不留遗憾：“统计与概率”知识点再梳理

诸士金

“统计与概率”考查的主要内容有：数据的收集方式及图表整理与分析；平均数、加权平均数、众数和中位数等反应数据集中程度的统计量计算与应用；极差、方差等反应数据离散程度的统计量计算与应用；借助样本估计总体等统计观念从数据中提取信息进行判断和说理；生活中的事件分类，简单随机事件及其发生的概率的计算，概率模型与统计模型相结合的计算与运用等.这些知识在中考试题中多年来一直占据相应的分值比，但每年考试结束后都有很多同学感觉遗憾，主要是因为对一些易混的知识点没有厘清，对易错点的反思和归纳不到位.有时候易混点就是易错点，因此我们将“统计与概率”的主要易混易错点结合起来进行如下梳理.

统计易混易错点1：调查的原则把握不准

何时选择“普查”，何时选择“抽样调查”，选择“抽样调查”的原则是什么？不少同学比较模糊，我们结合例1来看：

例1 小明所在的班级有52名同学，就“是否喜欢看足球比赛”这一问题，小明调查了班上的24名男生，其中12人喜欢，于是小明得出结论：我们班喜欢观看足球比赛的人数占全班人数的一半.你同意小明的结论吗？试说明理由.如不同意，你认为应该怎样改进抽样的方法？

对于这样的问题，不少同学根据做题经验，能够判断小明的结论不正确，不同意小明的结论.但要说明如何改进抽样方法，则无从下手.原因在于对抽样调查方式的原则把握不准.我们做抽样调查时应把握两个原则：一是抽取的数据要随机，有代表性；另一个则是要注意抽取的数据不宜过少，要有一定的普遍性（广泛性）.这里小明之所以结论有误，是因为小明抽取的数据主要来源于对男生的调查，过于片面，数据不具有代表性.因此要改进则需在保证一定数量（20人左右）的基础上随机抽取男女生进行调查.

统计易混易错点2：平均数、加权平均数的概念不清

例2 九年级（1）班和（2）班的人数分别为38人和42人，在一次数学测试之后，两班的数学平均成绩分别为81分和83分，则两班同学本次数学测试成绩的平均数是： 分.

一些同学在解决这个问题的时候审题不仔细，草率地进行了如下计算：[81+832]=82（分），而正确的计算则需要先求出两个班级的本次测试数学成绩总分，再除以其总人数，进而求得：[81×38+83×422]=82.05（分）.

统计易混易错点3：数据分析对象不明

我们发现在不少统计题中会以表格形式呈现数据，而这样的呈现方式又常常会让一些同学对要进行处理的数据对象分析不明，如例3.

例3 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：

求这些同学成绩的众数、中位数和平均数.

题目看起来简单，不过一些同学把15作为“众数”的答案则是错误的，这里的数据的分析对象是“理化生实验操作测试成绩”，而不是“人数”，不能看到“人数”为15，一对比是最多，就把15作为众数，而应该是其人数对应的“9分”为众数.

统计易混易错点4：统计图表理解不深

统计在很多中考试题中会结合图表呈现数据，因此读图看表的能力是我们解决此类统计题的基础.读图看表一般需要关注：图表名称、图表中的数据对应关系、图表中需画或填的要求等.

例4 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：

请你根据图中的信息，写出扇形图中a= %，并补全条形图.

这里只呈现这个统计题的一个问题要求，这个要求里需要计算a并“补全条形图”.一些同学理解不深，对图表的对应关系分析不到位，在计算出a之后或是画错条形高度，或是漏画所缺条形.这里需要在计算出a=25%之后，结合扇形统计图的百分比和条形统计图的具体值先计算出总人数为200人[2010%=200（人）]，再根据总人数和测试成绩为6个对应的百分比求出引体向上拉到6個的人数为50人，进而补全条形统计图.

统计易混易错点5：实际解释脱离数据支撑

在一些中考试题中，统计题常常会与实际问题相结合，从而考查同学们运用统计知识解决或解释实际问题的能力，渗透应用意识.如在例4中设置问题：根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议.这里所谓合理，不是简单地说“要加强锻炼”或者“有多数同学已经合格，还有不合格的同学要继续练习”等这样泛泛而谈的建议，应基于数据说话.

统计易混易错点6：统计中数学思想理解欠缺

很多中考统计题中都会渗透数形结合思想、模型思想、样本估计总体和分类思想等，在解决问题中需要我们留意这些数学思想，避免解决问题时出错，如下例.

例5 已知一组数据1，2，3，4，x的极差是4，求这组数据的平均数.

这道题乍一看很简单，极差就是用最大值减去最小值，有的同学答案就是x-1=4，x=5，然后求得平均数为3.他们忽略了一点就是x在此题中并没有说明到底是最大值还是最小值，所以需要分类讨论.除了上述这一种情况，还有一种情况就是x为最小值，即4-x=4，x=0，然后求得平均数为2.因此本题答案应该有两个，即2和3.

概率易混易错点1：判断事件性质时用特例代表常态

中考试题中，有一些考题会涉及对生活中事件的性质判断，常以选择题形式出现.即事件是否属于不确定事件，或是否属于必然事件和不可能事件.我们在考虑这些事件的属性时应以常理常态进行考虑，非常理和常态的特例不能作为判断事件性质的依据.

例1 下列事件是必然事件的是（ ）.

A.打开电视机，正在播放动画片

B.2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军

C.某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖

D.在只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球

少数同学会误选A，问其缘由，认为家里电视上一次关机的时候是动画频道，且这次打开电视正好是动画片的播放时间段，所以是必然事件.这里的理解就是以特例代表常态，错误地对一般性事件进行判断.

概率易混易错点2：事件发生的所有可能结果具有等可能性判断有误

例2 一个不透明的盒子中装有3个大小相同的乒乓球，其中1个是黄球，2个是白球.从该盒子中任意摸出一个球，摸到的球有几种等可能情况？

一些同学会错误地认为盒子中有两种颜色的球，所以摸出的球就是两种情况，即：红球和白球.本题需要分析的是摸到几种等可能情况，正确的答案应该是摸到三种等可能情况，即红球，白球1，白球2.

概率易混易错点3：求随机事件概率中“放回”和“不放回”分析不清

例3 北京2008年奥运会吉祥物“福娃”是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”：将5张分别印有5个“福娃”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：

（1） 取出2张卡片图案相同；

（2） 取出2张卡片中，1张为“欢欢”，1张为“贝贝”；

（3） 取出2张卡片中，至少有1张为“欢欢”.

求例3中的各事件发生的概率，需要关注所取的两张卡片是如何取的，原题中描述为取出一张记录后放回，这样总的所有可能结果就是25种；如果题目改为抽过的卡片不放回，则总的所有可能结果则减少到20种.在不放回的题目条件下，三个事件发生的概率分别为：P（图案相同）=[15]，P（欢欢、贝贝）=[225]，P（至少有一张欢欢）=[925].

概率易混易错点4：求随机事件概率的方法舍本求末

在分析简单随机事件所有可能结果并计算指定事件发生的概率的时候，我们常用直接列举、列表法和画树状图等方法来分析所有发生的等可能结果.由于使用列表法和画树状图法的频率较高，久而久之，很多同学淡忘了直接列举法，看到题就列表或画树状图分析.而当遇到一些列表和画树状图分析比较困难的题目的时候，往往无从下手.

例4 （2016·南京）某景区7月1日～7月7日一周天气预报如下.小丽打算选擇这期间的一天或两天去该景区旅游.求下列事件的概率：

（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；

（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.

本题很多同学用列表或画树状图分析时感到困难，无从下手，其实回到本质直接列举，反而简单.（1）P（A）=[47].（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月2日晴，7月3日雨），（7月3日雨，7月4日阴），（7月4日阴，7月5日晴），（7月5日晴，7月6日晴），（7月6日晴，7月7日阴），并且它们出现的可能性相等.恰好天气预报都是晴（记为事件B）的结果有2种，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月5日晴，7月6日晴），所以P（B）=[26]=[13].因此我们不能过分依赖列表法和画树状图法，在分析所有可能结果时舍本求末，忽视简单事件中可以直接列举所有可能结果的情形.需要提醒的是，还要注意书写的规范性，不能遗漏如“具有等可能性”这样的条件说明.

（作者单位：江苏省南京市六合区横梁初级中学）