初三数学“圆的综合应用”复习作业设计策略

吴丹媚

摘 要：纵观近几年的广东省中考题，运用全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形等知识解决有关圆的综合问题是广东中考数学考查的热点题型。这类题型集初中几何知识于一题，综合性强、灵活度高，所以在初三数学复习阶段显得尤为重要。作业作为课堂教学内容的外延和补充，如何进行初三复习作业的设计，才能助力学生中考、培养学生数学思维能力、发展学生数学核心素养，对初中数学教师也提出了挑战。笔者这次参与了中考数学第22题改卷任务，下面针对这一题的解法和学生的答题情况，提出几点初三数学关于圆的综合应用复习作业的设计策略。

关键词：中考数学；圆的综合应用；作业设计

一、再现中考真题，体味数学魅力

22.（12分）综合探究

如题22-1图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'。连接AA'交BD于点E，连接CA'。

（1）求证：AA'⊥CA'；

（2）以点O为圆心，OE为半径作圆。

①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'＝[3]A'C；

②如图3，⊙O与CA'相切，AD＝1，求⊙O的面积。

二、探寻试题关联，感悟知识本源

《義务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中明确指出“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”等，这要求教师要注重整体把握教学内容，把握内容的本质内涵，促进学生实现知识、方法、思维的整体系统的结构化学习，从而培养学生的核心素养。因此，面对数学问题时，我们要充分挖掘问题中考查的内容和知识，清晰认识知识之间的逻辑关系，深刻领悟问题蕴含的思想方法。

本题主要考查轴对称的性质、矩形的性质、圆的切线性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、解直角三角形、正方形的判定和性质等基础知识，考查了化归与转化、特殊与一般等数学思想方法，考查了推理能力、空间观念与几何直观等数学素养。整体上题目模型比较常规，有一定的综合度和区分度，设问螺旋上升，方法灵活多样，符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于学业水平考试的要求，问题设置既考查了对数学概念、性质、规律的理解，又能坚持素养立意，注重启发学生深度思维。

三、注重发散思维，探究一题多解

一题多解是利用不同的思维方法分析同一个问题，灵活运用定义、定理、性质等基本原理，激发学生发散性思维，引导学生建立起思考体系，从而促进学生创新思维的养成。

本次中考卷第22题具备代表性、综合性、灵活性等特点，既包含基本知识点，又有一定的知识广度和难度，因此学生通过融会贯通新旧知识点之间的关系，多层次分析问题，突破思维定式，从而呈现出多样化的解题思路。

（一）第（1）题解题思路

解法一：利用三角形中位线解答。

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝CO。

由对称性质得EA＝EA'，AA'⊥BD，∴OE为△AA'C的中位线，∠AEO＝90°。

∴OE∥AC'，∴∠AA'C＝∠AEO＝90°，

∴AA'⊥A'C。

解法二：利用等边对等角解答。

连接OA'，由对称性质得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC。

∴OA＝OC＝OA'，∴∠OAA'＝∠OA'A＝α，∠OCA'＝∠OA'C＝β。

在△AA'C中，∵2α＋2β＝180°，∴α＋β＝90°，∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法三：利用四点共圆解答。

连接OA'，由对称性质得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝[12]AC＝[12]BD＝OB，∠ABC＝90°。

∴OA＝OC＝OA'＝OB，

∴点A、B、C、A'四点共圆。

∴∠ABC＋∠AA'C＝180°，

∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法四：利用三角形相似解答。

∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝CO。

由对称性质得EA＝EA'，AA'⊥BD，

∴[AOAC]＝[AEAA']＝[12]，∠AEO＝90°。

又∵∠EAO＝∠A'AC，∴△EAO∽△A'AC。

∴∠AA'C＝∠AEO＝90°即AA'⊥A'C。

解法五：利用三角形斜边中线逆定理解答。

连接OA'，由对称性质得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC，∴OA＝OC＝OA'。

∴△A'AC为直角三角形，AC边所对的角∠A'＝90°即AA'⊥A'C。

（二）第（2）题第①问解题思路

解法一：利用三角形全等推出角相等。

过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵⊙O与CD相切，∴OF＝OE。

∵∠OEA＝∠OFC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC。

∴Rt△OEA≌Rt△OFC，∴∠OAE＝∠OCF。

∵AB∥CD，OA＝OB，

∴∠OCF＝∠OAB＝∠OBA，

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°，

∴AA'＝[3]A'C。

解法二：利用△OEA和△OFD全等推出角相等，后面证明思路类似于解法一。

解法三：利用△OEA和△OFC全等推出∠EOA＝∠FOC，接着由矩形中OC＝OD且OF⊥CD推出∠FOD＝∠FOC，于是得到∠FOD＝∠FOC＝∠EOA，易得∠EOA＝60°，从而得到验证。

解法四：過点O作OF⊥CD，垂足为点F，并延长交AB于点G，推出△DOF和△BOG全等，得到OG＝OF，所以OG＝OE，再由角平分线逆定理推出∠OAE＝∠OAB，后面证明思路类似于解法一。

解法五：利用三角形中位线和角平分线逆定理推出角相等。

过点O作OF⊥CD，垂足为点F，

∵⊙O与CD相切，∴OF＝OE。

由（1）可知OE为△AA'C中位线，

∴A'C＝2OE。

∵在矩形ABCD中，OC＝[12]AC＝[12]BD＝OD，OF⊥CD，∴DF＝FC。

又∵OB＝OD，∴OF为△BCD中位线。∴BC＝2OF，∴A'C＝BC。

又∵A'C⊥AA'，CB⊥AB，∴∠OAE＝∠OAB。

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA。

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°。

∴AA'＝[3]A'C。

（三）第（2）题第②问解题思路

解法一：利用三角形全等推导出△AOE是等腰直角三角形。

过点O作OH⊥CA'，垂足为点H，∵⊙O与CA'相切，∴OH＝OE。

∵∠OEA＝∠OHC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC，∴Rt△OEA≌Rt△OHC。

∴∠OAE＝∠OCH。

由（1）可知∠AA'C＝90°，∴∠CAA'＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形。

设OE＝x，则AE＝OE＝x，在矩形ABCD中，OD＝AO＝[2]x，

∴DE＝OD－OE＝[2]x－x。在Rt△DAE中，AD＝1，由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2。

即x2＋（[2]x－x）2＝12，解得x2＝[2+24]。∴⊙O的面积为[2+24]π。

解法二：利用△AA'C∽△OHC得到AA'＝2OH，又因为A'C＝2OE，所以AA'＝CA'，从而推导出△AOE是等腰直角三角形，后面证明思路类似于解法一。

解法三：利用正方形的判定定理可以推导出四边形A'EOH是正方形，所以A'E＝OE，又由AE＝A'E可得AE＝OE，同样可推出△AOE是等腰直角三角形，后面推导过程类似于解法一。

四、挖掘试题本质，剖析典型错误

（一）试题评价

第（1）问证明垂直成为较多学生的“拦路虎”，因为利用全等三角形解决问题的套路不再适用。第（2）题第①问有多种证法，比较灵活，关键点在于从[3]这个特殊值得到启发，联想到30°或60°特殊角度，利用三角形全等知识推导出角度。第②问的关键点在于求证出等腰直角三角形。总体来看，这题对学生的综合分析和计算能力有较高的要求。

（二）常见错误

对于第（1）题，部分学生没有分析题意或者受到之前折叠类型题目的影响，弄错对称轴，导致推理错误。对于第（2）题，由于有圆和矩形的存在，分析题意容易受到干扰的因素较多，导致部分学生连接OA'，直接默认切点、圆心和点A'共线证明导致错误，还有少部分学生作太多辅助线导致问题无法解决。

五、精研作业设计，助推科学备考

新课标在图形与几何部分的教学提示中提到“到了初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解，要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力”。因此我们在圆的综合应用复习中要按照教学主线和核心概念进行统筹重组，优化作业设置，提高作业效益。

（一）归纳类比，摆脱题海

几何类型的题目种类复杂繁多，圆的综合应用题更是变幻莫测，盲目刷题几乎很难取得高分。理想的情况是教师深入题海研究，挑选经典题型，归纳类比进行分类，让学生走出题海战术。对于圆的综合应用题，一是可以根据圆的图形与定理关系进行分类，比如相交弦定理、割线定理、切割线定理等；二是可以拆分图形提炼出基本图形，按照基本图形涉及的知识点进行分类，比如相似三角形、全等三角形、圆的内接四边形等。

中考试题的特点是稳中求变，教师研究试题特点，分类归纳题型，有针对性地布置作业，不仅满足了减负的要求，而且能有效巩固和掌握基础知识，同时培养了学生的迁移能力。

（二）反向推导，技巧取胜

数学思想是数学的精髓，其本质是各种思维的综合，逆向思维是解题的一种重要思维策略。在解答圆的综合题时，学生很难把条件和结论关联起来，逆向思考会让一切豁然开朗。比如这次中考的第22题第（2）题第①问，先由结论反向推导出特殊角度30°，再去考虑如何得到特殊角度，最后就容易想到利用全等证明角相等。

教师在布置作业时应当增强逆向思维能力的训练，设置相应题目让学生说出或写出自己的推导过程，自主运用逆向思维能力解决问题。在作业设计中针对不同类型的题目使用不同的对策，注重双向思维的训练。

（三）关注差异，减负增效

作业分层设计体现了优化的弹性作业结构，充分体现新课标理念“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。初三复习阶段，圆的综合应用板块作业涉及知识点多，综合性强，难度区分明显，教师应该根据内容特点和作业类型与功能，设计出多样化、个性化作业帮助学生形成系统的数学整体知识系列结构。

圆的综合应用题型对学生解题思维有较高的要求，其求解的关键在于学生熟悉基础知识及逆运用数学概念。因此教师在布置作业时要做到减量精练，注重反向思考，关注学生差异，设置出科学高效的作业助力中考。

［*本文系广东省教学科学“十四五”规划2022年度项目“‘双减’背景下的初中数学高效课后作业探索研究”（编号：2022YQJK304）的研究成果］