一致性：探寻数的概念教学的创新路径——“分数的意义”教学再设计

江苏无锡市新吴区旺庄实验小学 （214000） 姚莉莉

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中明确指出，在“数与运算”教学中，要让学生感悟数的概念本质上的一致性，体会数的运算在本质上的一致性。数的概念是运算和数量关系的基础，数的概念教学是整个“数与代数”领域的根基，只有让学生感悟数的概念的一致性，才能促进学生数感、符号意识、运算能力的发展，有效落实核心素养。

一、源起：基于真实学情的问题现状分析

在日常教学中，如果教师忽视了数的概念一致性，不注重基础内容教学，就像房子没有打好地基，在后续的教学中会遇到很多问题。如学生在解决“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”等问题时，难免出现理解障碍。有的教师则会简单用“单位‘1’已知用乘法、单位‘1’未知用除法”的口诀解释，短期内看效果似乎不错，学生能快速解决此类问题。至于为什么单位“1”已知用乘法、单位“1”未知用除法，学生不明白。

数的概念是基础，运算和数量关系是进阶，因此，无论是概念教学还是计算教学，都应注重算理和算法的双线教学。在实际教学中，教师或许遇到过这样的情况：在根据教材单独教学分数乘法或分数除法时，学生都能结合具体情境，通过画一画、涂一涂等操作活动，理解具体的算理和算法，但当问题以综合题组出现，学生却不能准确解决问题。

这时，我们不妨打破学段间的壁垒，将复杂抽象的新知和学生熟练掌握的旧知联系起来，做到新旧融合。比如，一个数是另一个数的几倍，反过来说就是另一个数是这个数的几分之几，让学生体会“倍”和“几分之几”都是用来描述两个量之间的关系（如图1），感悟数的一致性。

图1

基于对上述现状的思考，笔者尝试对分数的意义进行再教学，强调分数同整数、小数一样，都是由计数单位不断累加而得到的。

二、再设计：基于数的概念一致性的教学实践

“分数的意义”的教学目标是让学生初步理解分数的意义和分数单位，知道把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫分数，表示这样一份的数叫分数单位。通过折一折、分一分、比一比的学习活动，经历度量分数的过程，体会分数不仅可以分出来，还可以数出来。初步理解假分数的意义，从而把握数的本质，感悟分数、整数、小数的一致性。因此，笔者在“分数的意义”单元第一课时的基础上进行教学。

1.真实情境引发认知冲突——初步经历度量分数

活动要求1（出示图2）：黄纸条到底有多长？

图2

生1：我先对折一次，再对折一次，打开后发现平均分成了4份，从而找到粉纸条的。

生2：我是比出来的，粉纸条比黄纸条多出来一部分，恰好是粉纸条的。

生3：都是以粉纸条作为标准平均分。

2.变式突破建构分数意义——初步感知假分数

活动要求2（出示图3）：以粉纸条为标准，蓝纸条和绿纸条分别有多长？

图3

师：这3 张长度不同的纸条都是以谁为标准进行测量的？

生1：都是以粉纸条为标准。

师：在测量纸条的过程中，你有什么发现？

生2：蓝纸条和绿纸条都比作为标准的粉纸条要长。

生3：有几个几分之一就是几分之几。

师：分数单位不断累加就能度量出所有分母相同的不同分数。这些数也可以在数轴上表示出来。以1为标准，仔细观察这些分数，你有什么发现？

生4：有的分数比1大，有的分数比1小。

3.多元表征丰富分数内涵——进一步认识假分数

师（出示一个圆）：如果以这个圆作为标准，平均分成5份，每份是多少呢？

师：其中的2份占这个圆的几分之几？3份呢？4份呢？5份呢？

生4：再往下数需要再添一个圆。

师：你能给它们分分类吗？

生7：分子比分母小的归为一类，分子比分母大的归为一类。

师：分子比分母小的分数叫真分数。分子比分母大的或者分子和分母相同的分数叫假分数。

师：仔细看数轴，真分数在哪里？假分数呢？

生8：真分数在1 的左边，假分数在1 的右边，1也是假分数。

师：真分数和假分数有什么特点呢？

生9：真分数比1小，假分数大于或等于1。

三、感悟：对数的概念一致性教学的反思

为什么学生对分数的分数单位的理解不似整数、小数般熟练？从苏教版教材编排来看，分数单位的地位和作用不够凸显，学生首次接触分数单位后，第二课时就进入“求一个数是另一个数的几分之几的实际问题”的学习中，对分数单位的认识缺少连续性和系统性，尽管在后续学习分数加减法时强调了“分数单位相同时才能直接相加减”，但仍不如“分母相同，分子相加减”的口诀深入人心。久而久之，分数单位的概念和作用逐渐被学生淡忘。

1.强调数的概念的一致性：计数单位的累加

建构数的概念的前提是要理解数的建构方式，所有的数都是通过计数单位的不断累加而来。认识整数时，我们先认识了1（个），10 根小棒捆成一捆，就是10（十），10 个十是100（百）……强调十进制。在教学分数概念时，我们也要强调数的概念的一致性，将同样的认知方法迁移到认识分数中，按照计数单位累加的计数规则建构分数。将本课的核心确定为当标准1 不能直接测量时，如何在标准中找到合适的分数单位进行测量。学生在找、量、数的过程中感悟分数单位的计数属性，体会数的概念的一致性。

核心素养时代的课堂教学对教师提出了更高的要求，教师不能只做教材的“搬运工”，而应将每一节课放到大单元、大领域中进行整体布局，打通知识的前后脉络。在单元复习中，教师通过引导学生回忆整数、小数的计数单位和计数方法，让学生感知分数的写法虽然和整数、小数不一样，但建构规则是一样的，都是基于相同计数单位的不断累加。通过沟通整数、小数和分数的联系，强调数的概念的一致性，感悟数的概念的本质。

2.强调教学内容的一致性：多元表征聚焦分数本质

除了教学常用中的折一折、比一比、分一分等操作活动，笔者还设计了数分数的活动，学生在观察、思考、猜测、验证的活动中，逐步提炼出真分数、假分数的概念，进一步认识分数。学生在不同形式、不同内容、不同对象的数分数中，感悟真分数和假分数的概念及内涵。对于分数而言，这些不同的表示形式是具有共性的，即相同分数的不同表示形式，不管是具体的实物还是抽象的图形，都可以表示出几分之一，进而不断累加得到不同的分数，当超过1时就产生了假分数。

不同形式、不同大小的数都能在数轴上体现出来，数的概念的建立离不开数轴。笔者设计了两个不同层次的观察数轴的活动：第一次把度量纸条过程中产生的分数写到数轴上，感悟分数是通过相同计数单位的不断累加得到的，它可以用来表示比1小的数，也可以表示比1 大的数；第二次把圆片平均分并用分数表示，将对应的分数写到数轴上，学生通过数轴上不同分数所在的位置就能理解真分数都比1 小，假分数大于等于1。让学生直观感受到分数也是数的一种，它具有和整数、小数相同性质的表达方式和计数规则。学生在不同图形、不同活动、不同手段的教学中感受数的一致性。

3.强调学习方法的一致性：逐步养成“三会”核心素养

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。引导学生思考如何表示纸条的长度，当不能再用以往经验解决问题时，启发学生动手操作、观察比较如何找到更合适的方式准确表达测量对象的长度，并掌握数学结论和方法。

要培养具有创新精神的学生，教师应当设计能让学生经历再创造的活动，让学生在自主探究、不断思考、辨证反思的过程中发展素养，在探究数学本质的过程中感悟数学的抽象性和严谨性，感悟数学之美。

在以核心素养为教育导向的背景下，数学课程内容应当立足学生核心素养的发展，注重课程内容结构化，即对教学内容进行结构化整合，构建发展学生核心素养的路径，体现数学学科的育人价值。