“补”教材之“白” 促数学理解——以“利用导数判断函数的单调性”教学为例

山东省宁阳县复圣中学 (271400) 张志刚

一、问题提出

教学中教师首先要吃透教材,并对教材做适当“补白”,即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充,这是教师根据教学需要进行二次加工,使之更契合学生认知现实的过程,也是教师教学中常态化的工作之一.下面举例说明.

本例旨在以三次多项式函数为例,介绍用导数求函数单调区间的一般步骤.而通过必修课程的学习,学生知道单调性的定义是求解函数单调性问题的基本方法,本题能用单调性的定义思考函数单调区间吗?教材也在第88页“边空”提出问题:“如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题?运算过程麻烦吗?你有什么体会?”

二、问题探究

以上将变量x1作为主元,另外一个变量x2作为副元(即参数),构造了二次函数h(x)=2x2+(2x2-3)x+2x22-3x2-12,从而确定h(x1)<0,即2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0,进而说明了f(x)在(-1,2)上单调递减.简而言之,通过确立主副元构造函数后,发挥二次函数图象已知、数值可算的优势,确定代数式的符号.类似的,我们可讨论函数的增区间.

基于学生已具备的认知基础,除了以上的解法,我们还可以考虑配方策略.配方是一种以“出现平方式”为思维指向的恒等变形,因而,配方法既具有一般恒等变形的功能,又具有“平方式”,从而在实数范围内产生非负数的特殊功能.至于配方法的更多作用,如配方消去一次项、配方分离分母等,都可以分解成这两个基本功能的组合与派生.下面举例说明.

例2 利用单调性的定义证明f(x)=x3-3x2+6x+2在R上单调递增.

例3 (1991年高考全国卷理科第24题)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

三、结论

通过以上案例的分析可知,对于三次多项式函数的单调性,导数不是唯一的解决之道,我们完全可以利用单调性的定义探求吗,具体解答时充分考虑配方法、二次函数、主副元法等的应用,而不需要特别高深的知识与技巧.笔者建议,把本问题以研究型活动的形式与学生一同探讨,让学生经历完整的定义法判定单调性的思维过程,之后再与导数方法比较,才能更深刻的感受到导数工具的便捷性.同时通过探究活动,正本清源,澄清一些错误认识,也为学生提供一次训练数学运算素养的大好机会.事实上,自从导数的概念和方法进入高中教材后,导数作为一种重要的工具,在判断函数的单调性,求函数的极值、最值以及证明不等式方面发挥出势如破竹般的巨大作用(相对传统方法而言),显示出独有的魅力,用导数方法解决问题渐成“时尚”.但是,细究起来,用导数方法解决问题要求函数连续和可导,条件还是很苛刻的.幸好现在处理的函数大多数满足这一条件.当函数不满足这些条件时,导数方法岂不是“英雄无用武之地”了?

数学的活力在于最大限度地发挥想象力、创造力,不断引进新观念和新方法,不断激发人们的观察、比较、实验和归纳的能力,通过持续精益求精,臻于严格化,致力于普适性,这种数学学科上的诉求对教学提出了更高的要求.在常规课堂教学中,若能以核心素养的知识创新水平为目标,将会极大程度地培养学生的创新精神,以数学的内在力量教育学生.