基于PDSIPE的微积分课程知识点总结与梳理

［摘 要］随着教育信息化的发展，项目驱动、数据驱动和系统集成（PDSIPE）的理念逐渐被广泛应用于微积分课程教学中。将PDSIPE教学模式引入微积分教学中，能够调动学生学习的积极性，提升学生的合作能力和计算机应用能力。本文通过对PDSIPE理念进行解读，提出一种以知识点梳理为基础、项目驱动为导向、数据分析为手段的微积分课程教学方法，旨在探索基于PDSIPE理念下的微积分课程教学，从而提高学生的实际操作能力和培养学生的创新思维，以期为提高微积分课程教学质量提供参考。

［关键词］PDSIPE；微积分课程；教学流程；项目型教学

［中图分类号］F23文献标志码：A

在职业场景项目行动教学理念（PDSIPE）影响下的课堂教学规划和传统课堂教学规划有所不同。首先，教学规划是以实用型精英培育为基础设置教学的方案，需要落实到真正的教学场景中。当前，关于“微积分”以及“高等数学”的课程现已普及至各大高校中的非数学专业中，并且对于此类课程的知识系统现已发展得非常完备，除了需要按照不同专业的知识系统对课程内容稍作调整以外，已经无法进行改动。其次，现如今社会信息化、自动化、网络化等方面飞速发展，微积分在不同范畴中的应用也逐渐加深。与此同时，对学生的数学涵养、对实际问题的抽象建模技能、剖析处理问题的水平的要求也更加严格，对于微积分教学改革的限制也更加严谨。在进行微积分教学时，史迪沃特（J.Stewart）对于微积分概念的解析需要从几何、数值、代数以及语言这四个方面并按照其特定的方式进行展示。笔者通过对微积分教学过程的探究，把项目研究法运用至微积分教学过程之中，并且经过实践证明，学生的学习积极性明显提高，也丰富了原有的传统教学方式。

1 PDSIPE理念下的课程教学基本流程

对于PDSIPE（职业场景项目行动教学理念）课堂基础教学环节大致分为职业含义认识、项目创建、设置项目场景、项目开展、项目产品以及项目测评这六个层面，如图1所示。

第一，教师和学生是相辅相成、密不可分的。教师在教学过程中主要扮演了项目的领导者和引路人的角色，课堂教学设计的过程不仅包含教师的教，还需要加入学生的学，因为对于课堂教学活动来说，其实质就是教和学的双边行为的综合，教师所实施的每个教学行为都指向的是学生的学，并且都会使学生做出学的行为，而学生的学又都会对教师教的行为产生反作用。因此，教学行为就是将教师的教和学生的学融合到一起的过程，并且二者总是同步的。第二，教师和学生之间的关系能够表现出主体间性的存在。

上述六个层面将现实的职场作为背景，将开始、实施、结果三个阶段融合成一个系统。职业含义认识的开始阶段为项目实施阶段指引方向；实施阶段属于开始阶段的进一步发展；项目的创建、创建项目场景、项目的开展以及项目产品都需要借助相应的学科知识作为理论基础来帮助项目得以实施；结果阶段属于对上述两个阶段成果的检验，培育学生的专业技能以及非专业技能。

2 基于PDSIPE的微积分课程教学探索

基于PDSIPE理念的课堂教学，需要按照课程培育宗旨以及课程计划，挑选适当的教学素材来实施应用型的教学行为，开展能够带来实际效应的課堂教学活动。

2.1 职业意义认知环节

即使自身已经拥有了优异的自我发展技能，但是脱离了地区发展的需要，个人发展也会被禁锢。所以，在职业含义的认识过程中，教师不仅要教授和个人未来发展有关的职业技能，还应该重视所在地区的实际需要。爱好、优势、个性、知识、能力、智力、情感、思考的方式方法、道德标准等都属于职业含义认识过程中非常重要的一部分。另外，对于真实职场状况的认识也十分关键。

2.2 项目创设和项目情景创设环节

在项目创建以及项目情景创建过程中，教师处在中心位置，所需要担任的职责也是十分关键的，其挑战和压力都是比较大的，教师需要经历此教学理论形式的整体化的练习，还需要具备专业范畴内的真实工作阅历。需要教师斟酌所选项目的标题并且创建真正的职业情景，找到真正的项目并设置项目的一些细节，同时还要斟酌课程系统能否帮助学生提高自身的学习技能等问题。在项目创建以及项目情景创建过程中，教师还应该重视文化环境的养成，此处所提到的文化环境指的是物质以及人文文化环境在内的文化环境的总和［1］。在物质文化环境中，项目标题、项目情景都是根据现实的职场环境设置的，应该顾及学校环境以及地点、企业环境等相关的物质环境，这些物质环境是否贴合项目自身，以及物质文化环境是否可以促进项目制定和项目发展。

2.3 项目实施环节

项目的开展程序和上一程序的相似之处在于，二者都属于项目教学过程中至关重要的一部分，并且都需要在真正的职场情景中实施，教师和学生在两个流程中所扮演的角色以及所处的位置有所区别。二者的不同之处是前者更为细致，比较重视的是知识的存储和利用、计划的择优使用、项目实践过程的监管制度，以上流程都可以被称为知识的汇总使用过程。

在项目开展过程中，不仅要关注知识的汇总使用，还需要关注学生在开展项目时对于精神层面的升华，比如在项目开展时使用自主和小组协作的方法培养学生的外化能力。外化指教育人员帮助及指引受教育者将思想道德观念转变为行动，它的本质就是受教育者对于思想道德标准的实践。学生使用自主以及小组协作的方法，按照项目开展流程，借助在项目开展过程中形成的团队协作、分享资料、互相尊重、平等交流、诚信友爱等精神品质在实际场景中的运用，来促进自身的全面发展。

2.4 项目产品和评估环节

项目产品的展示和测评程序属于PDSIPE教学理论最终的流程［2］。以上两个环节能够同时开展，项目产品的展示历程也就是开展项目测评的历程。关于PDSIPE的“评定”具体指的是对于项目的产品、开展流程、战略和方式、专业技能、态度的养成及改变、教学目标等多种因素的价值判定。

在美国著名高等教育家克拉克·科尔（Clark kern）看来，在一个社会之中最少要存在三种高等教育学校。一种是X形式，学校的办学宗旨就是学问，主要职责就是培育研究生、进行科学探究，达到国家或者是国际水准的层次。另一种是Y形式，学校的只要职责就是按照社会职业的需求对本科生实施相应的技能培训以及一般的教育素养的形成，达到国家和地区的水准即可。还有一种就是Z形式，学校的主要职责就是按照社会的所有需求及客户的需要，培育实用型学生，只需达到地区以及地方水准就可以。根据克拉克·科尔的课题研究能够得出，PDSIPE注重的是Y形式，利用真正的职场项目工作，按照社会的需要以及客户的需求，培育实用型学生，只需达到地区以及地方水准就可以。

2.5 实际教育环节

第一，在众多学科中存在一门抽象学科那就是微积分，其重点展现在对直观的抽象定义、条理化的符号语言以及严谨论证［3］。举例说明，就像函数“ε-δ”的概念，所有针对微积分知识的学习都要将其当作基础，可是其中抽象的内容是学生学习的“绊脚石”。第二，微积分教学的实质众多，并且课时存在限制，同时在教学进程中依然以教师的讲授为主，师生以及生生之间交流极少，学生没有参与感。第三，微积分的授课形式大多为大班式讲授，因为学生较多，所以教师很少注意到学生对学习的个性化要求，造成教学成果不明显。

从学习层面来讲，在基础教学时期，数学学习内容比较零碎，往往通过习题训练的方式来了解数学知识点，可是微积分作为一门比较系统的学科，其具备知识结构严谨并且逻辑性超强的特点。习题训练是数学学习的必经流程，可是一味地寻求难题以及反复练习不仅会使浪费时间，还会对知识结构的整体掌握极其不利。所以，引起学生对微积分的兴趣，提高学生对微积分知识结构的掌握程度，在微积分的教学进程中特别关键。

本文根据笔者几年以来微积分教学的现实经验，从而引进项目教学，其目的是调动学生学习的兴趣，提升学生分析问题、构建模型以及应用微积分的能力，进而为之后的学科学习奠定坚实的基础。

3 基于PDSIPE的微积分课程项目型教学知识点梳理

项目的类型可以划分为三类，即运用型、研究型以及实验型。以下对这三类项目进行介绍。

3.1 应用型项目

应用型项目的目的是激发学生的想象力，从而巩固知识，让学生意识到微积分的关键性，掌握它的直观背景，为后续学习奠定基础。如果导数的学习进展到“高阶导数”阶段，那么学生需要完成下列学习任务。

项目1 设计最佳的过山车。假设你要为一个新的过山车设计第一个升降，通过研究你最喜欢的过山车的照片，你决定让上升道的斜率为0.8，下降道的斜率为-1.6。你决定使用一条抛物线y=f（x）=ax2+bx+c来连接上升和下降道。为了让轨道做到平滑，不可以有突然的方向改变，以此你需要线性轨道L1和L2与抛物线轨道f（x）分别在转接点P和Q相切（如图2所示）。假设点P和Q的水平距离为30米。为简化问题，可假设点P为原点。

（a）为了能够确保轨道在转接点处的平滑度，明确抛物线f（x）；（b）利用计算机做出f（x），L1与L2的图形，从而验证转接点是否平滑；（c）求P与Q的高程差。

问题1中的处理方案或许看起来平滑，可是它的体验感并不完美，由于由L1，f和L2定义的分段函数并不存在连续的二阶导数。因此，应当改良你的设计：在10≤x≤90时使用二次函数q（x）=ax2+bx+c的公式，之后运用下列两个三次函数把g（x）分别与L（x）和L，（x）连接一起：

g（x）=kx³+lx²+mx+n 0≤x<10

h（x）=px³+qx²+rx+s 90

（a）写出一个涵盖11个未知数的方程组，保证上述函数以及导数与二阶导数在转接點相同；（b）求解（a）中的方程组，求出函数q（x），g（x）和h（x）：（c）运用计算机做出L1，g（x），q（x），h（x）和L2的图形，与1（b）的图形进行对比。

和普通的习题存在差异，项目1需要运用计算机软件制作函数图像，以及求解涵盖11个未知数的线性方程组。这对大一首次学习微积分科目的学生而言存在较大难度，所以团队之间共同合作具有必要性。项目1不但能够使学生夯实导数的概念，还可以更加深入地了解导数的几何意义。为了能够进一步完善此模型，使其变得更为“平滑”，进而增添了两个三次函数衔接抛物线和两条直线，并且使其拥有一个连续的二阶导数。通过对比完善前后的差别，学生需要思考下面两个问题：连续的二阶导数为什么会使轨道变得更为平滑？为什么通过添加两个三次函数的方式让轨道存在连续的二阶导数？学生思考并解决诸多问题可以为之后的微积分学习打下坚实的基础。

3.2 探索型项目

探索型项目通常会涉及没有开始讲授的内容，激励学生探索现实情况，从而发现其中的定律并且归纳汇总，这顺应科学探究的普通工序。比如，在学习微积分基础定义之前，下列项目能够协作学生更好地掌握变上限积分。

项目2面积函数。（a）画出直线y=2t+1，计算这条直线和t轴，垂线t=1和t=3围成区域的面积；（b）当x>1时，设A（x）是由直线v=2t+1，t=1和t=x围成区域的面积。画出这个区域并写出A（x）的表达式；（c）对A（x）求导，从中能够发现一些问题。

马克·范·多伦（Mark Van Doren）曾经说过，教育的艺术是辅助学生发现的艺术。变上限积分是微积分教学过程中的重难点之一。项目2的第一步是从单一的梯形面积着手，进而研究变上限的梯形面积定理和梯形斜边函数之间存在的联系。这绝妙地衔接了微积分的概念以及几何定义，学生在掌握了基础定义的基础上，可以发现微积分的概念和导数概念之间具有某种特定的联系。

4 结语

PDSIPE课堂教学实际和技术微积分课程教学相互联结，不仅需要吸收技术微积分的教学实质与方法，以及知识技巧与定律，还需要和微积分教学目标相切合。PDSIPE的微积分课程教学存在下面两个方面的优点：第一，能够提升学生学习的积极性；第二，能够锻炼学生的集体合作以及计算机使用能力。实践证明，一旦学生对课程学习产生兴趣，便会主动查阅资料学习数学软件的使用方法，并运用MathType等公式编辑器撰写报告。

参考文献

［1］徐爱庆. “微积分”教与学改革的研究及探讨［J］. 教育教学论坛，2022（47）：65-68.

［2］秦智，曲峰林. 基于GeoGebra的微积分可视化教学［J］. 高等数学研究，2022，25（6）：83-86.

［3］党健，张宏伟. 加强微积分课程数学语言教学的思考与实践［J］. 河南教育（高等教育），2022（10）：67-69.

［项目名称］黑龙江财经学院2023年校级科研课题“产教融合背景下基于PDSIPE的《微积分》课程教学范式的探索与研究”（项目编号：XJYB202341）。

［作者简介］刘仁龙，男，黑龙江哈尔滨人，黑龙江财经学院，助教，硕士，研究方向：概率论与数理统计。