因地制宜：学生量感培养的有效路径——以“认识公顷”一课为例

南通高等师范学校附属小学 （226009） 施荣兵

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，量感主要是指对事物的可测量属性及大小的直观感知。量感是数学核心素养之一。在学段目标中，第一学段要求学生形成初步的量感，第二学段和第三学段都要求学生形成相应的量感，可见学生量感的培养贯穿整个小学阶段。因此，教师在备课时需认真思考教材上的素材是否符合学生的知识基础和生活经验，当素材不能满足培养学生量感的需要时，教师不应拘泥于教材给定的素材。教师要善于揣摩教材编者的意图，根据教学内容和学生的实际情况因地制宜地开发教学资源，创造性地使用教材，引领学生开展高效的学习活动，使学生形成较为良好的量感。

一、分析教材，基于学生视角寻找适合的素材

教材编排的例题具有一定的普适性，但面对不同地区的学生，有时难免会有些“水土不服”。教师在教学有关量感的新课时，首先要认真分析教材，站在学生的角度确定教学的重难点，寻找身边适合培养学生量感的教学素材。学生每学习一个新知识点，教师要全面考虑“以学生现有的知识基础会遇到哪些困难”“以教材的素材进行教学能不能产生较好的教学效果”等问题。如果教材上的素材满足不了学生的学习需求，教师就要思考“还需要哪些素材的辅助”“怎样才能顺利让学生完成相应知识点的学习”。只有准确把握学生的学习起点，选择合适的教学资源，教学才能做到有的放矢，才能顺利完成一节课的教学。

苏教版教材五年级上册“认识公顷”一课中的公顷是个比较大的面积单位，学生对这个较大面积单位的感知不可能一蹴而就，要让学生顺利建立量感，素材的选择尤为重要。

在学习公顷这个新的面积单位之前，学生的知识基础是在三年级下册认识的平方厘米、平方分米和平方米这几个较小的面积单位。而在这节课之前，教材也只是侧重于平行四边形、三角形和梯形面积公式的推导以及相关面积问题的计算，并无有关量感的铺垫。也就是说，在学习公顷之前，学生头脑中只有在三年级学习面积单位时建立的几到几十平方米概念，而且中间一年多的时间没有关于面积的任何训练，部分学生对平方米这个面积单位也已经感到模糊，一下子跨越到公顷（10000 平方米）这个较大的面积单位，学习势必不可能一帆风顺。

教材是以四个著名景点的面积为素材（如图1）导入新课，目的是让学生对公顷这个新的面积单位有初步的认识。

图1 教材上的素材

通过课前调查发现，绝大多数学生没有去过这些景点，个别去过的学生对这些景点也没有面积大小的概念。显然，这些素材远离学生的生活实际。因此，如果只用这些素材引入新课，学生就只知道“公顷是个新的面积单位”“公顷很大”，对于具体有多大，学生可能连感性的认识都没有。

本节课的教学难点是让学生建立1 公顷大小的表象。教材是先直接给出概念“边长100 米的正方形土地，面积是1 公顷”，然后让学生通过活动建立100平方米有多大这个表象，也就是让28名学生手拉手围成一个正方形，正方形的面积大约是100平方米。在此基础上再让学生通过计算去想象100 个100 平方米是10000 平方米，也就是1 公顷。学生在学这节课之前，对100 平方米的大小并没有概念，因此，即使有了28 名学生手拉手围成一个大约100 平方米的正方形这个即时表象，也很难在此基础上通过想象去感知100 个100 平方米有多大。从100 直接跳跃到10000 ，跨度较大，超过了学生的感知范围，不符合学生的认知规律，以此为基础建立的10000平方米的表象犹如“空中楼阁”。

学生量感的建立，应遵循由小到大、螺旋上升的原则，跨度不能大。教师此时需要思考：学生身边有没有占地面积是100 平方米、1000 平方米和10000 平方米的地方呢？如果能找到，就可以让学生逐步建立100平方米、1000平方米、10000平方米的表象，有助于学生建立比较稳定的1公顷表象。

二、找准参照物，以丰富的现实表象培养学生的量感

教学活动应使学生的认知与身体、环境建立联系。选择的素材应是学生熟悉的，可以因地制宜地从身边找素材，从而让学生通过有逻辑的推理想象，借助熟悉的小量感知大量；有时还需要借助转化量，让学生从其他角度进行感知。学生坐在教室里学习，就算教师创设的情境再生动形象，多媒体技术的运用再娴熟，学生的感知也只是在视觉层面，体验不会很深刻。当“虚拟情境”满足不了学生的学习需求，学生很难在“虚拟情境”中感知较大的量，因此，在真实情境中选择合适的素材让学生感知就相当有必要了。当学生走出教室，以现实生活中的资源为学习素材，抽象的数学知识就会变得直观形象，学生的体验自然会深刻，学习效率自然会提高。

既然学生对教材编排的四个景点（如图1）不熟悉，也没有面积大小的概念，教师就应寻找学生熟悉的景点。例如本校每学期都会组织学生参加校外实践活动，五年级的学生对学校周边的风景区都比较熟悉，如占地面积约21 公顷的“南通城市绿谷”、占地面积约35 公顷的“南通啬园”、占地面积约53公顷的“南通奇妙农场”、占地面积约125公顷的“南通植物园”，学生基本都游玩过这些本地旅游景点。学生熟悉的素材已经找到，下一步就是在现实生活中找到面积是100 平方米、1000 平方米、10000 平方米的地方让学生实地感受，这还是得从学生的身边找起。笔者课前和同年级的几位数学教师一起去测量了几个有代表性的建筑物：一间教室的长为8.2 米，宽为6.3 米（两间教室的占地面积约为100 平方米）；学校有标准的室内篮球馆，篮球场长为28米，宽为15米（两个多一点的篮球场的占地面积约为1000 平方米）；学校的操场是标准的400 米跑道，内圈长方形的长是85.4 米，宽是73 米（如图2），操场跑道圈起来的场地面积刚好接近1公顷。这几个现成的面积原型，让学生有了直观的体验，有利于学生逐步建立比较稳定的1 公顷表象。

图2

三、因“材”施教，在测量和计算中培养量感

小学生以形象思维为主，虽然高年级学生有了初步的抽象逻辑思维，但这种抽象逻辑思维仍需要一定的直观形象支撑。教学有关量感的概念课时，教师要在学生充分感知的基础上，用丰富的表象做支撑，这样才能帮助学生理解抽象的概念。教师除了要在现实生活中找到合适的教学素材，还要整合和优化素材，将其串联起来教学。量感作为一种数学直觉具有一定的抽象性，让学生亲身经历体验过程是培养量感的重要途径，因此，实地感受参照物的大小等数学活动是相当必要的。数学活动既可以是教室内的各种学习活动，也可以是教室外的实践活动，让学生动手与动脑相结合，有助于学生建立较为稳定的量感。教师要充分考虑学生在学习新知时可能会遇到的困难，因地制宜，找到适合学生学习的本土素材，因“材”施教，轻松突破教学难点，使教学过程顺畅，“真学”就会自然发生。

教学“认识公顷”之前，笔者带领学生一起测量了教室的长和宽、体育馆内篮球场的长和宽以及跑道内场地的相关数据，并引导学生估算出各场地相应的占地面积。学生在测量活动中锻炼了的动手能力和合作能力，在计算中对较大的面积有了直接的体验。在操场上测量时，笔者还组织28 名学生在操场上手拉手围正方形，并测量围成的正方形边长，再估算面积。学生得出结论：28 名学生手拉手围成的正方形面积大约是100 平方米。对比围成的正方形和两间教室，初步渗透面积为100 平方米的图形形状可以不同的理念，为上新课时让学生理解面积是1公顷的图形形状的多样化做铺垫。

课堂上，笔者利用课前学生测量的数据和学生一起计算出一间教室的占地面积为8.2×6.3=51.66（平方米）、标准篮球场的占地面积为28×15=420（平方米）、操场内圈面积为85.4×73+3.14×36.5×36.5=10417.465（平方米）。由于此时学生还没有学习小数乘法和圆的面积公式，在计算时可简单告诉学生计算方法后直接用计算器算出结果。

两间教室的占地面积大约是100 平方米，学生能直接感知，从而建立100 平方米的量感；两个多一点篮球场的占地面积大约1000 平方米，学生能在简单地推理中感知，也能建立稳定的1000 平方米量感；操场内圈面积为10417.465平方米，大约是1公顷，至此，学生建立1公顷的量感。

对于教材上“边长100 米的正方形土地，面积是1 公顷”这句话，有些学生会错误地认为只有边长是100米的正方形面积才是1公顷。通过和操场内圈面积的对比，学生明白操场内圈面积减去417.465 平方米剩下的图形形状可以有很多种，就不再有这样的误解了。在测量和计算中，学生对1公顷的大小有了一个直接的感知，对1 公顷大小的图形形状的多样性也有了认识，一举两得。

测量是十分重要的技能，其目的是得到精确的数值，而量感更多地体现在不借助工具的前提下对数量有较准确的感知。在学生建立了稳定的1 公顷表象之后，笔者再结合学校的鸟瞰图（如图3）让学生估一估学校的占地面积，以操场内圈面积是1公顷左右为基础进行估算：操场除了内圈，剩余部分面积大约为操场内圈面积的一半，也就是0.5 公顷，整个操场的面积约1.5公顷；操场占整个学校面积的三分之一，进而可以估算出整个学校的占地面积约4.5公顷。通过操场内圈面积推算学校的占地面积，学生在推理中对公顷的认识又进了一步。

图3 学校的鸟瞰图

学校是学生再熟悉不过的地方，一个五年级的学生已经熟悉学校的每一个角落，以学生最为熟悉的场地作为教学“认识公顷”的素材再好不过。在学生认识完身边有关公顷的素材，有了量感的基础后，再把教材编排的四个景点呈现给学生，效果会更好。

四、课外延伸，深化学生对量感的理性认知

一节课的时间有限，量感的培养仅靠课上的学习难以全面深入。教师要在吃透教材的前提下，在课后进行适度“扩容”，布置有针对性的课外拓展作业，使学生量感的培养过程变得更“丰满”。学生的课外拓展作业也要因地制宜，教师可根据学习内容，引导学生课后观察熟悉的家乡、观察地大物博的祖国。在真实情境中应用所学知识解决有关度量的实际问题，不仅有助于学生巩固在课堂上学到的知识，同时也滋养了学生的家国情怀。

学生学完新课后虽然已经形成初步的量感，但对公顷的认识还处在从感性到理性的过渡阶段，还需要在实际应用中进一步深化。认识公顷，不仅是认识一个面积单位，建立稳定的1 公顷有多大的表象，还要养成用定量的方法认识和解决实际问题的习惯，形成抽象能力和应用意识。教师要有单元整体教学的视野，不仅要完成本节课的教学目标，还要全面考虑所学知识点在整个单元乃至整个小学阶段学习中所处的地位，有针对性地进行教学延伸。

教学完“认识公顷”这节课后正好是个周末，笔者给学生布置了两项课外拓展作业：（1）想办法了解自己家所在小区的占地面积是多少公顷；（2）查阅相关资料，看看自己游玩过一个风景区的占地面积是多少公顷。周一进行作业汇报交流时，学生都能准确说出自己家所在小区的占地面积，小到几公顷，大到几十公顷。学生游玩过有名的风景区主要有：南京雨花台风景区占地面积约153.7公顷、苏州虎丘山风景区占地面积约72.8公顷、常州中华恐龙园占地面积约40 公顷、天安门广场占地面积约44公顷、南通能达生态通廊总占地面积约213 公顷、如皋水绘园占地面积约27 公顷、南通狼山风景名胜区总面积约11.27平方千米……学生了解了自己家所在小区的占地面积和“回头看”游玩过的景区，既深化了对公顷的理性认知，也为下节课学习“平方千米”做强有力的铺垫。

学生量感培养的素材从熟悉的现实生活中来，建立量感后在实际运用中得以巩固和提升，在活学活用中深化对量感的理性认知。学生在拓宽数学视野的同时学习逐步走向深入，学生的核心素养也实现自然进阶。