基于教学与竞赛协同合作的数学建模课程创新教学设计研究

2023-10-25高晶英青梅何斯日古楞额尔敦布和

创新创业理论研究与实践 2023年18期

高晶英，青梅，何斯日古楞，额尔敦布和

（呼和浩特民族学院数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010051）

数学建模已经成为现代社会中解决实际问题的重要手段之一，它是将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学方法进行求解的过程。数学建模是一门跨学科的综合性课程，学生主要通过学习课程和参加数学建模竞赛掌握基本的数学建模理论与方法，并应用其解决实际问题。目前，国内研究如何提高数学建模课程教学效率和充分发挥学科竞赛作用的成果有很多：罗志坤、孟秦[1]提出可以通过选择优秀案例、注重课后实践、设置学习目标、开展智慧教学等具体教学方法，进行数学建模课程教学改革，提高教学效果；陈雅颂、汪晓银、石洛宜[2]阐述了“学数学、用数学、融数学”的教学理念，将“三促四融，五能并举”贯穿在数学建模课程教学活动中，建立了系统、有效的数学建模课程新型教学模式；张阳[3]认为教师可以依据学情，指导学生通过模仿、迁移到创新三重进阶，提高数学建模能力和数学素养；刘杰、李金华[4]构建了慕课、翻转课堂、课程思政和创新实践耦合的“三课一实”课程教学体系，并对其进行了详细探讨；孟军、白钰莹、张战国等[5]通过问卷调查形式进行研究，证明参加数学建模竞赛对大学生创新能力的培养具有显著促进作用，尤其对提高大学生创新实践操作能力和创新学习能力更有效；尧雪莉[6]以所在学校为例，分析基于数学建模竞赛的高校创新创业教学改革的重要性、实现路径、实践成效及推广价值；由守科、俞芳[7]深入分析了高校大学生数学建模竞赛的意义以及竞赛与数学教育教学方面存在的问题，同时结合存在的问题对高校数学教育教学改革提出建议；李建平[8]论述了数学建模竞赛对学生的影响及其在教学中的作用和意义，分析了影响数学建模竞赛成效的制约因素，提出了数学建模竞赛管理体系建立策略；高晶英、青梅[9]探讨通过数学建模课程理论教学和竞赛实践操作，培养学生创新意识、知识应用能力、自主学习意识和表达能力，使学生形成数学建模思维。目前，有关数学建模课程的课堂教学和学科竞赛之间协同合作的研究成果较少。

因此，本文主要研究课堂教学与学科竞赛之间协同合作的数学建模课程创新教学设计。该教学设计不是单一地使学生在课堂上学习数学建模知识、课后参加数学建模竞赛实践，而是将课堂教学和建模竞赛进行资源整合，在课堂教学内容和活动中融入实际竞赛题目的分析、建模、求解和结论分析等环节，同时鼓励学生参加数学建模竞赛，使教学和竞赛相辅相成，充分发挥两者的作用，进而提高学生的数学建模能力和创新能力。

1 数学建模课程创新教学设计的重要因素

1.1 教学理念与目标

在传统的教学模式下，数学建模课程课堂教学和学科竞赛之间的关联性不强。因此，应进一步增强课堂教学与学科竞赛的协同性，将课堂教学与学科竞赛有机融合，最大限度发挥两者的作用，培养学生数学建模思维和应用数学知识解决实际问题的能力。

数学建模课程的教学目标有三个：（1）能力目标。培养学生数学建模思维，提升学生创新意识，培养学生自主学习、语言表达、实际操作等综合能力，使其能够撰写一篇合格的数学建模论文。（2）知识目标。使学生掌握数学建模的理论和方法，学会常用的数学建模基本思想、基本方法和基本过程。（3）素质目标。学生能够将数学建模的理论知识与社会问题相结合进行分析，确立正确的价值观。

1.2 教学内容分析

数学建模课程采用的教材具有实用性特点，每个章节内容都由一个实际案例组成，从简单到复杂，循序渐进提升难度。本课程的学习重点是数学建模的问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和结果分析等。问题分析既是学习重点也是学习难点，对一个实际问题进行全面分析，往往需要学生具有综合分析能力。此外，模型的稳定性分析也是一个难点。

在教学内容选择方面，如果只讲解教材上的案例，学生只能掌握基础性知识，无法达到更高阶的课程教学目标。因此，数学建模课程教学内容为教材案例和优秀竞赛论文相结合。教材案例可以选择如“椅子放平”“铅球掷远”等生活中常见的问题。优秀数学建模论文考虑选用历年全国大学生数学建模优秀论文，如“FAST 主动反射面形状调节研究”“‘同心协力’策略研究”等，以此体现数学建模课程的“两性一度”。此外，针对学生的不同学习需求，在数学建模课程授课过程中，教师提供了自制的部分案例讲解视频，为学生推荐优秀的MOOC 课程学习资源。

1.3 融入课程思政

由于数学建模课程内容具有多样性，相比于其他数学课程，教师更容易在教学内容中融入课程思政内容，所以，在数学建模课程中加入课程思政内容的研究文献较多[10-13]。教师在讲解数学建模课程时，挖掘教材案例和建模竞赛题目中的思政元素，比如在讲解教材中“铅球掷远”问题时，由于这是一个与体育项目相关的案例，可以通过2022 年北京冬奥会引出主题；在讲解数学建模竞赛题目“FAST 望远镜主动反射面形状调节研究”时，通过视频展示我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜——FAST。

1.4 学情分析

在开课之前，要进行学情分析。第一，由于该课程是为大学二年级本科生开设的，学生已经通过其他数学课程学会了基本理论知识，还学过MATLAB 程序语言，有一定的实践基础；第二，每个班级学生人数不多，学生对理论知识掌握情况不同，一些学生具备数学建模的经验；第三，大部分学生对理论性较强的内容学习意愿不强，但是都具备较好的实践操作能力。

1.5 过程与方法

课堂教学按照以下几个环节展开：

每个学期，教师根据数学建模竞赛的参赛规则，将班级学生进行分组，每组3 人，每个班级可以分成10～12 个小组。学生以小组形式参加课堂教学活动，培养团队协作能力。课前，教师通过学习通平台发布每节课程的学习任务，学生需要了解与本节课程案例相关的背景知识。

为方便学生使用计算机软件解决问题，数学建模课程安排在数学实验室授课。课上，教师的主要任务是案例讲解，且教师讲解和学生讲解相结合，教师在讲解过程中逐步引导学生完成问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、结果分析等步骤。在问题分析步骤，教师通过与学生互动，了解学生完成课前任务的情况。在整个数学建模过程中，教师让学生用MATLAB 作图表，训练学生的实际操作能力。教师充分利用学习通平台的课堂活动小功能，选择学生回答问题或鼓励学生抢答，根据每名学生的回答情况给予积分奖励，以此提升学生的课堂参与度。通过教师对部分模型的讲解，学生对数学建模的基本思想、基本步骤有了一定了解和掌握，能够选择合适的数学建模案例进行讲解。在学生讲解过程中，教师和其他小组学生可以提问并进行点评。授课学时可按以下方式进行分配：教师讲解为36 学时，其中教材案例讲解24 学时、优秀竞赛论文讲解12 学时；学生讲解为18 学时，学生选择教材案例或优秀竞赛论文讲解均可。根据每个学期的具体情况，教师可调整学时分配，制作整个学期的教学安排表。

课后，学生通过学习通平台发帖讨论和提交作业。发帖和作业的内容可以是课堂上没有完成的任务，也可以是课外引入的案例。此外，教师要求学生在每个学期的中期提交一篇数学建模论文，在4～5 月份参加数学建模网络挑战赛。

1.6 考评与反馈

本课程的学习评价由过程性评价和终结性评价两个部分组成，每个部分的成绩各占50%。过程性评价由6 个部分组成，分别为课堂互动、考勤、作业、学生案例讲解、论文写作和参加竞赛。终结性评价成绩由期末考试成绩决定，主要是考查学生对数学建模课程中的常用概念、基本方法、模型建立和结果分析的掌握情况。

1.7 教学成效

教学成效主要从三个方面评定：第一是学生在课堂上的表现，第二是学生在数学建模中的获奖情况，第三是学生在其他创新创业比赛中的成绩。在学习态度方面，学生能够积极参与课堂讨论，独立思考问题，并与同学、教师充分交流与讨论，对问题进行比较全面、深入的思考，同时基本掌握数学建模常用工具MATLAB 的使用方法。近三年，在任课教师的鼓励下，学生积极参加数学建模竞赛，多次获得省级以上奖项。此外，学生积极申请全国大学生创新创业训练计划项目并获批2个国家级和1 个内蒙古自治区级项目，在中国国际“互联网+”大学生创新创业大赛和“挑战杯”内蒙古自治区大学生课外学术科技作品竞赛中取得了成绩。

2 课堂教学案例

本节以姜启源、谢金星、叶俊编著的《数学模型》（第五版）[14]中的“铅球掷远”为例，简单阐述授课过程。“铅球掷远”案例是一个关于体育运动的数学建模问题，教师在教学过程中，通过2022 年在北京举办的第24 届冬季奥运会引出课程思政内容，即本节课的主题。

本次课程的主要内容是对铅球掷远案例进行问题分析、建立模型、模型求解、结果分析、模型应用以及敏感性分析。首先，教师与学生互动，得到铅球掷远距离分别与铅球初始速度、出手角度和出手高度之间有关系的结论。其次，教师在问题分析的基础上提出模型假设，并建立两种数学模型，分别是不考虑出手高度的简单模型以及考虑出手高度的改进模型。根据斜抛运动的基本定律可以建立铅球掷远距离与初始速度、出手角度之间的简单模型s=v2sin2θ/g，其中v是铅球的初始速度，θ是铅球的出手角度。当θ=π/4 时，得到铅球掷远的最大距离s1=v2/g。再考虑出手高度，得到改进模型，其中h是铅球出手高度，g是重力加速度。根据隐函数求导法则，得到最佳出手角度和最远投掷距离。

下面对改进模型的结果进行分析。得到最佳出手角度和最远投掷距离之后，可以知道θ＜π/4。同时分析最佳出手角度和最远投掷距离的两个函数：当v变大时，θ和s2都会变大；当h变大时，θ会变小，s2会变大。大致上s2与v2成正比，s2与h1/2成正比。因此提高v远比提高h有效。当给学生讲解这些结论的时候，如果能利用MATLAB 等软件画出相应的变化曲线，则会取得更好的教学效果，如图1 和图2所示。从图1 和图2 可以直观地看出，当v和h变大的时候，最佳出手角度和最远投掷距离的变化情况，证明了以上结论。

图1 最佳出手角度的变化曲线

图2 最远投掷距离的变化

下面讨论两个模型的最远投掷距离s1和s2，通过推导很容易得到s2=s1+h。该结论表明，当考虑出手高度时，改进模型最远投掷距离比简单模型最远投掷距离多出一个出手高度。通过画图可以更直观地看出该结果，图3 画出了h=2m，v=12m/s，θ=40°时，模型一和模型二中铅球在空中位置变化曲线，分别用实心圆和空心圆代表铅球位置。可以看出，当铅球落地时，两个模型最远投掷距离之差约等于铅球出手高度。

图3 铅球在空中位置变化曲线

最后，对两个模型的结果进行敏感性分析，讨论v、θ、h的微小改变对最远投掷距离s的影响。当分析模型二中v、θ、h有微小改变对投掷距离的影响时，可以画相应的图，使学生更快地理解教学内容，如图4 所示。图4 中画出了当h=1.8m、2.0m、2.2m，v=8～12m/s 时模型二投掷距离随出手角度的变化曲线，其中出手角度的变化范围为，为最佳出手角度，实心圆、三角形和正方形分别表示出手高度为1.8m、2.0m、2.2m 时的投掷距离变化曲线。从图4 可以看出初始速度v的增长对投掷距离影响很大，而出手角度发生变化时投掷距离的曲线近似横线，说明θ微小改变对投掷距离的影响很小。此外，通过图4 还可以看出h微小改变对投掷距离的影响也很小。

图4 出手角度变化时投掷距离变化曲线

对模型进行结果分析和模型敏感性分析是数学建模过程中的难点，教师通过MATLAB 等软件画出相应的图像，能够使学生加强对知识点的理解，同时，通过画图可以提高学生使用数学软件解决实际问题的能力。课后，学生通过学习通平台讨论2019 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛A 题“好风凭借力，送我上青云”，根据题目要求试建立相应的数学模型。