DNR视角下反证法的探析与教学思考
2023-11-13李亚琼徐文彬宁连华
李亚琼 徐文彬 宁连华
【摘 要】 DNR系统包含三个基本原则：对偶性（Duality）原则、必要性（Necessity）原则和重复推理（Repeated-reasoning）原则，其关注知识或思维的关联性、进阶性及情境性.基于DNR理论视角对反证法进行探析，有助于反证法系统运用于数学教学.反证法的关键是推出矛盾，假设中蕴含隐性的矛盾，通过推理将隐性的矛盾变成显性的矛盾；其以矛盾律和排中律为逻辑基础，从辩证思维的观点出发，克服思维定势，运用逆向思维去分析问题和解决问题.在反证法的学习中，学生需要突破原有思维定势，内化形成反证法解决问题的思维方式.在初中数学教学中，反证法思维方法的运用需要基于学生的学习进阶，关注数学知识与真实情境关联性；其运用过程指向，培养学生的逻辑思维能力，提高学生思维的严谨性，提升学生的推理能力和解决问题的能力.
【关键词】 反证法；DNR视角；推理能力；真实情境
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中强调逻辑推理是数学活动中进行交流的基本思维品质，需要学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神[1].《义务教育数学课程标准（2022版）》把“推理能力”作为核心素养在初中阶段的主要表现之一[2]，推理伴随着数学学习过程，不同知识在具体学段的要求呈现也有差异[3]，比如，初中阶段的“推理能力”处于从“推理意识”（小学）向“逻辑推理”（高中）的过渡阶段，其与“推理意识”“逻辑推理”具有一致性和阶段性.从初中开始，数学教学需要关注推理能力的渗透培养.反证法是数学中的一种重要证明方法，在初高中数学教学中有着重要的作用.初中数学教学要求是通过实例体会反证法的含义，高中数学教学要求能够通过数学和生活中的实际案例的学习深入了解间接证明中的一种重要方法——反证法.反证法的运用过程不仅可以培养学生的逻辑思维能力，还能提高学生思维的严谨性，提升学生的推理能力和解决问题的能力.
1 问题的提出
初中数学学习中，我们会先假设某个断言的反面是对的，然后通过无懈可击的推导，得出与所假设事实矛盾的结论，以此来证明原本的断言是对的，这种逻辑论证方式便是“反证法”.反证法思维方式在初中数学学习中虽运用不多，但作为重要的推理思维方式，有其研究价值.因为反证法思维方式本身的特殊性，学生在学习中较难掌握，因此剖析反证法的思维结构有其必要性.比如，初中数学学习中，学生在学习直线和圆的位置关系时，“圆心和切点的连线为什么与切线垂直”这个结论好理解，但证明过程对初中生来说就有点吃力，证明过程中便蕴含反证法的思维策略（见引例的具体分析）.
引例
如图1，直线l是⊙O的切线，切点为D.直线l与半径OD有怎样的位置关系？为什么？
容易看出l⊥OD，但要证明结论成立，有点难度，此时便可采用反证法来突破“困境”.假设直线l与OD不垂直，过圆心O作OD′⊥l，垂足为D′（如图1所示）.因为直线l与⊙O相切，所以圆心O到直线l的距离OD′等于⊙O的半径，因此点D′在⊙O上.于是直线l与⊙O有两个公共点D和D′，而这与“直线l与⊙O相切”矛盾！所以l⊥OD.此处，反证法就是基于原命题条件，假设结论不成立，然后推出明显矛盾的结果.引例中得出：直线l与⊙O有两个公共点D和D′，而这与“直线l与⊙O相切”矛盾！从而说明假设不成立，即原命题得证！
反证法教学渗透难的原因是，学生的思维定势以及教师对反证法策略的理解不太到位.反证法思维策略基于逆向思维，属于间接证明方法.而一般证明会运用直接证明方法，属于正向思维.然而，反证法具有重要的教育价值：可以增强学生逻辑思维的培养；提升学生思维的缜密性；帮助学生打破思维定势，培养学生逆向思维能力.因此，本文将从DNR理论出发，对反证法进行理论探析，以期为初中数学教学提供借鉴与参考.
2 DNR视角的内涵
基于DNR系统的前提和原则的剖析，进行数学教学的再理解.
2.1 DNR系统的前提和原则
DNR的数学教学理论框架（简称DNR）是一个由三类构念组成的系统（具体如图2所示）：基于DNR概念和主张的明确假设（前提）；在这些前提下给出的定义和构念（概念）；根据前提和概念得出的教学原则（主张）.DNR系统的前提主要包括数学、学习（认识论、知识的关联性等）、教学、本体论（知识的主体性），基于这些前提进行数学学习和教学研究，以此确立研究立场.DNR系统包含三个基本原则：对偶性（Duality）原则、必要性（Necessity）原则和重复推理（Repeated-reasoning）原则[4].
2.2 DNR视角下数学教学的再理解
基于DNR理论视角的剖析重新审视数学教学，指向教学的整体性和深度性.根据DNR理论，对数学教学进行研究需基于知识之间发展的依存关系、学生智力需求，并考虑促进知识内化和建构的因素.这些正对应对偶性原则、必要性原则和重复推理原则.对偶性原则强调学科知识的内在发展逻辑及知识间的依存关系，教学中需要关注知识的理解方式和思维方式之间的相互依存.在反证法的教学过程中，教师需要思考反证法的策略运用和其思维方式的融合，使其彼此促进.必要性原则强调需要考虑学生的智力需求及学习进阶，结合学生的认知发展水平与智力水平，激发学生的求知欲、产生学习原动力与学习兴趣，以此引导学生运用反证法策略去解决问题.重复性原则不仅仅指向一般常规问题的练习与实践，而且引导学生自觉内化知识和方法.其关注学生的认知起点，基于不同问题情境渗透培养推理意识，以便内化为思维方式.在反证法的学习中，面对复杂情境下，学生需要突破原有思维定势，抽象出数学问题，通过渗透运用反证法策略，内化形成反证法解决问题的思维方式.
DNR视角关注知识或思维的关联性、进阶性及情境性，其重视知识在不同情境下的呈现，强调基于学习进阶去系统渗透思维策略，思维方式的运用中关注知识的关联性及知识与思维方式的融合性，以便系统梳理知识或剖析思维结構.于是，基于DNR理论视角去思考反证法，将有助于反证法系统运用于数学教学.
3 DNR视角下反证法的探析
论证是引用已知为真的命题来确定某一命题的真假性的思维过程，而反证法是与直接证法相对的间接证明方法的一种[5].在逻辑学中也存在同样的概念，所以厘清反证法的历史背景及反证法的内涵有其必要性.下面基于DNR视角探析反证法的背景，辨析反证法的概念、逻辑基础及思维结构.
3.1 反证法的背景
反证法的出现是为了解决人类思维中的一个结症——无限思维问题.西方的数学证明极其重视证明过程中的逻辑严密性，第一次与第二次的数学危机都与无限（无理数是无限不循环小数，无穷小是极限问题）有关.西方数学家不能给出无理数和无穷小以准确的定义，在处理无限的问题时，借助逻辑中介（反证法）化无限为有限，再完成其证明过程[5].中国的传统数学当时对演绎的证明重视不足，导致传统逻辑学的不完备，大都使用的是归谬反驳.比如，刘徽在《九章算术》中多次用到归谬论证法，墨子也用过归谬法，他们多采用以反证法为核心，以穷竭法为理论基础的方法.刘徽等思想家们使用较多的是归谬法，而西方较多使用的是穷竭法的反证法.
总之，反证法的发展蕴含数学知识是在在解决数学问题中得以不断完善，数学学习中，应基于知识（反证法）发展的逻辑去思考其知识（反证法）的本质，理解反证法的思维进阶.
3.2 反证法的概念辨析
反证法与归谬法都是间接法，反证法用于论证，其目的是确定判断的真实性；而归谬法用于反驳，其目的是说明某一判断的虚假性.这两种方法的实质区别是逻辑形式的不同及语言表达形式的差异.反证法的基本思路：如果证明命题p，先假设非p，由此推出与前提或假设相矛盾的或显然不成立的命题，从而证明了p.归谬法的基本思路：想要说明非p，先假设p，由此推出一个与前提或假设相矛盾的或显然不成立的命题，从而说明非p.反证法的逻辑基础为矛盾律（论证过程中，同一对象的两个互为矛盾的判断至少有一个是伪的）和排中律（论证过程中，同一对象的两个互相矛盾的判断必有一个为真），归谬法的逻辑基础为矛盾律，没有用到排中律[6].总体而言，数学学习中，在证明某个命题时，反证法先假定其结论的否定成立，然后从这个假定出发，概括命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定理、定义、法则、公式等）相矛盾的结果[7]，这样就证明了结论的否定不正确，从而间接地肯定了原命题的结论成立[8].
3.3 反证法的思维结构
反证法是一种重要的数学思想方法，其关键就是否定结论推出矛盾.反证法的逻辑基础是矛盾律与排中律，其证明过程实质是对“矛盾律”与“排中律”的灵活运用.
反证法是从原来要证明的命题结论q的否定非q，来导出矛盾的结果，我们称之为辅助式演绎推理.通过演绎推理，可能会导出四种矛盾的结果：（1）与题设条件相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与数学中已知的定义、定理或公理相矛盾；（4）与日常生活中公认的事实相矛盾.
也可以用逻辑语言去分析反证法，设要证命题为p=>q，反证法即表示为[（p∧┐q）=>F]=>（p=>q）（*）.其中F表示相对于p∧┐q是一个恒假命题.于是（*）式是一个永真式（具体如表1所示），表1是对反证法的逻辑分析，其详细阐释了辅助式演绎推理的逻辑结构.
运用反证法对命题的证明，体现命题的逻辑转化思想，反证法的思维实质是排中律和逻辑性.事实上，命题p=>q的结论q要么真要么假.反证法是从┐q出发，只要能推出矛盾（或与其他真命题矛盾，或与已知条件p矛盾）就行，而这种矛盾的发生完全在于┐q，因此若┐q不成立，则q成立便是必然，这里对结论q使用了排中律[9].当然反证法的运用中逻辑性贯穿其中，其中运用了数理逻辑的知识，其用到“双重否定律”“蕴含等值式”“德摩根律”等.反证法的关键是推出矛盾，其在一开始的假设中就蕴含隐性的矛盾，整个推理过程就是将隐含的矛盾通过逻辑推理变成显性的矛盾，这样的过程蕴含正难则反的思维方式，以逻辑为基础，从辩证思维的观点出发，运用逆向思维去分析问题和解决问题.
运用反证法分析问题的策略路径（具体如图3所示）为：（1）审题，分析命题的条件和结论；（2）否定原命题结论（反设），由已知条件和假设的结论作为推理的基础；（3）论证，由假设出发，根据公理、定义、定理、命题的题设等，运用正确的逻辑推理，推出逻辑矛盾（归谬）；（4）肯定原假设的正确性（存真），通过转化命题使得矛盾显化，从而解决问题.转化矛盾和显化矛盾是反证法的基本证明思路，当然如何转化矛盾、显化矛盾就是反证法思维方式灵活性的体现，这其中也蕴含逻辑能力的渗透和培养.
因此，初中数学教学中，需要结合反证法的理论剖析，以不同知识情境为载体，关注思维进阶性和思维与知识的融合性，思考反证法策略的系统运用.
4 反证法在初中数学中的教学运用
基于DNR理论视角，对反证法进行探析，并结合“数与式”“方程与不等式”“图形与几何”“逻辑推理”等主题知识，分析反证法在初中教学中的思维渗透，以期为初中数学教学提供借鉴与参考.
4.1 在数与式中的运用
“数与式”是初中数学主题知识之一，反证法在该主题知识中的运用，可以促进知识与思维的双向融合，指向知识理解，渗透思维能力的培养.
这是假设带来的信息，然而通过推理得出p，q有公约数2，将“被遮蔽的矛盾”外显化，“外显”的策略是平方，“外显”的结果是产生与假设信息（或者说与“自然数p，q互质”事实）相矛盾的结论，从而得证.若换成证明a是无理数，则处理策略不同，但变中不变的是，寻找倍数关系和利用正整数被某数整除的有穷性不变.此處强调反证法思维方式和知识理解的融合运用，引导学生更好地形成知识系统.
4.2 在方程与不等式中的运用
“方程与不等式”同样是初中数学中的重要主题知识，反证法在该主题知识中的运用虽然不多，但结合该主题知识设计问题情境，关注思维方式形式的进阶性和关联性，克服思维定势，以促进知识建构和逻辑思维能力的培养.
例2 已知a≠0，求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.
分析 假设ax+b=0（a≠0）至少存在两个根，不妨设两个根分别为x1，x2且x1≠x2.则ax1=b，ax2=b，所以ax1=ax2.因为x1≠x2，所以a=0（与题设“a≠0”矛盾！），故假设不成立，结论成立.
例3 已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求证：a，b，c均大于0.
分析 假设a，b，c至少有一个小于或等于0，不妨设c≤0，所以a+b>0，ab<0，因此ab+ac+bc=ab+c（a+b）<0，与题设“ab+bc+ac>0”矛盾！故假设不成立，结论成立.
例2和例3中运用反证法思维策略，反证法思想的运用策略一般为：假设中蕴含隐性的矛盾，通过推理及数学运算，将隐性的矛盾外显化.这样的过程是基于学生的学习进阶，培养学生的逻辑严密性和思维严谨性，以期形成主动运用反证法去解决相关问题的理性思维自觉.
4.3 在图形与几何中的运用
初中几何教学中，有些命题中含“至多、至少、不超过、最大、最小”等术语（限定形式的命题），往往可以从反面思考，使用反证法予以探索解题路径.基于假设，将隐性的矛盾外显化，然后得出与“公理、定理或定义”相矛盾的结论.
例4 已知△ABC和一点M，使得MB+MC>AB+AC，则点M必在△ABC的外部.
分析 假设点M不在△ABC的外部，则
（1）如图4-1，若点M在△ABC的一边BC上，则
MB+MC=BC，因BC 这与“MB+MC>AB+AC”相矛盾，所以假设不成立，则点M不能在边BC上. （2）如图4-2，点M在边AB或边AC上，则MB=AB－MA，MC （3）如图4-3，点M在△ABC的内部，延长BM交AC于点D，则AB+AD>MB+MD，MC （4）若点M在△ABC的任一顶点上，则MB+MC≤AB+AC，这也与题设条件相矛盾，则点M不在△ABC的任一顶点上. 综上可得，点M必在△ABC的外部. 基于假设，枚举所有可能情形，一一得出与题设相矛盾的结论，将内在矛盾转化为显性矛盾，从而解决问题.反证法的运用过程中，虽证明结构比较明确，但在如何得出矛盾的策略会有差异，其具有不确定性和多向性. 运用反证法解决问题的难点在于，学生运用逆向思维的能力较弱，再者就是基于假设，运用相应的策略或推理将矛盾外显.所以，教学中需要关注反证法转化策略的运用，最后得出与相关事实或假设相矛盾. 4.4 在逻辑推理中的运用 反证法在逻辑推理中的运用，需要借助真实情境为背景，将实际问题转化为数学问题，并借助反证法的思维策略从而解决问题，这样的过程培养学生的抽象能力、建模能力，继而提升学生解决真实问题的能力，培养学生的学科素养. 例5 学校组织暑期社会实践活动，要选派 A，B，C，D，E五人中的若干人去参加，选派的条件如下：（1）若A去，则B也去；（2）D，E两人中至少有一人去；（3）B，C两人中只去一人；（4）C，D两人或都去，或都不去；（5）若E去，则A，D都去.问：应该分配谁去？ 分析 这个问题条件多且复杂，直接从已知条件出发较难推出结果，此处可以选择反证法作为解题策略.假设A去，由（1）知B也去，由（3）知C不去，由（4）知D不去，由（2）知E也去，由（5）知D也去，这便与“D不去”相矛盾，所以假設错误，即A不去；假设B去，由（3）知C不去，由（4）知D不去，由（2）知E去，由（5）知D去，这与“D不去”矛盾，所以假设错误，即B不去；假设E去，由（5）知A，D都去，由（1）知B去，由（4）知C去，即A，B，C，D都去，这与（3）矛盾，所以E也不去；现若让C，D去，满足所给的五个条件，所以应分配C，D去. 运用反证法论证时，一个问题只有正反两个方面的结论，否定其中一个方面，就是肯定另一方面，证明的过程不是直接去否定，而是以假设开始，间接迂回地由假设的结果去推导出与事实或条件不相符的结论，从而得出证明结果.当然，由假设去导出矛盾的技巧有很多种，这种能力和技巧需要结合不同情境去呈现.在反证法的运用中，要能用变化、转化的观点来外显矛盾，逐渐淡化反证法的模式意识，并形成自觉运用逆向思维解决问题的能力，逐步形成推理能力. 初中数学教学中，运用反证法的策略解决问题，可以培养学生的逻辑推理意识，提高学生的思维严密性，也可以引导学生经历从生活问题到数学问题的过程，促进学生转化能力的提升和数学抽象素养的培养，从而提升学生在真实情境中解决问题的能力. 参考文献 [1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：5. [2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M]北京：北京师范大学出版社，2022：6． [3]鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力[J].中国数学教育，2022（10）：3-11. [4]王圣慧.DNR视角下的“反证法”教学研究[D].曲阜：曲阜师范大学，2022：1. [5]段耀勇.从反证法的渊源透视反证法教学难问题[J].大学数学，2006，22（02）：147-150. [6]杜国平.反证法与归谬法的现代分析[J].自然辩证法研究，2005，21（03）：48-51. [7][德]克里斯蒂安·黑塞.像数学家一样思考[M].海口：海南出版社，2018.5：85-93. [8]房元霞.解读反证法的逻辑基础[J].中学数学教学参考，2007（05）：20-21. [9]霍振华.反证法的实质是什么？[J].数学通报，1995（05）：18-19. 作者简介 李亚琼（1983—），女，安徽巢湖人，高级讲师，博士，硕士生导师；主要从事课程与教学研究． 徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生导师；主要从事课程与教学研究． 宁连华（1966—），男，江苏丰县人，教授，博士生导师；主要从事数学教育研究.
