借“数量关系”之石攻“问题解决”之玉

2023-11-02印晓燕

数学学习与研究 2023年14期

印晓燕

【摘要】问题解决作为数学学习的核心，是学生数学核心素养发展的关键，旨在培养学生独立思考能力、问题模型意识.文章依托于问题解决，以六年级教学实际为例，关注学生数量关系的分析能力，从素材求变、关系支撑、方法体悟这三个维度探寻有效策略，以此促进学生形成模型意识，提升学生准确表达现实世界的能力.

【关键词】问题解决；数量关系；独立思考；逆向思维；模型意识

作为数学教师，不禁扪心自问，到底什么是数学？简单地说，数学是研究数量关系和空间形式的科学.回顾我国近几十年的数学课程改革，总是把问题解决与数量关系紧密相联.

时常听到任教高年段的数学教师发出这样的感慨：现在的学生在问题解决中欠缺分析数量关系的能力，低中年段数学教师应当重视数量关系教学.笔者深以为然：一些学生由于对数学问题理解不到位、缺少方法支撑，导致他们在数学学习上没有足够的持续发展的动力和独立思考的能力，进而失去对数学学习的兴趣和信心.

综合上述分析，“数量关系”作为小学数学核心内容之一，影响着学生问题解决能力的培养，会是小学阶段落实学生数学核心素养培育目标的一个重要路径.

一、素材求变：让学生的认识从浅显走向深刻

善用素材，能有效帮助学生对问题的思考从直观走向抽象.而数量关系的分析与理解，离不开真实问题情境的创设，教师不妨把静态的生活素材与学生的知识经验有机融合，巧妙创设富有层次的问题引领学生逐步深入思考，在素材变化中促使学生获得对问题解决的直观感知.

在教学“长方体和正方体的表面积”中，教师充分尊重学生已有的生活经验，巧妙利用长方体框架学具，从“给长14厘米、宽10厘米、高6厘米的长方体框架做包装，求包装纸的面积.”这个问题入手，根据长方体六个面之间的关系，引导学生思考“求长方体框架包装纸就是求什么呢？”借助图形直观探寻其中所蕴含的数量关系.同时教师引导学生从中提炼方法，顺势揭示所求长方体的六个面的面积和就是长方体的表面积.

利用长方体框架图有助于学生思维进阶，提高学生思维能力.此时，教师不妨让学生的思维再走远一些，出示问题：“如图1所示，长方体的长是12厘米，高是8厘米，阴影部分两个面的面积和是180平方厘米.长方体的宽是多少厘米？”学生理清数量关系，发现“左面积+底面积=180平方厘米”这一条件，并用具体算式表示所对应的面积，得到8×宽+12×宽=180，就可以求出长方体的宽.这样层层递进的教学，使得学生思考逐步深入，充分展现学生思维的深刻性和灵活性.

巧选素材，适时求变，使枯燥的问题解决变得鲜活、立体，充分地引导学生的认知不断从直观走向抽象，不断从被动接受走向主动思考.如此看来，数学基本技能的教学，不应求全，而应求变，教师应通过变式练习促使学生自主建构知识间的联系，将知识内化为自己的认知结构，使其在掌握具体数学知识的同时，感悟数量关系分析背后的数学思想和方法.

二、关系支撑：让学生的理解从孤立走向联系

众所周知，数量关系的教学不应局限于“解决问题的策略”单元，而是适时渗透于现实问题情境中，为学生创造捕捉数量关系的机会.同时，教师应利用学生已有的学习经验，以种子课为关系支撑，搭建基本数量关系模型，给数量关系理解以生长的力量.而所谓“种子课”，即教师找准学生知识生长点，为后续知识学习做铺垫，帮助学生實现知识学习的正向迁移，体现出学生思考方法的一致性，同时指向数学核心素养的发展，使得人人都能获得良好的数学教育.

简要梳理苏教版六年级上册教材内容及教学难点，如表1所示.

根据表1可以看出，本册教材很多内容都与分数意义的理解密切相关.“求一个数的几分之几是多少”便是一节种子课，学生对数量关系的理解是否深刻、关系模型的建立是否清晰则显得尤为重要.以此为根，学生对问题解决的认知和理解由孤立走向联系，思维也更富有生命活力.

教学“求一个数的几分之几是多少”时，教师应引导学生从理解这个分数意义出发，在比较算法、沟通联系的过程中进一步明晰“求一个数的几分之几是多少”可以用乘法计算.同时教师应着重培养学生良好的思维习惯，比如，知道要找出题目中单位“1”的量，明确找出单位“1”的量是解决问题的关键，理解并写出对应的数量关系式：

单位“1”的量×分率=所对应的量六年级学生已经具备一定的抽象概括能力，能够自主探究学习有关分数除法实际问题.因此，“列方程解决简单分数除法实际问题”这一教学内容能更进一步加深学生对数量关系的理解，这也是本节课学习的关键所在.学生借助之前学习经验，思考“为什么选择列方程来解决问题呢？”

引领学生深度学习有利于学生感悟新旧知识间的内在联系.教师只有把握住重难点，整节课的教学效率才能有所提升.如“按比例分配问题”，原本的数量关系侧重于转化成份数问题来理解.但引入方程后，则可以转化成“求一个数的几分之几是多少”的问题，更便于解决分数问题.比例问题转化为“所求是已知量的几分之几”，相对来说思路更简洁、明了，充分体现了数学的条理性.

从学习方法来看，保持思考的一致性，以数量关系分析和理解为抓手，在比较中把握问题本质，能够让学生在跳一跳摘果子的过程中获得成功的体验，能够有效激发学生数学学习内驱力，使其以更饱满的状态投入学习.

三、方法体悟：让学生的建构从模糊走向清晰

对于学生而言，学习数学的一个重要目的是会用数学的思维思考现实世界.对于教师而言，教学数学的主要任务不是传递知识，而是发展学生的思维能力.在课堂中，教师应采取有效教学策略帮助学生学会思考，启发学生利用元认知对问题进行合理化表征，快速从题目中提取关键数学信息，捕捉其中所蕴藏的数量关系，并根据数量关系选择合适的方法解决，逐步积累数学学习的经验.同时有力推动学生对问题解决的体悟从模糊走向清晰.在比较优化中对已有认知结构进行重组，体现思维的延展性和灵活性，真正体现“学”为中心的教学理念，于深度学习中为学生思维插上灵动的翅膀.

（一）在多元表征中厘清问题思路

从心理学的角度来看，多元表征作为支撑学生概念掌握、关系理解、方法获得的重要载体，立足于以人为本，尊重学生个体差异，起到很好地外化个人思维特征的作用.教师应鼓励学生通过画图、列表、一一列举、假设等策略对问题探究进行多元化表征，其中不同策略方法的选择所体现出来的思维方式也有所不同.而能否找寻其中内在“联系点”是学生总结反思、凝练思路的关键点.至此，学生的学由被动地浅层学习转变为主动地深度学习，真正体悟复杂问题简单化的过程，也由“难者不会”走向“会者不难”，以不变应万变，形成可持续学习的动力系统，为数学核心素养的落地与发展提供有效路径.

例如，全班42人去公园划船，租10条船正好坐满.每条大船坐5人，每条小船坐3人.租的大船、小船各有多少条？

出示问题后，教师先引导学生提取数学信息，并追问“你打算怎样厘清数量关系呢？”以大问题引领学生独立思考.可以发现，不同的学生看待问题的角度不同、理解程度也各不相同.这样的学习活动，有助于学生将策略选择变为一种自我需求，充分激发自我内在学习动机，将内部抽象的思维活动外化为图形、图表、算式等数学语言，实现对问题的合理表征.如图2.

语言是思维的外衣.教师创设平等、和谐的学习氛围，把学习的时间还给学生，鼓励学生说出问题解决所选用的策略以及具体运用的过程.真所谓“授人以鱼不如授人以渔”，学生在解决问题的过程中能够体会策略价值，感悟运用策略不仅可以让问题数量关系愈加清晰、有条理，还能显现数学思路的简洁美.开放的课堂一定会呈现方法多样性的真实样态，每一种策略的选用都有各自的适用性，根据不同的问题选用合适的解题策略，策略本身没有高低之分，合适的才是最好的.

然而策略方法也不是孤立的存在.教师引领学生对问题解决的方法进行重构，有助于学生比较归纳、回顾反思.学生在交流碰撞中发现，不管是运用列方程、画图，还是列表策略，在解决这个问题过程中都体现着假设思想.

（二）在逆向思考中凸显问题建模

问题解决，需要换位思考.换个角度看问题，如同为学生理清数量关系打开另一扇窗.而顺向思维和逆向思维的有机融合，能够有力体现其价值.逆向思维有利于找寻问题中所蕴含的等量关系，是学生运用数学语言表达现实世界数量关系的重要体现，也是培养学生模型思想的有力途径.学生往往遇到数学问题无从下手，是没能透过现象看到问题本质.

例如，立体图形实际问题的解决应建立在公式熟记的基础之上，因此，掌握基础知识、提炼解题方法显得尤为重要，这也是学生在课堂上拥有很好地参与感、获得感的重要体现.

一个长方体容器，长5厘米、宽4厘米、高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满.这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？