适合学生能力的课前预习，让学生在课前目标明确的基础上，先“做”起来。学生在具体“做”的过程中，可以通过网络去查询所需信息，利用班级云班课或者雨课堂将课前“做”完的预习上传至班级中，教师就可以提前知道学生预习的状况了。据此，教师可以进一步调整上课的侧重点并科学设计教学环节。

以抛物线的定义为例，学生在课前通过阅读书本和老师布置的课前预习任务，要先明确本课堂的学习内容是抛物线的图像、定义、方程、性质等，学习目标是有效掌握抛物线的图像、定义、方程、性质等知识点，并能进行简单的应用，而困难之处就是让学生更好地接收这些知识，这就需要教师进一步完善教学设计。

在抛物线的定义课前准备阶段，布置的预习任务是让学生从生活中、从运动中、从专业作业中去找抛物线的影子，此任务可以增加学生学习抛物线的直观性。学生在随处可见的活动和运动中，接触到的都是与自身息息相关的信息，学生的学习兴趣会浓厚一点。类比之前的圆锥曲线（椭圆、双曲线）的定义来预习抛物线的定义，来寻找三种圆锥曲线的差异，对抛物线的定义有个初步认识，在此过程中，学生先要去回顾一下之前所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线）的定义，这些是已掌握的知识，在温习的过程中，能更好地理解圆锥曲线的共性（双焦点、两方程、矩形限制框）；而在预习了抛物线的定义之后，圆锥曲线的个性化差异就显现出来了（单焦点，准线的重要程度，单焦点导致的方程个数增加）。课前通过这种课前任务的“做”，学生会有更好的直观认识（图像），也会带着一些问题进入课程的学习，学习兴趣自然而然地增加一点。

（二）课中教学过程

在课前学生已经明确本堂课（本阶段）所要学习的内容，明确了需要达成的目标。课中则通过设计教学环节，让学生进一步掌握本堂课的内容，达成课堂的教学目标。而在此过程中，教学环节中创造更多的机会让学生在“实践”中去获得新知，在操作中去验证新知，在整理中掌握新知。在课堂教学中，以学生为主体，设置各项活动，学生在积极参与的过程中探索、总结、归纳并熟记本课堂的内容。

以抛物线的图像初识为例，我们采用了“折纸实验”来获得完成。首先，学生观看折纸视频，学生有个初步了解。其次，教师引导学生对折纸步骤总结，帮助学生更好理解。由学生分组讨论，完成折纸步骤的总结。1.长方形的折纸一边找出一个中点，做好标记。2.将该中点与对边任意一点重合，折出折痕，并用笔画出折痕。3.多次反复第二步骤的过程，折出多条折痕。4.利用光滑曲线将所有折痕顺次连接，形成一条曲线。总结上述步骤之后，学生自行折纸，通过手边的纸，按照步骤一次次折出折痕，并最终画出了这么一条曲线。由于学生是通过自己的努力而做出了一条曲线，学生的心情是非常愉悦的，学习兴趣自然而然又有所提高。

不过在折纸过程中，还是会有一些小插曲。由于学生选择的纸张有大有小，有长有短，导致最终学生得到的抛物线的图像的开口有大有小，各组之间的学生在和其他组同学的比较过程中，很容易就会发现这个问题。有了问题，学生学习的热情就不会低，学生就会想着怎么去解决这个问题。此时采用GGB 来进一步验证此过程，学生的学习效果就更佳了。先利用平面软件将学生所画的图形进行抠图，比较其开口大小；而后利用GGB 软件画出所画抛物线，同时画出焦点和准线；学生们最终都可以得到开口的大小，是和焦点离坐标原点距离大小相关的结论。由学生自己来解决这个问题之后，学生的探索兴趣便会大增。

得到折纸的图像之后，立马又有新问题了，那就是如何证明这条光滑曲线就是抛物线呢？此时教学设计是学生自行整理之前的圆锥曲线（椭圆、抛物线）的折纸证明，利用之前的圆锥曲线（椭圆、抛物线）的折纸证明，来证明刚才所画出的光滑曲线就是抛物线。学生总结的证明过程为，利用折纸的对称性可以得到对称图形，并得到相应的边角相等，从而得到三角形的全等，最终得到所需的两边相等。回顾抛物线的定义：“到定点和到定直线距离相等的点的轨迹”，就可以证明多条折线的光滑连线就是抛物线。

在整个教学过程中，通过学生可以操作的折纸实践，让学生在做中发现问题，并想办法解决问题。从学生的折纸实践，到GGB 的操作验证，到整理折纸证明的过程中，学生充分享受到“做中学”的乐趣，学生的学习兴趣得到了一次次提高。

（三）课后教学过程

课前预习数学知识，课中实践数学知识，课后则一定需要巩固，强化数学知识。美国数学家保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）说：“学习数学的唯一方法是做数学题。”中国现代数学之父华罗庚也说：“要尽可能多做些习题。”而高职的学生除了课后的巩固习题之外，要将所学知识和专业相结合。因此，除了正常的课后习题的及时完成之外，课堂知识的产出也是我们所追求的目标。在设计课后的作业布置这一环节中，可以结合专业知识，布置相关专业的课后产出，学生在制“做”课后专业产出的过程中，专业素养提高的同时也提高了数学综合素养。

在椭圆图形和定义的教学之后，与专业课的美术设计教师进行沟通，美术设计老师先推荐《没灵感？试试椭圆形元素设计风！》这篇文章，要求学生仔细阅读，然后要求学生融入椭圆元素结合工艺美术设计专业，并结合冬奥这一体育赛事，为冬奥会的运动项目设计图标，最后以小组为团队合作完成。学生的创意多样，将滑雪、冰壶、跳台等冬奥运动均融入椭圆图形中。在椭圆性质的教学之后，学生课堂上通过视频展示《建筑施工中椭圆形放线法》，已经探究其中原理；学生已在课堂上了解了古老传说故事《杰尼西亚的耳朵》，引出椭圆的声学、光学性质，并能对椭圆性质进行综合运用，因此学生课后的创意作业是继续设计与椭圆有关的标志、图案，同时兼顾椭圆光学、声学性质设计相应的小作品，让学生更好地将椭圆性质和专业融合，进一步提高学生的综合素养。

在双曲线的图像和定义的教学之后，以专业课内容为基础布置学生去设计双曲线字体和双曲线绘画一幅，从而引导学生从艺术的角度欣赏曲线美，提升学生综合水平和创造性思维。在双曲线的性质教学之后，让学生以小组为单位进行合作，结合《立体构成》专业要求，尝试用各种方式搭建广州塔造型（比如用小棒或吸管），从结构学方面提升学生综合水平和创造性思维，同时对双曲线的基本性质也是一次很好的掌握。

在所有圆锥曲线知识点授课完成之后，为了展现课后的产出，在教学设计中，还特意增加了一节圆锥曲线作品赏析课，同学们将每个知识点结束之后的课堂产出的作品汇聚一堂，进行展示和汇报。在整个展示和汇报的过程中，同学们将重新回顾“做中学”的乐趣，不仅很好地回顾了相关专业课的知识，还能更好地掌握圆锥曲线相关知识点，做到真正的数学与专业相融合，数学为专业课程服务，专业课进一步提升数学知识的掌握。

四、总结

戴尔金字塔理论强调“做中学”。让学生在自己的不同阶段都参与到数学的教学和学习之中，乐此不疲地“做”着各项活动和任务，在各种“做”中，体会数学与专业的融合，体会数学与生活的密切相关，体会着自身学习能力的提高。该理论给我们指明了学生学习的最优解，而教师需要合理设置教学环节，让学生在课前、课中、课后都“做”起来，不管是课前预习做起来，还是课中做实验，甚至是课后制“做”课后作品，目标就是在“做”的过程中更好地掌握知识，更好地“学”。