让数学建模素养在“三育”教学土壤上茁壮成长

祁山国宝

[摘  要] “育鱼”“育渔”和“育欲”代表着数学建模教学的“三育”，其中“育鱼”代表“授基础”，“育渔”代表“育方法”，“育欲”代表“诱乐趣”. 教师要有目的地创建“三育”教学土壤，以让数学建模素养得以有效扎根并成长.

[关键词] 数学建模;核心素养;“三育”教学

中国有句古谚：“授人以‘鱼，不如授人以‘渔;授人以‘渔，不如授人以‘欲.”其寓意为单纯地把知识教授给人，不如把获取知识的方法与技能传授给人;单纯地把方法与技能传授给人，不如把人们愿意主动汲取知识的那种“求知欲”和“斗志欲”唤醒、诱活.

但是，在现实的建模学习中，学生往往没法辨清代表知识的“鱼”，也没能悟透用以获取知识的“渔”，更缺乏主动求知的强烈欲望和主动把愿望付诸行动的高昂斗志. 因此，在实际建模教学中，“鱼”“渔”与“欲”这三者，我们不能只抓其中的一者，而要三者兼顾——既要教育学生辨清“鱼”，又要培育学生悟透“渔”，还要滋育学生染上“欲”.

在建模教学中，我们把育清“鱼”，育透“渔”，育醒“欲”，简称为“三育”. 其中，“鱼”代表数学建模时学生要用到的理论依据和知识框架，“渔”代表数学建模中学生驾驭并挪用理论知识和数学思想去解决数学问题的手段、技巧与方法，“欲”代表学生对建模学习的欲望、兴趣与热情，它是学生能否成功获取“鱼”和“渔”的保障. “育鱼”代表“授基础”，“育渔”代表“育方法”，“育欲”代表“诱乐趣”，三者紧密相连，环环相扣，只有当三者的关系被正确且有效处理好时，学生的数学建模素养才能有效落实，学生才能从“厌学”升华到“爱学”，从不情愿地、被动地接纳知识的初级层面跨越到兴奋地、主动地捕获知识的高级层面.

数学建模教学中教师要重视抓实“三育”，要多教育学生把握“鱼”的内涵，要多培育学生领悟“渔”的精髓，要多滋育学生把内心强烈的“学习欲”迸发出来. 教师要有目的地创建“三育”教学土壤，让学生的数学建模素养在“三育”教学土壤上茁壮成长.

要教育学生辨清“鱼”，疏导学生把建模理论基础夯实

数学知识是从生活实践中概括抽象出来的，最后又借助数学建模再用到现实中去解决生产与生活过程遇到的各类问题. 学生在数学建模领域存在认知空白，不完全是因为学生的认知能力差，而是因为学生还没真正学好数学语言去刻画周边的问题，以及还没夯实数学建模时需要用到的理论基础. 因此，在建模教学时，教师要引导学生把建模需要用到的“鱼”事先捋顺、悟清，夯实、悟透，即教师应事先把建模要用到的理论依据、数学语言给学生疏导与温故一遍，让学生对其有个清晰的认识.

例1 美林湖摩天轮，位于广东省清远市，是国内屋顶摩天轮之一. 美林湖摩天轮的轮盘直径为84米，其最高点距离地面高度为101米. 美林湖摩天轮匀速转动一周需耗时t分钟，李红在美林湖摩天轮座舱转到距离地面最近的位置进舱并开始计时. 如果美林湖摩天轮只转动一周，要让李红距离地面80米以上的时间至少5分钟，那么时间t的最小值应为多少？

分析 摩天轮类問题能用三角函数来刻画的根源是什么？这是多数学生心中的困惑. 要解决这一困惑，教师可先展开“鱼”的教学，通过逐层诱导、深入剖析，让学生彻底辨清并领悟摩天轮类运动的本质和缘由. 当学生再次碰到此类问题时，就能快速做出反应，利用三角函数深入化解.

因此，笔者构造了以下问题，让学生把刻画摩天轮类问题的“鱼”先辨清、吃透.

问题1 如图1所示，M为单位圆上一点，∠BOM=α，怎样用三角函数刻画点M的坐标？

答：M（cosα，sinα）.

问题2 若将图1中的圆半径改为A，其他条件不变，点M的坐标又是什么？

答：M（Acosα，Asinα）.

问题3 如图2所示，若∠BOD=φ，∠DOM=α，圆半径为A，则怎么表示点M的坐标？

答：因为∠BOM=φ+α，所以M（Acos（α+φ），Asin（α+φ））.

问题4 在图2中，∠BOD=φ，圆半径为A，若某人由D点开始，沿着圆周逆时针按角速度ω rad/min匀速走动，经x分钟后到达M点，则∠DOM为多少？怎么表示点M的坐标？

答：由D点经x分钟后到达M点，则∠DOM=ωx，此时∠BOM=ωx+φ，故M（Acos（ωx+φ），Asin（ωx+φ）），即y=Asin（ωx+φ）.

经历上述问题的逐层启发和诱导后，学生很容易悟出三角函数同圆周运动存在密切关系——做圆周运动的点能用三角函数来刻画，而摩天轮类问题就是一个圆周运动问题，故摩天轮类问题能用三角函数来刻画.

解析 建立平面直角坐标系，作出表示摩天轮转盘的圆M（如图3所示），其中点M为圆心，x轴位于与地面平行的直线上，y轴位于过点M且垂直于地面的直线上.

设y=Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0，b≥0），其中y为李红离地面的距离，x为李红坐上摩天轮的实际时间.

依题意可得y=101，y=17，周期为t. 所以A=（y-y）=42，b=（y+y）=59，ω=.

再由函数图象过点（0，17）可得φ=-. 所以y=42sin

-≥5，解得t≥15，故t的最小值为15.

点评 当遇见现实问题时，学生能否快速抽象出其蕴含的数学模型，取决于学生对这个知识模块的学习与领悟深度. 因此，在夯实数学建模理论基础时，教师要多点“鱼”的教学，要让学生把建模过程中需要用到的“鱼”事先辨清、吃透.

要培育学生悟透“渔”，引诱学生把建模通性通法领悟透彻

在数学建模过程中，许多学生往往找不到破解问题的突破口，其中关键的一个原因是学生还不懂如何去寻找客观事物与数学模型之间的桥梁，还不明白怎么去捕捉现实问题与数学模型之间的纽带与红线. 因此，在建模教学中，教师要把寻找桥梁、捕捉纽带的“渔”教给学生，让学生学清楚、悟透彻，教师要多点“渔”的教学，要点拨学生懂得追根溯源、动中寻定，要启发学生擅长去发现破解问题的突破口，要诱导学生善于去捕捉拓展问题的纽带与红线，要引导学生把建模的通性通法磨清楚、悟透彻.

例2 已知有一地块，形状为正三角形ABC，边长为2千米，边BC的中点为D. 政府计划由D出发修两条笔直小道DE与DF，小道宽度忽略不算，射线DE，DF与边AB，AC分别交于E，F，∠EDF=60°;在四边形AEDF围成的地块内政府预种植草坪绿化，其他地块作为储备用地留作它用. 求草坪面积S的最大值.

分析 为授之以“渔”，教师可启发学生善于从多个角度切入展开构思，引导学生从致使面积发生变动的成因入手深入剖析，学会动中寻定. 因∠BDE是面积变动的根源，故可用“角”设元，构建三角函数后求最值;又线段CF的长也是面积改变的动因，故可用“线段”设元，借助打勾函数再利用基本不等式求最值.

解法1 “角”是面积改变的动因，用“角”设元.

设∠BDE=α（30°<α<90°），由题意得∠BED=∠CDF=120°-α，∠CFD=α.

在△BDE和△CDF中，分别根据正弦定理可得BE=，CF=.

点评 教师对学生数学思想方法和解题思路技巧等进行点拨与启迪时，可多点“渔”的育导，让学生拓宽思维层面、积蓄解题悟性，从而快捷地挖掘并发现动中蕴含的定性、问题背后深藏的本质，找出规律，实现化疑解惑.

要滋育学生染上“建模欲”，激励学生“抢着学”“盼着学”

数学建模中的“欲”，是指学生探索数学建模的一种好奇心，是指学生学习数学建模的一份热情、兴趣和欲望，是学生在建模过程中的一种情感、认可度和价值观的集中展现. 如果教学中只重视知识的传授和方法的启迪，只注重“鱼”和“渔”的教学与培养，而忽视了学生“欲”的诱导与激励，那么学生的学习顶多只能處在一种被动接纳知识的启蒙阶段. 因此，在教学中，授学生以“鱼”和“渔”的同时，还要多点“欲”的熏陶，教师要不断地想方设法唤醒学生的学习热情和欲望，要让学生的自尊心受到保护，要让学生的好奇心得以呵护，要让学生真正感受到数学建模的价值和意义，要把学生的“爱学欲”培养并激发.

例3 为提升销售业绩，公司制定下列奖励措施：每月员工工资包括0.8万元基本工资和奖金，且奖金y（万元）跟随月销售总金额x（万元）的变动而变化，月销售总金额越大奖金越多;同时每月最高奖金不能高于月销售总金额的1%，每月最低奖金不低于-0.6万元，当奖金为负数时，要在员工基本工资上扣掉相应的金额. 另外，由于公司生产力受限，每月每个员工销售总额不超过500万元.

现有奖励模型：①y=f（x）=x-1.2;②y=f（x）=-0.6;③y=f（x）=x2-0.6. 请判断当x∈[0，500]时，上面哪个奖励模型更适合公司需求？

分析 判断哪个奖励模型更适合公司需求，教师可引导学生从函数最值的大小对员工积极性的影响做判断，渗透数学模型的用途和意义;可启发学生从函数零点大小与公司发展前景的关系入手进行筛选，渗透数学模型的作用和价值;另外，教师还可诱导学生站在公司高层管理的角度，从数学模型对缓解公司现有竞争压力、减缓公司目前所遭受的困境等方面的影响切入剖析，做出取舍，渗透数学模型的实践指导意义和应用价值. 教师要引导学生从多角度切入剖析，让学生明白原来这么多数学知识与生活息息相关，让学生领悟学好并用好数学知识可以化解这么多现实难题，进而激发学生的“学习欲”，让学生更“想学”、更“爱学”！

解析 根据每月最低奖金不低于-0.6万元，代表y的最小值为-0.6，而模型①的最小值为-1.2，故不满足奖金最低值的限定，可以排除掉.

对于模型②，其他条件都满足，但函数零点太小，代表公司月销售额的最低指标定得过低，员工不需要怎么费力就可以轻松拿到奖金，而且最大值没有超过1.7万元，代表员工即使努力使月销售额突破顶峰500万元，奖金也不高，不利于激发员工的积极性. 因此，模型②不符合公司客观需求，也应排除掉.

对于模型③，所有条件都符合，函数零点也适中，代表员工拿到奖金的门槛不高，大多数员工经过一定的努力都能拿到奖金;奖金最大值接近5万元，有较大的诱惑性，可较大程度地激发员工努力去拓宽渠道提升月销售额以拿到更高的奖金. 因此，从公司长远发展的综合角度来看，最理想的奖励模型是模型③.

点评 为授学生以“欲”，则教师要让学生切身感受数学模型的价值和意义，进而激发学生浓厚的学习欲望. 教师不能单纯为了解题而讲题，若学生失去了学习欲望与热情，哪怕教师授的“鱼”和“渔”再精彩，学生也会因为没有食欲而进食无味.

总之，数学建模是数学课本知识通往生活实践与应用的一座坚实桥梁，更是解开学生心结，让学生从“学会”进阶到“会学”，从模仿跨越到创新的一把高效钥匙. 在建模教学中，教师要抓实“三育”，重视对“鱼”内涵的启迪、对“渔”本质的栽培、对“欲”灵魂的劝导与诱激;要有意识地把数学建模思想渗透到日常教学活动中去，多给学生营造数学建模素养成长的氛围和土壤;要借助各种方法和手段激发学生对数学建模的浓厚兴趣和爱好，让学生在数学建模的活动中切身感受并领悟数学与现实的关联，体会并感悟数学给生活带来的便利，让学生的数学思维品质和数学核心素养在建模实践过程中不断完善和深化.